ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2007, том 47, < 1, с. 129-139
УДК 519.634
О СХОДИМОСТИ МЕТОДОВ ГАЛЕРКИНА ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С ОПЕРАТОРАМИ, ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ НА ПОДПРОСТРАНСТВАХ, И О РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
© 2007 г. Ю. Г. Смирнов
(440017 Пенза, ул. Красная, 40, ПГИ)
e-mail: smirnov@tl.ru
Поступила в редакцию 07.11.2005 г. Переработанный вариант 11.08.2006 г.
Обосновано применение методов Галеркина для численного решения интегродифференци-ального уравнения электрического поля. Доказаны теоремы о сходимости методов Галеркина для класса уравнений с неэллиптическими операторами, к которому относится уравнение электрического поля. Доказаны теоремы об аппроксимации элементов специального пространства Соболева базисными функциями Рао-Уилтона-Глиссона. Получены оценки скорости сходимости. Библ. 17.
Ключевые слова: методы решения уравнения электромагнитного поля, метод Галеркина, сходимость метода.
1. ВВЕДЕНИЕ
Задача дифракции электромагнитной волны на идеально проводящем тонком ограниченном экране является классической в электродинамике. Наиболее естественный подход к решению данной задачи - это сведение ее к векторному интегродифференциальному уравнению на поверхности экрана (см. [1], [2]) - к так называемому уравнению электрического поля. Теория разрешимости краевой задачи дифракции для системы уравнений Максвелла и уравнения электрического поля построена сравнительно недавно в работах [3]-[5], подробное изложение - в [6], [7]. В частности, в этих работах показано, что (единственное) решение краевой задачи выражается через векторные потенциалы от (единственного) решения уравнения электрического поля. В этом смысле можно говорить о том, что краевая задача эквивалентно сводится к решению уравнения электрического поля.
Несмотря на большое количество разработанных и применяемых на практике численных методов решения этой задачи (см. [8]-[10]), они остаются теоретически не обоснованными. Для них не доказаны теоремы о сходимости, не получены оценки скорости сходимости. Основная трудность состоит в том, что, как доказано в [3], оператор уравнения не является эллиптическим и поэтому известные результаты о сходимости проекционных методов для решения уравнений с эллиптическими операторами (см. [11], [12]) непосредственно нельзя применить. В статье будет показано, что результаты о сходимости могут быть перенесены на специальный класс неэллиптических операторов, к которому принадлежит и оператор уравнения электрического поля.
Для удобства дальнейшего изложения приведем основные утверждения о сходимости методов Галеркина для уравнений с эллиптическими операторами (см. [11], [12]).
Рассмотрим приближенное решение линейных операторных уравнений с помощью проектирования их на подпространства, которые будем считать имеющими конечную размерность. Ниже все операторы предполагаются линейными.
Определение 1. Пусть X и Y - гильбертовы пространства и A : X —- Y - ограниченный инъек-тивный оператор. Пусть Xn с X и Yn с Y - две последовательности подпространств с условиями dimXn = dim Yn = n, и пусть Pn : Y —► Yn - проекционные операторы. Рассмотрим проекционный метод, образованный посредством Xn и Pn, который аппроксимирует уравнение
Аф = f (1)
с помощью приближенного уравнения
PnA Ф„ = P„f. (2)
Этот проекционный метод называется сходящимся для оператора A, если существует число N такое, что для каждого f е ImA (ImA - образ оператора A) приближенное уравнение (2) имеет единственное решение фп е Xn для всех n > N, и если эти решения сходятся, то фп —► ф при n —► — к единственному решению ф уравнения (1).
В общем случае можно ожидать сходимость метода только тогда, когда подпространства Xn предельно плотны в X:
inf ||y - ф||—► 0, n^ -, (3)
Vе Xn
для всех ф е X. Свойство (3) называют также свойством аппроксимации (произвольный элемент из X может быть аппроксимирован элементами из подпространства Xn с любой точностью в норме ||-|| пространстваX). В последующем анализе будем всегда предполагать, что это условие выполняется.
Если проекционный метод сходится, то верна оценка скорости сходимости (см. [11], [12])
||Фп - фИ M inf IIV - ф11 (4)
Vе Xn
для некоторой константы M. Оценка (4) называется квазиоптимальной. Она показывает, что ошибка в проекционном методе определяется тем, как хорошо точное решение может быть аппроксимировано с помощью элементов подпространств Xn в норме пространства X.
Утверждение 1 (см. [11], [12]). Предположим, что A : X —► Y- ограниченный оператор, имеющий ограниченный обратный A-1 : X —»- Y, и что проекционный метод (2) является сходящимся для A. Пусть оператор K : X —► Y компактен и A + K инъективен. Тогда проекционный метод (2) сходится для оператора A + K.
Для операторных уравнений в гильбертовых пространствах проекционный метод, строящийся с помощью ортопроекторов на конечномерные подпространства, приводит к методу Галерки-на. Пусть A : X —»- Y - инъективный линейный ограниченный оператор, и пусть Pn : Y —► Yn -последовательность ортопроекторов. Тогда фп е Xn будет приближенным решением уравнения Aф = f с помощью проекционного метода, образованного посредством выбора пространств Xn и проекторов Pn, тогда и только тогда, когда
(A Фп, g)y = (f, g)y Vg e Yn, (5)
где (■, -)Y - скалярное произведение в Y. Уравнение (5) называют уравнением Галеркина.
