ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2010, том 50, № 2, с. 249-254
УДК 519.624
О СИНГУЛЯРНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ САМОСОПРЯЖЕННОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ1
© 2010 г. А. А. Абрамов*, В. И. Ульянова*, Л. Ф. Юхно**
(*119333 Москва, ул. Вавилова, 40, ВЦ РАН;
**125047Москва, Миусская пл., 4а, ИММРАН) e-mail: alalabr@ccas.ru Поступила в редакцию 25.06.2009 г.
Изучается общая нелинейная самосопряженная спектральная задача для дифференциально-алгебраической системы уравнений, рассматриваемой на полупрямой. Граничные условия выбираются такими, чтобы решение этой системы было ограниченным на бесконечности. При некоторых предположениях исходная задача приводится к самосопряженной системе дифференциальных уравнений. Выясняются требования к граничным условиям, которые после соответствующих преобразований вместе с полученной системой дифференциальных уравнений образуют нелинейную самосопряженную спектральную задачу. В результате для исходной задачи при дополнительных предположениях о монотонной зависимости исходных данных от спектрального параметра предлагается метод вычисления количества собственных значений на заданном интервале изменения спектрального параметра. Библ. 10.
Ключевые слова: сингулярная дифференциально-алгебраическая система уравнений, нелинейная самосопряженная спектральная задача, собственное значение, численный метод решения спектральной задачи.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассмотрим следующую дифференциально-алгебраическую систему уравнений:
1Ы{ + -М ( 0у + В( ?,Х)у = 0, (1.1)
х—^П X П х—^П X П х—^П
где 0 «£ г < +да, М : [0, +да) —- , В : [0, +да) х [Л1, Л2] —- , у : [0, +о>) —- при фиксированном X. Будем предполагать, что гапкМ(г) = г, 0 < г < п, постоянен на [0, +да) и
rank
M(t), Щ® + B(t,X)
= n для всех t и X.
Общую теорию дифференциально-алгебраических систем уравнений см., например, в [1], [2]. Будем предполагать, что
lim M(t) = M„, lim M(t) = 0, lim B(t, X) = B„(X) и lim B(t, X) = 0
t ^+<» t ^ +<» t ^ +<» t ^+<»
равномерно по X, а также что rankMx = r, rankjjM», BM(X)|| = n для всех X. Функции M(t), B(t, X), BM(X) для простоты изложения будем считать достаточно гладкими.
Будем предполагать, что система (1.1) является самосопряженной, т.е. что M(t) = M*(t) для
всех t и B(t, X) = B*(t, X) для всех t и X. Отсюда BM(X) = B* (X) для всех X.
1) Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 08-01-00139).
Будем предполагать также, что B(t, X) не убывает по X для всех t. Это означает, что из неравенства X2 > X следует неравенство B(t, X2) > B(t, Xj), которое означает неотрицательную определенность эрмитовой матрицы B(t, X2) — B(t, X^. Отсюда получаем, что и Bœ(X) не убывает по X.
Пусть S(t) — какая-либо n х (n — г)-матричная функция от t, столбцы которой образуют базис в kerM(t). Составим для взятых t и X матрицу b(t, X) = S*(t)B(t, X)S(t). Ясно, что rankb(t, X) не зависит от выбора функции S(t). Будем предполагать, что rank b(t, X) постоянен на множестве [0, +да) х [Ль Л2] и равен m, 0 =S m ^ n — r. Без ограничения общности при сделанных выше предположениях можно считать, что функция S(t) выбрана гладкой и что существует lim S(t) = Sœ,
t ^
rankSœ = n — r. Тогда существует lim b(t, X) = bœ(X), функции b(t, X) и bœ(X) также гладкие и
t ^
rankbœ(X) = m для всех X.
Уравнение (1.1) дополняется граничными условиями, которые будут рассмотрены далее. Важное требование к этим условиям состоит в том, что они должны обеспечивать ограниченность решения системы (1.1) при t —»- + да.
