АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ВЕСТНИК, 2007, том 41, № 2, с. 177-185
УДК 521.13
О СХОДИМОСТИ РАЗЛОЖЕНИЙ ПЕРТУРБАЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ ПЛОСКОЙ ПЛАНЕТНОЙ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ
© 2007 г. В. Г. Соколов
Главная (Пулковская) астрономическая обсерватория РАН, Санкт-Петербург
Поступила в редакцию 17.05.2006 г.
Найдены условия абсолютной сходимости разложений пертурбационных функций плоской планетной задачи трех тел в ряды по степеням эксцентриситетов с коэффициентами, представленными в виде тригонометрических полиномов средней, эксцентрической или истинной аномалии внутренней планеты. Установлено, что использование в качестве независимой переменной эксцентрической или истинной аномалии вместо средней (времени) последовательно приводит к увеличению области голоморфности главной части пертурбационных функций, а разложения вторых частей сходятся в открытых бикругах, допускающих для эксцентриситета внутренней планеты значения, превышающие предел Лапласа.
PACS: 95.10.Ce
ВВЕДЕНИЕ
Известно (Дубошин, 1968; Субботин, 1968; Шарлье, 1966; Уинтнер, 1967), что разложения координат невозмущенного эллиптического движения в ряды по степеням эксцентриситета в окрестности его нулевого значения с коэффициентами, представленными в виде функций средней аномалии (времени), сходятся абсолютно только для значений, меньших предела Лапласа 0.6627... . Поскольку в области сходимости степенного ряда его сумма не зависит от порядка членов и является регулярной (голоморфной, однозначной аналитической) функцией, а класс таких функций замкнут относительно основных математических операций (Гурвиц, Курант, 1968; Евграфов, 1968; Хермандер, 1968; Шабат, 1969), то для указанных выше значений эксцентриситета разложения координат можно, например, дифференцировать и интегрировать почленно любое число раз, при этом радиус сходимости полученных рядов не меняется.
Для пертурбационных функций планетной задачи трех тел в последние годы широко используются разложения в ряды Пуассона (СЪегтак, 1973; ВгитЬе^, каргой, 1973; Брумберг, 1980; Холшевников и др., 2001), которые группировкой членов с одинаковыми степенями позиционных переменных можно представить в виде степенных рядов с коэффициентами, зависящими от угловых переменных. Поскольку эти ряды сходятся, вообще говоря, условно, т.е. на некоторых множествах значений позиционных и/или угловых переменных, их суммы зависят от порядка членов и могут не совпадать с разлагаемыми функциями, то построение аналитических теорий или изучение эволюции орбитального движения
планет на таких множествах без дополнительных исследований необоснованно. Поэтому проблема определения областей голоморфности пертурбационных функций имеет такое же фундаментальное значение в теории возмущенного движения, как и предел Лапласа для разложений координат эллиптического движения в задаче двух тел.
Между тем до настоящего времени рассматриваемая проблема еще далека от своего окончательного решения, при этом результаты, полученные, например, для случая движения планет в одной плоскости разными авторами, не согласуются между собой. Так, исследуя вопрос о сходимости коэффициентов Фурье разложений главной части пертурбационной функции в тригонометрические ряды по кратным средних и эксцентрических аномалий, Пуанкаре установил (Poincare, 1898; 1907), что разложения этих коэффициентов по степеням эксцентриситетов сходятся, "если расстояние перигелия одной из планет больше расстояния афелия другой планеты". Однако в работе (Silva, 1909) показано, что условие Пуанкаре является необходимым, но недостаточным для абсолютной сходимости разложения главной части пертурбационной функции, и получены достаточные условия его сходимости. Sundman нашел сначала условия расходимости (Sundman, 1901), а затем критерий сходимости искомого разложения (Sundman, 1916).
В монографии (Hagihara, 1971) дан обзор работ, связанных с проблемой сходимости разложений пертурбационной функции планетной задачи, из которого следует, что почти все авторы исследовали разложения в степенные ряды с коэффициентами, зависящими от средней аномалии (времени) в качестве независимой переменной урав-
нений возмущенного движения. Между тем, как известно (Субботин, 1968), использование эксцентрической или истинной аномалии вместо средней ускоряет сходимость рядов, расположенных по степеням эксцентриситета возмущаемой планеты. Кроме того, эксцентрическая аномалия регуляризирует особенность в координатах при соударении (тесном сближении) в задаче двух тел (Уинтнер, 1967) и линейно зависит от переменной, регуляризирующей уравнения возмущенного движения (Штифель, Шейфеле, 1975; Боровицына, 1984). Наконец, эксцентрическая и истинная аномалии (в отличие от средней) позволяют выразить координаты возмущаемой планеты через элементарные функции. Единственный недостаток использования каждой из этих аномалий в качестве независимой переменной вместо времени заключается в необходимости выражения через них координат возмущающей планеты (Ротсаге, 1907; Павлов, 1979). Однако при современном уровне вычислительной техники и систем для выполнения аналитических операций этот недостаток не является серьезным препятствием.
