ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2007, том 47, < 4, с. 646-654
УДК 519.633
О СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЙ ДВУМЕРНОЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕ В СЛУЧАЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
КОРНЕЙ ВЫРОЖДЕННОГО УРАВНЕНИЯ1-*
© 2007 г. В. Ф. Бутузов
(119992 Москва, Ленинские горы, МГУ, физ. ф-т) e-mail: butuzovphys.msu.ru Поступила в редакцию 17.10.2006 г.
Для сингулярно возмущенного параболического уравнения -ut + e2Au - fu, x, e) = 0, x e D с [R2, t > 0, с краевыми условиями III рода на границе области D исследован вопрос об асимптотической устойчивости при t —«- го и глобальной области притяжения стационарного решения, пределом которого при e —► 0 является негладкое решение вырожденного уравнения flu, x, 0) = 0, составленное из двух пересекающихся корней этого уравнения. Библ. 4.
Ключевые слова: сингулярно возмущенные уравнения, устойчивость.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
1.1. Введение
Рассмотрим сингулярно возмущенную краевую задачу
e2 A1 (1.1)
(1.2)
где e > 0 - малый параметр, A - оператор Лапласа, D - ограниченная односвязная область на
плоскости R2 с гладкой границей Г, d/dn означает производную по направлению внутренней нормали к Г, Ä,(x) - гладкая неотрицательная функция, а функция f(u, x, e) удовлетворяет следующему условию.
Условие А1. Существуют функции (x) и u(x) из класса С2( ), = D и Г, такие, что в области
G х [0, e] (G = {(u, x) : u(x) < u < (x), x e }, e0 > 0) функция f(u, x, e) дважды непрерывно дифференцируема и допускает представление
= - (u, x) + e2f2(u, x, e), (1.3)
где
f (u, x, 0) = h(u, x)(u - 9j(x))(u - ф2(x)), (1.4)
h(u, x) > 0 в G; h, фх, ф2, fx, f2 - дважды непрерывно дифференцируемые функции. Представления (1.3) и (1.4) показывают, что вырожденное уравнение
f(u, x, 0,) (1.5)
получающееся из (1.1) при e = 0, имеет два корня
u = 9x(x) и u = ф2(г), x e D. Взаимное расположение этих корней определяет
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 05-0100465).
Условие А2. Существует простая гладкая замкнутая кривая С, лежащая в области В и разделяющая ее на части В1 (вне С) и В2 (внутри С), такая, что
и (х) < ф2( х )<ф1 (х )< и (х), х е В1 и Г, и (х )<ф1 (х) = ф2 (х )< и (х), х е С, и(х) < ф 1 (х) < ф2(х) < и(х), х е В2.
Условие А2 показывает, что корни и = ф1(х) и и = ф2(х) вырожденного уравнения (1.5) пересекаются по кривой, проекцией которой на область В является кривая С. Это обстоятельство отличает рассматриваемый случай от стандартного случая изолированных корней вырожденного уравнения, для которого имеют место известные теоремы тихоновского типа о предельном переходе при £ —«- 0 от решения исходной задачи к решению вырожденного уравнения (см., например, [1]).
В случае пересекающихся корней вырожденного уравнения ответ на вопрос о поведении решения задачи (1.1), (1.2) при £ —► 0 не является однозначным (см. [2]).
Из корней ф1(х) и ф2(х) вырожденного уравнения (1.5) образуем два составных непрерывных, но, вообще говоря, не гладких на кривой С, корня:
Гф1 (х), х е Вь Гф2(х), х е В1,
и (х) = < _ и (х) = < _ (1.6)
[ф2(х), х е В2, 1ф1(х), х е В2.
Из условий А1 и А2 следует, что
и(х)> и(х), х е В\С, и(х) = и(х), х е С,
/и(и(х), х, 0) > 0, /и(и(х), х, 0) < 0, х е В\С,
/и(й(х), х, 0) = /и(и(х), х, 0) = 0, х е С. (1.8)
(1.7)
Неравенства (1.7) дают основание назвать корень U (x) устойчивым, а корень U (x) неустойчивым. Вместе с тем, нарушение неравенства fU(и (x), x, 0) > 0 в точках кривой C (см. (1.8)) не позволяет однозначно ответить на вопрос о существовании такого решения задачи (1.1), (1.2), которое при £ —► 0 стремится к корню U (x) в области D. Оказывается, что принципиальную роль в
ответе на этот вопрос играет знак функции f( U (x), x) (см. (1.3)) на кривой C. Положительный ответ получается при следующем условии. Условие A3.
f1(U (x), x) > 0, x е C.