2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
Если систему (1.1) рассматривать на конечном отрезке 0 =S t ^ tœ, то при некоторых предположениях, используя метод, предложенный в [3], ее можно привести к самосопряженной системе дифференциальных уравнений. Покажем, что в нашем случае система (1.1), определенная на полупрямой, при соответствующих дополнительных предположениях может быть приведена к системе дифференциальных уравнений вида, изученного в [4]. Для этого уточним метод преобразования системы вида (1.1), предложенный в [3].
Сделаем в (1.1) замену искомой функции
У ( t) = R( t)z( t),
д-^n x n
где R : [0, +да) —- € , R(t) — гладкая функция, detR(t) Ф 0 для всех t. Умножив возникшее после замены уравнение слева на R*(t), получим уравнение
iR*(t)M(t)R(t)Z + 2(R*(t)M(t)R(t))'z + Q(t, X)z = 0,
где
Q = Q * = - ( R *MR - ( R' ) * MR) + R *BR.
При сделанных в разд. 1 предположениях можно выбрать матрицу R(t) так, чтобы выполнялось равенство
R *( t)M( t) R( t) =
D( t) 0 0 0
где D = D* : [0, +да) —- € , rankD(t) = r для всех t, lim R(t) = Rœ, rankRœ = n, lim R(t) = 0.
t ^ t ^
Следовательно, существует lim D(t) = Dœ, rankDœ = r, lim D'(t) = 0. Ясно, что можно взять
t ^ t ^
R(t) = ||T(t), S(t)||, где T : [0, +да) —► €" r, а S(t) — матричная функция, введенная в разд. 1. Система (1.1) при этом превратится в систему
iDz'i + 2d'Zi + qiiZi + q i2 Z2 = 0, (2 1)
tf2lZl + Q22 z2 = 0,
где z =
Zi
Z2
, qra — блоки матрицы 0. Их размеры и размеры столбцов z1 и z2 очевидны. Кроме то-
го, здесь q22(t, X) = b(t, X), где b(t, X) — функция, определенная в разд. 1.
Разобьем столбец z2 на части z2 =
¿2
2
и сделаем замену вида
Z2 = K(t, X)
Z2 ~Z 2
где K : [0, +да) x [Л1, Л2]
€( ) ( ), K — гладкая функция, detK(t, X) Ф 0 для всех t и X,
lim K(t, X) = КШ(Х), detK^X) Ф 0, lim K(t, X) = 0 для всех X. В силу свойств функции b(t, X) функ-
t ^+<» t ^ +<»
цию K(t, X) можно выбрать таким образом, что после умножения второго уравнения системы (2.1) слева на K*(t, X) эта система приведется к виду
iDz{ + ^ D Zi + qu Zi + ^12^2 + qnZ 2 = 0,
Quit, X)Zi + c(t, X)^ = 0, q2i ( t,x) zi = o.
Такое преобразование соответствует тому, что b(t, X) при этом примет вид
(2.2)
b(t, X) =
с(t, X) 0 0 0
Здесь detc(t, X) Ф 0 для всех t и X, lim c(t, X) = cM(X), detcM(X) Ф 0 для всех X.
t ^ +<»
Второе соотношение в (2.2) дает возможность исключить из системы (2.2) функцию z2. В результате мы получим систему
iDz'i + 2 D Zi + qiiZi + qi2Z 2 = 0, </2iZl = 0,
(2.3)
где q11 = q11 — ^12с . Важно, что если решение полученной таким образом системы ограничено при г —»- + да, то z2 также ограничено при г —+ да.