Проблема сходимости разложений главной части пертурбационной функции плоской астероидной задачи трех тел в степенные ряды с коэффициентами, представленными в виде тригонометрических полиномов эксцентрической и истинной аномалии астероида, рассматривалась в работах (Самойлова-Яхонтова, 1939; Banachiewicz, 1926) соответственно. Однако в них были найдены только условия расходимости. В данной работе предложен универсальный метод определения областей абсолютной сходимости разложений пертурбационных функций плоской планетной задачи трех тел в ряды по степеням эксцентриситетов в окрестности их нулевых значений с коэффициентами, зависящими от любой из аномалий внутренней планеты: средней, эксцентрической или истинной.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ РАЗЛОЖЕНИЙ ВТОРЫХ ЧАСТЕЙ ПЕРТУРБАЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ
Как известно (Дубошин, 1968; Субботин, 1968; Шарлье, 1966), для плоского варианта планетной задачи трех тел пертурбационные функции, с точностью до постоянных множителей, определяются выражениями
Л = Я, Я = I- Я, (1)
где
А2 = r2-2rr'cos H + r'2,
H = f - f + w - w ',
(2) (3)
г, Г - радиусы-векторы планет; // - их истинные аномалии; ю, ю'- долготы перицентров. Здесь и в дальнейшем, если не оговорено особо, обозначения без штриха относятся к внутренней планете, а со штрихом - к внешней. Первый член в правых частях (1) обычно называют главной частью, а второй - дополнительной, или второй, частью. Для определения условий сходимости разложений Я и Я' по степеням эксцентриситетов е, в положим
е = £ ехр (I у), е = £ ехр (I у'), ¡2 = -1. (4)
Примем в качестве независимой переменной уравнений возмущенного движения одну из аномалий планеты с наибольшим эксцентриситетом. Поскольку эксцентриситеты подавляющего большинства астероидов и далеких спутников больших планет превосходят эксцентриситеты основных возмущающих тел - Юпитера и Солнца, - то, следуя (Павлов, 1979; Самойлова-Яхонтова, 1939; Ва-nachieweicz, 1926), в качестве независимой переменной возьмем одну из аномалий внутренней планеты: среднюю /, эксцентрическую и, или истинную / Заметим, что при использовании средней аномалии выбор планеты не имеет значения ввиду линейной зависимости / и /' от времени.
Обозначим через п, П средние движения планет, а через /0, /0 их средние аномалии в начальную эпоху. Тогда, полагая
m = n' In,
с = l0- mlo,
/1 = т/ + с, и1 = ти + с, /1 = т/ + с
и исключая время из уравнений Кеплера для каждой из планет, получим соотношения, связывающие эксцентрическую аномалию и' внешней планеты с /, и, / при у = 1, 2, 3 соответственно:
где
u' - e'sinu' = Mj, j = 1, 2, 3,
M1 = l1 = Г, M2 = u1 — me sinu, e sin f_
(5)
M3 = f 1 - 2 m arctg
-me
1 + л/l - e2 + e cos f Jl - e2sin f
1 + e cos f '
причем M3 получено с использованием первой части известного из (Broucke, Cefola, 1973) соотношения
tg
f - u = sinf = s in u 2 в + cos f в -cos u'
(6)
в =
выражающего разность f - u через f.
Уравнения (5) определяют эксцентрическую аномалию и' как бесконечнозначную аналитическую функцию переменной в' и параметров 11, и1 или Л при у = 1, 2, 3, а также т, в, и или / при у = 2, 3 соответственно. Особые точки функции и' в окрестности значения в' = 0 ищутся среди решений системы, в которой в качестве первого уравнения берется одно из соотношений (5), а в качестве второго - уравнение
1 - e'cos u' = 0.
(7)
Если и' определяется уравнением Кеплера, у = 1, то ближайшей к началу координат, в' = 0, особой точке, как известно (Дубошин, 1968; Субботин, 1968; Шарлье, 1966; Уинтнер, 1967), соответствует значение
I ^ i ■
u = - + iy, 2 ^
(8)
d=лп -=
= 1-2 g2cos2y + g4, n = 1- g2cos2 y,
причем в формуле для Е берется верхний знак, если 2у е (0, п) и нижний, если 2у е (п, 2п); Е = 0 при 2у = 0 V п. Здесь и далее знаком V обозначен логический союз "или". При выводе выражений для р и q использовались первая часть формулы (6) и формула (507.31) из ( Двайт, 1964).
Уравнение (7) с учетом (8) для искомого радиуса сходимости р дает:
Р = sty
(12)
откуда видно, что минимальной величине р соответствует максимальное значение у. При у = 2 и движении планет в одном направлении, когда т > 0, последнее имеет место при условиях
, п п
u = ±2, Y = + 2,
(13)
где y = 1.1996... = y* - решение уравнения y = cthy, а радиус сходимости разложения и' по степеням e' равен пределу Лапласа р* = 0.6627. .
При использовании и или f в качестве независимой переменной, j = 2, 3, исключение e' из (5) при помощи (7) дает уравнения
u'-tg U = Mj, j = 2, 3. (9)
Подставляя (4) и (8) в (9) и разделяя вещественные и мнимые части, получим соотношения
п = u1 - mg sin u cos у, y = cthy - mg sin u sin y , 2 (10)
j = 2,
П = f1-mp, y = cthy - mq, j = 3, (11) в которых
+ 2 g2 (A + g!) g2 )
p = arctg-—+ T( A1+ Dg1^
C -2g2 1 1 C + 2 Bg2 g2 )
q = 2 С-Щ[2 T(B1+ ),
где
g1 = g cos f, g2 = g sin f, l = 1+2 gj cos y + g1, A = (1+ D) cos y + E sin y , A1 = D cos y - E sin y , B = (1+ D) s
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.