Теорема 1. Если выполнены условия А1-А3, то для достаточно малых £ задача (1.1), (1.2) имеет решение и = us(x, £) такое, что
us(x, £) = U(x) + r(x, £),
где r(x, £) = O(J~£ ) в Ъ-окрестности кривой C, r(x, £) = O(£) - в остальной части области D , 5 -сколь угодно малое, фиксированное при £ —» 0, положительное число. Из теоремы 1 следует, что
lim us(x, £) = U(x), x е D, (1.9)
£ —> 0
т.е. пределом решения Us(x, £) является негладкий на кривой C корень U (x) вырожденного уравнения.
Если в условии A3 изменить знак неравенства на противоположный, то предельный переход (1.9) может не иметь места (см. [2]).
Теорема 1 доказана в [3] (см. также [2]) с помощью метода дифференциальных неравенств, т.е. путем построения подходящих нижнего и верхнего решений для задачи (1.1), (1.2). Напомним эти понятия.
Определение 1. Функции и(х, е) и и (х, е) называются нижним и верхним решениями задачи (1.1), (1.2), если выполнены следующие условия:
(I) ЬЕи = е2Аи - Ли, х, е)> 0 > ЬЕи, х е Ъ,
(и) - А,(х)и> 0 > А,(х)и, х е Г. о« о«
Нижнее и верхнее решения называются упорядоченными, если
и(х, е)< и(х, е), х е Ъ.
Известно (см. [4]), что если существуют упорядоченные нижнее и верхнее решения и и и задачи (1.1), (1.2), то существует решение и(х, е) этой задачи, удовлетворяющее неравенствам
и(х, е) < и(х, е) < и(х, е), х е Ъ.
В [3] построены нижнее и верхнее решения задачи (1.1), (1.2), отличающиеся от и (х) на величину порядка 0(г(х, е)), где г(х, е) имеет такие же оценки, как в теореме 1. При построении верхнего решения в [3] (и также в [2]) применялась процедура сглаживания и (х), поскольку эта функция имеет на кривой С положительный скачок производной по направлению внешней нормали к С (см. условие А2), а это недопустимо для верхнего решения. В разд. 2 будет представлен другой способ построения нижнего и верхнего решений задачи (1.1), (1.2), отличный от описанного в [2], [3] и более подходящий для решения задач, поставленных в п. 1.2.
1.2. Задачи, рассмотренные в данной статье, и полученные результаты Функция us(x, е) из теоремы 1 является стационарным решением параболического уравнения
Peu = - ut + е Au - f (u, x, е) = 0, x e D, t > 0, (1.10)
с краевым условием
du/dn - Ä,(x)u = 0, x еГ, t > 0. (1.11)
Поставим вопрос об устойчивости (по Ляпунову) этого стационарного решения при t —► гс. Положительный ответ на этот вопрос дан в разд. 3, где доказана следующая
Теорема 2. Если выполнены условия А1-А3, то при достаточно малых е стационарное решение us(x, е) задачи (1.10), (1.11) является асимптотически устойчивым (по Ляпунову) при
t —»- гс.
Второй вопрос - об области притяжения устойчивого стационарного решения us(x, е), т.е. о множестве начальных функций u0(x) таких, что решение u(x, t, е) уравнения (1.10) с краевым условием (1.11) и начальным условием
u(x, 0, е) = u0(x), x e D, (1.12)
существует при t > 0 и удовлетворяет предельному равенству
lim u(x, t, е) = us(x, е). (1.13)
t ^
Ответ на этот вопрос дает теорема 3, доказанная в разд. 4. Чтобы сформулировать ее, введем требование в отношении начальной функции u0(x).
