ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2007, том 47, < 5, с. 767-783
УДК 519.642.8
О СХОДИМОСТИ ПО ПОЛНЫМ ВАРИАЦИЯМ РЕГУЛЯРИЗУЮЩИХ АЛГОРИТМОВ РЕШЕНИЯ
НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ1}
© 2007 г. А. С. Леонов
(115409 Москва, Каширское шоссе, 31, МИФИ) e-mail: ilposed@orc.ru Поступила в редакцию 09.02.2006 г.
Известно, что в общем случае некорректно поставленные задачи в пространстве функций с ограниченной вариацией V[a, b] не регуляризуемы и нельзя получить сходимость приближенных решений к точному "по вариации". Однако эту сходимость можно обеспечить на сепара-бельных подпространствах пространства V[a, b]. Оказывается, что в качестве таких подпространств можно взять соболевские пространства Wm [a, b], m e N. Указываются классы ре-гуляризующих функционалов, гарантирующих при их использовании в тихоновской вариационной схеме решения некорректных задач сходимость приближенных решений по
норме пространств Wf [a, b]. Это, в свою очередь, дает сходимость приближенных решений "по вариации", а также по так называемым полным вариациям высших порядков. Библ. 18. Фиг. 3. Табл. 2.
Ключевые слова: некорректно поставленные задачи, регуляризующие алгоритмы, пространство функций с ограниченной вариацией, пространство Соболева.
1. ВВЕДЕНИЕ
Предположим, что 2[а, Ь] - пространство функций г = z(x), х е [а, Ь]. Пусть оно наделено некоторой топологией секвенциальной сходимости т. Введем оператор А (в общем случае нелинейный), действующий из 2[а, Ь] в нормированное пространство и. Фиксируем элемент и е и и зададим некоторое непустое множество Э, Э с 2[а, Ь]. Рассмотрим на нем операторное уравнение
Аг = и, г е Э. (1.1)
Будем считать, что для этого и множество 2* = а^т^Аг - и||и : г е Э} квазирешений уравнения (1.1) не пусто. Для многих уравнений вида (1.1) оно может содержать более одного элемента. В этом случае для нахождения (отбора) специальных квазирешений уравнения (1.1) будем использовать некоторый вспомогательный функционал П[г], определенный на Э. Будем отбирать с его помощью так называемые П-оптимальные квазирешения уравнения (1.1), т.е. такие функции г = г (х) е 2*, для которых
П[г] = шЯП[г] : г е 2* } = П. (1.2)
Их множество обозначим через 2. Тогда имеем П = П[ 2 ]. Введем также величины | = ||А 2 - и||и. Далее будем предполагать, что вместо точных данных {А, и} уравнения (1.1) известны некоторые их приближения {АИ, и5} с точностями п = (И, 5). При этом считается, что ||и5 - и|| —«- 0, ЦАИг - Аг|| —► 0 при п —- 0 для любого г е Э. Требуется по набору величин {АИ, и5, И, 5} построить т-устойчивое приближенное решение задачи (1.1), (1.2), т.е. такую функцию гп = гп(х) е Э,
что гп 2 при п —" 0.
В такой постановке удобно рассматривать многие прикладные обратные задачи с приближенными данными и особенно некорректно поставленные задачи. Решение задач этого типа можно провести с помощью вариационных регуляризующих алгоритмов. Основные результаты в этой области и литературные обзоры можно найти, например, в [1]-[4]. В частности, при использова-
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 05-01-00049).
нии вариационной тихоновской схемы регуляризации задача (1.1), (1.2) решается таким образом. В качестве приближения zn(x) берется некоторая функция (х) е Э, которая реализует глобальный минимум сглаживающего функционала
М*л[г] = о^Щг] + |\лк2 - ы5\\I (1.3)
на множестве Э. Здесь ап - параметр регуляризации, выбранный специальным образом по данным {ЛИ, щ, И, 5}. Способы выбора этого параметра подробно описаны в литературе (см., например, [1]-[4]). Выбор проводится так, чтобы обеспечить выполнение так называемых условий регулярности
а„
lim Q[z л]<П, lim Hz л - и\\и = |. (1.4)
n ^ 0 n ^ 0
Известно (см. [4]), что при определенных предположениях о величинах П[г], A, Ah получаемые
а _
таким образом приближения zn = z л т-сходятся к Z при n —*- 0.
Относительно функционала n[z] в постановке задачи и схеме ее решения обычно делаются предположения, обеспечивающие ему так называемые регуляризующие свойства. Последние гарантируют существование П-оптимальных квазирешений, т.е. разрешимость задачи (1.2), разрешимость задачи минимизации функционала (1.3) и т-устойчивость получаемых приближенных
а
решений z л (х). Как ясно из простых примеров, не любой наперед заданный функционал n[z] обладает свойствами такого рода. В общей форме регуляризующие свойства указаны и исследованы с разных позиций рядом авторов (см., например, обзоры в [1]-[4]). Так, в [4] даны следующие достаточные условия на функционал n[z] для регуляризации по вариационной тихоновской схеме в топологических пространствах.
Условие (A1). n[z] является т-секвенциально полунепрерывным снизу на Э. Условие (A2). Непустые множества Пс = {z е Э : n[z] < C} будут т-секвенциально компактными.
Как показано в [4], эти условия и условия регулярности (1.4) в предположении т-секвенциальной полунепрерывности снизу на множестве Э функционалов невязок N(z) = ||Az - и||№ Nh(z) = ||Ahz - иЦи обеспечивают для приближений, полученных в тихоновской схеме, сходимость функционалов
П[] —«- П и сходимость по топологии Z при n —0.