В [3] доказано, что из требования монотонности В(г, X) по X следует, что можно выбрать матрицу К не зависящей от X и что тогда q21 не будет зависеть от X. Поэтому, используя указанные
выше свойства функции К(г), получаем, что </21 : [0, +да) ■
/Р(в - r- m) х r , ~
Ъ , rankq2i (t) = n — r — m для
всех t, lim q21 (t) = q21>„ , rankq21>„ = n — r — m, lim q'21(t) = 0.
t ^ + Ю ' t ^ + <»
Следующий этап преобразования системы состоит в исключении z2 из системы (2.3). Из второго уравнения этой системы мы получаем соотношение
Zi = f( t) w, (2.4)
д-^r x (2r + m — n)
где w — произвольный 2r + m — n-столбец при фиксированном t, /: [0, +да) —» ^ . Для
каждого значения t столбцы матрицы f(t) составляют фундаментальную систему решений этой однородной системы линейных алгебраических уравнений. Из доказанного выше следует, что f(t) может быть выбрана гладкой функцией и так, что существует lim f(t) = fx, rankf(t) = rank/ =
t ^
= 2r + m — n для всех t, lim f'(t) = 0. Тогда (см. [3]), чтобы исключить z2 из первого уравнения
системы (2.3), сделаем замену (2.4) и умножим получившееся уравнение слева наf *(t). При этом слагаемое f* quz 2 пропадет, так как f* q12 = (q*2 f )* = (q21 f )* = 0. В результате получается система уравнений
iG( t) W + - G'(t) w + L (t,X) w = 0, (2.5)
где
G( t) = f* (t) D (t)f( t),
L(t,X) = -f*(t)D(t)f'(t) - (f'(t))*D(t)f(t)] + f*(t)qn(t,X)f(t).
Каждое решение w(t) этой системы дает функцию z\(t) по формуле (2.4) и, следовательно, из первого уравнения системы (2.3) позволяет получить функцию z2(t) по формуле
z2( t) = -(q*2 (t) zi2 (t))-1q*2 (t){iD( t)zi (t) + 2 d (t) zi (t) + ¿11 (t) zi( t)).
Важно, что если функции w(t) и w'(t) ограничены при t —- + да, то функция z2(t) также будет ограничена при t —+ да.
Система (2.5) удовлетворяет условиям самосопряженности и монотонности по X, сформулированным для системы (1.1), но имеет меньший порядок, чем эта система. Если система (2.5) удовлетворяет также и другим требованиям, предъявляемым к системе (1.1), (таким, как rankf*(t)D(t)f(t) постоянен на [0, +да) и т.д.), то можно осуществить следующий шаг преобразования исходной системы. Этот шаг состоит в преобразовании системы (2.5), аналогичном переходу от системы (1.1) к системе (2.5). Предполагая, что полученная в результате система меньшего порядка, чем система (2.5), удовлетворяет всем перечисленным требованиям, можно осуществить следующий шаг преобразования, и т.д. В итоге за конечное число таких шагов мы придем либо к
системе вида (2.5), у которой detG(t) Ф 0 для всех t и существует lim G(t) = Grrj такой, что detGrrj Ф 0,
t ^ + <»
т.е. к системе дифференциальных уравнений, либо к системе, у которой G(t) = 0 для всех t, т.е. к алгебраической задаче (этот случай мы не рассматриваем).
Окончательно полученная после преобразований самосопряженная задача будет иметь вид (1.1), но при r = n. Если эта система удовлетворяет, кроме того, дополнительному условию, что корни алгебраического уравнения относительно у
det(iM^ - уB^(X)) = 0 (2.6)
для всех X не лежат на мнимой оси (условие дихотомии спектра задачи (2.6)), то она будет иметь вид, рассмотренный в [4].
Для такой системы в [4] показано, что при использовании результатов из [5] условие ограниченности решения при t —► + да может быть приближенно заменено некоторым линейным однородным условием в конечной точке tx, причем погрешность такой замены мала при достаточно большом значении trrj. Это условие оказывается самосопряженным и обладающим определенной монотонностью по X. Кроме того, должно быть поставлено самосопряженное граничное условие при t = 0. Таким образом, одновременное выполнение требований ограниченности решения при t —»- + да и самосопряженности возникающей краевой задачи для окончательно полученной системы дифференциальных уравнений возможно только для раздельных граничных условий; рассмот
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.