Условие A4. Пусть u0(x) - гладкая функция, удовлетворяющая неравенствам
u(x)< u0(x)< u(x), x e D,
где функция u (x) определена в (1.6), а u (x) - функция из условия А1.
Теорема 3. Если выполнены условия А1-А4, то для достаточно малых е решение u(x, t, е) задачи (1.10)—(1.12) существует и удовлетворяет предельному равенству (1.13).
2. ВЕРХНЕЕ И НИЖНЕЕ РЕШЕНИЯ СТАЦИОНАРНОЙ ЗАДАЧИ 2.1. Регуляризация вырожденного уравнения Вместо вырожденного уравнения (1.5) рассмотрим уравнение (см. (1.3), (1.4))
/(и, X, 0) - £/1 (и, X) = 0,
т.е. сохраним в вырожденном уравнении не только главный член, но и член порядка £. Учитывая, что И(и, х) > 0 в области О, запишем это уравнение в виде
(и - ф1(х))(и - ф2(х)) - £а(и, х) = 0, (2.1)
где а(и, х) = Ит1(и, х)/(и, х). В силу условия А3 и равенства и (х) = и (х), х е С, а(и, х) удовлетворяет неравенству
а(и(х), х) = а(и(х), х)> 0, х е С,
и поэтому уравнение (2.1) имеет два гладких в В корня относительно и. Обозначим их через: и = ф(х, £) и и = у(х, £). Из (2.1) с помощью формулы корней квадратного уравнения получаются следующие равенства для ф(х, £) и у(х, £):
Ф(х, £) = 2{ф1(х) + ф2(х) + [[ф1 (х) - ф2(х)]2 + 4а(ф(х, £), х)£]1/2},
1 1/2 (2.2)
¥(х, £) = 2{ф1 (х) + ф2(х) + [[ф1(х) - ф2(х)]2 + 4а(ф(х, £), х)£]1/2}. В свою очередь, из этих равенств легко следует асимптотика функций ф(х, £) и у(х, £) на кривой С:
ф(х, £) = и(х) + 4а(и(х), х)л/£ + О(£), х е С,
х, £) = и(х) - 4а(и(х), х)4£ + О(£), х е С,
а также оценки, имеющие место в достаточно малой (но не зависящей от £) 5-окрестности кривой С (обозначим эту окрестность через С5):
ф(х, £) = и(х) + О(7£), х, £) = и(х) + О(7£), х е С5,
Г Г (2.3)
ф(х, £) - и(х)> С0Л/£, и(х) - х, £) > С0Л/£, х е С5,
откуда следует, что
ф(х, £) - х, £)> 2с„л/£, (2.4)
где с0 - положительное число, не зависящее от £. Отметим, что последнее неравенство справедливо во всей области В. Кроме того, из (2.2) следует равенство
ф(х, £) + х, £) = ф1 (х) + ф2(х) + О(£), х е В. (2.5)
Вне 5-окрестности кривой С гладкие корни ф(х, £) и у(х, £) уравнения (2.1) отличаются от негладких на кривой С корней и (х) и и (х) уравнения (1.5) на величину порядка £:
ф(х, £) = и(х) + О(£), х, £) = и(х) + О(£), х е(В\С5). (2.6)
Таким образом, замена вырожденного уравнения (1.5) уравнением (2.1) является своеобразной регуляризацией вырожденного уравнения, позволяющей получить вместо негладких корней
и (х) и и (х) близкие к ним гладкие корни ф(х, £) и у(х, £).
В дальнейшем нам понадобятся оценки производных функций ф(х, £) и у(х, £) при малых £. Несложные вычисления показывают, что производные первого порядка равномерно по х и £ ограничены, а для производных второго порядка имеют место оценки (А - оператор Лапласа):
|Аф|< С1£-1/2, |Ау|< С1 £-1/2, х е С5, |Аф< с5, |А^< с5, х е В\С5;
здесь, как и ранее, С5 обозначает сколь угодно малую, но фиксированную при £ —► 0, 5-окрест-ность кривой С, через с5 будем обозначать постоянную, которая зависит только от 5, но не зависит от £, а через с1, с2, ... - подходящие положительные постоянные, не зависящие от £ и 5.
2.2. Построение верхнего и нижнего решений
Вернемся к стационарной зад
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.