Будем рассматривать случай, когда Y = X, где X - антидвойственное пространство к X (пространство антилинейных ограниченных функционалов над X) относительно некоторой ограниченной полуторалинейной формы <■, ■).
Замечание 1. Все результаты этого раздела остаются в силе, если взять Y = X, но для уравнения электрического поля необходимо рассмотреть случай Y = X.
Рассмотрим метод Галеркина, образованный с помощью подпространств Xn с X, фп е Xn:
<AФп, V) = <f, V) Vy е Xn. (6)
Если J : X —► X - оператор, осуществляющий изоморфизм между X и X, то (6) эквивалентно уравнениям ^фп, Jy)Y = (f Jy)Y для любого y е Xn, или уравнениям (5), где (■, -)Y - скалярное произведение в Y = X, g = Jy, Yn = JXn. Таким образом, метод Галеркина (6) эквивалентен методу Галеркина (5).
Определение 2. Оператор A : X —«- X будем называть коэрцитивным, если существует константа C (>0) такая, что выполняется условие
|<Aф,ф)|> C||ф||2 (7)
для любого ф е X.
Замечание 2. Если выполняется условие
Re <A ф,ф)> C||ф||2 (8)
для любого ф е X или условие
1т <А ф,ф>> аф||2 (9)
для любого ф е X, то справедливо и (7), поэтому оператор в этих случаях также будет коэрцитивным.
Определение 3. Оператор А : X —► X будем называть эллиптическим, если существует компактный оператор К : X —► X такой, что оператор А + К коэрцитивный.
Иногда перечисленные выше неравенства записывают для оператора А + К, тогда они называются неравенствами Гординга.
Утверждение 2 (см. [11], [12]). Пусть А : X —► X - коэрцитивный оператор и подпространства X.п с X обладают свойством аппроксимации. Тогда метод Галеркина (6) сходится.
Утверждение 3 (см. [11], [12]). Пусть А : X —- X - инъективный эллиптический оператор и подпространства X,, с Xобладают свойством аппроксимации. Тогда метод Галеркина (6) сходится.
Таким образом, для сходимости метода Галеркина для уравнения с инъективным эллиптическим оператором необходимо и достаточно выполнения условия аппроксимации, и если метод сходится, то верна квазиоптимальная оценка скорости сходимости.
2. СХОДИМОСТЬ МЕТОДА ГАЛЕРКИНА ДЛЯ УРАВНЕНИИ С ОПЕРАТОРАМИ, ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ НА ПОДПРОСТРАНСТВАХ
В этом разделе представлены результаты о сходимости методов Галеркина для класса уравнений с неэллиптическими операторами. Как будет видно, они аналогичны результатам о сходимости методов для уравнений с эллиптическими операторами.
Дадим определение оператора, эллиптического на подпространствах. Пусть гильбертово пространство Xразложено в прямую сумму т, т > 1 (замкнутых) подпространствX = Жх © ... © Жт, а его антидвойственное пространство X также имеет разложение X = Ж1 © ... © Жт. Скобками <■, ■> будем обозначать отношение антидвойственности на паре пространств X и X, а также его сужение на подпространства Ж/ и Ж// = 1, 2, ..., т. Пусть линейный ограниченный оператор А :X —► X обладает свойством А : Ж/ —► Ж// = 1, 2, ..., т. Другими словами, оператор А имеет диагональное разложение на подпространствах Ж/ —- Ж/, / = 1, 2, ..., т.
Определение 4. Оператор А : X —► X будем называть коэрцитивным на подпространствах, если существуют константы С1, ..., Ст (>0) такие, что выполняется условие
|<Аф,ф>|> С/||ф||2 (10)
для любого ф е Ж/ (/ = 1, 2, ..., т).
Замечание 3. Если выполняется условие
Яе <Аф,ф>> С/||ф||2 (11)
для любого ф е Ж/ (/ = 1, 2, ..., т) или условие
1т<Аф,ф>> С/||ф||2 (12)
для любого ф е Ж/ (/ = 1, 2, ..., т), то справедливо и (10), поэтому оператор в этих случаях также будет коэрцитивным на подпространствах.
Определение 5. Оператор А : X —- X будем называть эллиптическим на подпространствах, если существует компактный оператор К : X —► X такой, что оператор А + К коэрцитивный на подпространствах.
При т = 1 определения 4 и 5 совпадают с определениями 2 и 3 коэрцитивного и эллиптического операторов.
Легко видеть, что коэрцитивные на подпространствах и эллиптические на подпространствах операторы в общем случае не являются, соответственно, коэрцитивными и эллиптическими операторами. Простым примером может служить оператор при т = 2, который является положительно-определенным на подпространстве Жх и отрицательно-определенным на подпространстве Ж2, т.е. <Аф, ф> > Сх||ф||2 для любого ф е Жх и -<Аф, ф> > С2||ф||2 для любого ф е Ж2.
Теорема 1. Коэрцитивный на подпространствах оператор А имеет ограниченный обратный А-1 : X1 —► X.
Доказательство. Сужение Л* оператора Л на Ж* есть коэрцитивный оператор Л* : Ж* —► Ж*, который имеет ограниченный обратный Л-1 : Ж* —► Ж*, поэтому уравнение Лф = / однозначно разрешимо для любого/е X : /=р1 + ... + /т, ф = Л-1 /', ф = ф1 + ... + фт.
Имеет место
Следствие 1. Эллиптический на подпространствах оператор фредгольмов с индексом 0.
Смысл введения эллиптических на подпространствах операторов з
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.