Все сказанное справедливо и для важного частного случая рассмотренной общей постановки задачи, в котором Z[a, b] - банахово пространство, а т - топология слабой сходимости. Применение в этом случае тихоновского регуляризующего алгоритма при достаточных условиях "слабой регуляризации" таково: для условия (A1): П[г] слабо полунепрерывен снизу на Э; для условия (A2) непустые множества Пс = {z е Э : П[г] < C} слабо секвенциально замкнуты и слабо кома — а _
пактны. Это ведет к сходимости П[z л ] —»- П и к слабой сходимости приближений z л —- Z, если функционалы невязок N(z), Nh(z) слабо полунепрерывны снизу на Э. С прикладной точки зрения слабая сходимость приближенных решений часто оказывается малоинтересной. Более
а _
предпочтительной была бы сильная сходимость z л —► Z в банаховом пространстве Z[a, b] при n —0. Она обеспечивается, если в дополнение к свойствам (А1) и (А2) функционал П[г] обладает так называемым ^-свойством.
Определение 1. Функционал n[z] имеет на множестве Э банахова пространства Z[a, b] ^-свойство, если любая последовательность {zn} с Э, слабо сходящаяся к некоторому пределу z0 е Э : zn —- z0 и обладающая свойством сходимости функционалов n[zn] —► n[z0], сильно сходится к z0 в Z[a, b] : zn —► z0.
Для иллюстрации рассмотрим типичный и хорошо исследованный пример. Пусть Z[a, b] = Э = = Lp[a, b] и n[z] = ||z||L . Можно убедиться, что для такого П[г] выполнены условия (A1), (A2).
Применяя далее тихоновскую вариационную схему решения задачи (1.1), (1.2) с П[г] = ||z||L и используя теорию (см., например, [2]-[4]) этой схемы так, как это указано выше, получаем сходи-
а а _
мость норм ||z n||L —► ||z||L и слабую сходимость приближений z л —- Z при n —*- 0. Но функ-
ционал ||-1|L в пространстве Lp[a, b], как известно, имеет ^-свойство (см. [5]). Значит, из этих схо-
димостей следует сильная сходимость приближенных решений в Lp[a, b] к Z. Однако так использовать функционал нормы для получения сильной сходимости можно не всегда. Например, в пространстве L1[a, b] норма, как легко убедиться на примерах, не имеет ^-свойства и свойства (А2). Это связано с тем, что банахово пространство L1[a, b] не является рефлексивным. Поэтому для сильной регуляризации в этом пространстве необходимо применять другие функционалы П. То же самое можно сказать и о регуляризации в нерефлексивном пространстве функций
ограниченной вариации V[a, b] с нормой ||z||V = |z(a)| + уь (z).
Вопрос о достаточных условиях на функционал П[г], которые не только гарантируют выполнение свойств (А1) и (А2) в конкретных банаховых пространствах Z, но и обеспечивают там ^-свойство функционала П[г], решен в [6]-[9] для Z = Lp(T),p > 1, а также для соболевских пространств W1p (T),p > 1, l > 1, и Wj (T). Здесь T- ограниченная область в [N. В частности, в [9] изучен широкий класс интегральных функционалов вида
z] = J/[z(Xj, ..., xN), zXi(Xj, ..., xN), ..., z'XN(Xj, ..., xN)]dx (1.5)
T
в пространстве Wj (T) и указаны достаточные условия на производящую функцию/, обеспечивающие свойства (А1), (А2) и ^-свойство для функционалов (1.5).
В данной работе будет рассматриваться вопрос о виде регуляризующих функционалов, порождающих сходимость приближенных решений "по вариации", по норме пространства V[a, b], а также по норме некоторых других пространств с ограниченной вариацией более общего вида. Сходимость по норме пространства V[a, b] интересна, например, тем, что она автоматически обеспечивает равномерную сходимость приближений к точному решению рассматриваемой задачи.
В теории методов решения некорректно поставленных задач известно (см., например, [10], [11]), что задачи типа (1.1) в общем случае не регуляризуемы при Z = V[a, b], так как это пространство не сепарабельно. Отсюда следует, что, вообще говоря, для задач (1.1) с единственным точным решением z (x) е V[a, b] получить сходимость по вариации тихоновских приближенных решений
(x) е V[a, b], т.е. сходимость уь(- z) —► 0 (n —0), нельзя без специальных дополнительных предположений о z (x). Однако такую сходимость теоретически можно получить на се-парабельных подпространствах Z[a, b] пространства V[a, b]. Весь вопрос в том, какое конкретное подпространство для этого взять и какой выбрать регуляризующий функционал Q[z]. В связи с
этим большой интерес представляет пространство Wj [a, b]. Дело в том, что сильная сходимость последовательности функций в Wj [a, b] порождает сходимость такой последовательности по вариации: для {zn(x)} с Wj [a, b] из сходимости zn(x) z (x) следует, что
ь
v(z« - z) = J|[z„(x) - z(x)]'|dx—► 0, n—► -
a T
(см. разд. 5). Оказывается, что для пространства Z[a, b] = Wj [a, b], являющегося сепарабельным подпространством пространства V[a, b], существует широкий класс регуляризующих функционалов, которые имеют свойства (А1), (А2) и ^-свойство. Тогда в указанной выше вариационной тихоновской схеме гарантируется сильная регуляризация рассматриваемой некорректной задачи в простра
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.