ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2007, том 47, < 7, с. 1158-1178
УДК 519.624.3
О СИНГУЛЯРНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА, ВОЗНИКАЮЩЕГО В ГИДРОДИНАМИКЕ
© 2007 г. А. Л. Дышко*, Н. Б. Конюхова*, А. И. Суков**
(* 119991 Москва, ул. Вавилова, 40, ВЦ РАН;
** 101472 Москва, Вадковский пер., 3А, МГТУ "СТАНКИН")
e-mail: nadja@ccas.ru
Поступила в редакцию 12.05.2005 г. Переработанный вариант 01.11.2006 г.
Результаты по сингулярным задачам Коши, гладким многообразиям и рядам Ляпунова применяются к правильной математической постановке и анализу сингулярной "начально-краевой" задачи для нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) третьего порядка, заданного на всей действительной оси. Задача возникает в механике вязкой несжимаемой жидкости и описывает автомодельные решения уравнения пограничного слоя для функции тока с нулевым градиентом давления (плоскопараллельное течение в слое смешения). Проведенный анализ задачи позволяет предложить простой численный метод ее решения, приводятся результаты расчетов. Библ. 24. Фиг. 8. Табл. 2.
Ключевые слова: уравнения пограничного слоя, автомодельное решение, автономное нелинейное ОДУ третьего порядка, сингулярная задача на всей вещественной оси, регулярные и сингулярные решения.
1. ВВЕДЕНИЕ
Автономное нелинейное ОДУ третьего порядка, рассматриваемое в данной работе, изучалось многими авторами. По-видимому, наиболее подробное его исследование (методами понижения порядка с изучением особенностей и траекторий на сфере Пуанкаре вспомогательного нелинейного ОДУ первого порядка) проведено в [1]-[4] (см. также библиографию там). Мы будем обращаться к этим интересным, но, с нашей точки зрения, довольно сложным для понимания работам по мере необходимости, в том числе для сравнения полученных результатов и при формулировке дополнительных и/или более строгих и полных математических утверждений.
Приведенные в [1]-[4] задачи механики несжимаемой жидкости нуждаются, на наш взгляд, в более строгой математической постановке как сингулярные краевые (или в некотором смысле, начально-краевые) задачи и в более полном и строгом их математическом анализе. В данной работе даются корректная математическая постановка сингулярной задачи на всей действительной оси для рассматриваемого ОДУ и другой подход к изучению его свойств - без понижения порядка этого ОДУ методами [1]-[4] и сложного анализа вспомогательного нелинейного ОДУ первого порядка с вырождениями по независимой и фазовой переменным (в частности, в подходе [1]-[4] искомая функция принимается за новую независимую переменную, что приводит в общем случае к довольно непростой процедуре возвращения к исходным переменным). Подход данной работы к изучению задачи в исходных физических переменных использует, в частности, некоторые результаты труда Ляпунова [5], относящиеся к автономным ОДУ с полиномиальными нели-нейностями, с детализацией этих результатов для рассматриваемой задачи.
1. Вывод уравнения и постановка физических граничных условий
Для полноты изложения приведем коротко исходную физическую постановку задачи. Уравнения установившегося пограничного слоя для плоскопараллельного ламинарного течения при
Работа частично выполнена при финансовой поддержке Дышко и Конюховой РФФИ (код проекта 05-01-00257).
нулевом градиенте давления имеют вид (см., например, [6, гл. IX], [7, гл. I])
du du д2u du , dv „ 0 0 14
ud-x + vdr vd-x + эГ0, x e U+, y e U' (U)
где ось x направлена вдоль потока и совпадает со свободной линией тока, u - составляющая скорости течения вдоль оси x, v перпендикулярно направлению потока, v - параметр кинематической вязкости (о физическом смысле параметра v в данной задаче см. подробнее [1]-[4]). Введя, как в [6], [7], функцию тока y(x, y) такую, что
u (X' У) = jy (X' У), v (x, y) = -idj (x, y), (1.2)
y(x, 0) = 0 Vx e U+, (1.3)
где условие (1.3) определяет ось x как свободную линию тока, получаем, что второе уравнение в (1.1) удовлетворяется, а из первого следует уравнение для y(x, y) (см., в частности, [6, с. 138]):
dv^- д^ = v^ x e U+, y e U. (1.4)
dy дxдy dx dy2 dy
Следуя [3], [4], ищем автомодельные решения уравнения (1.4) в виде
у( x, y) = w-1/2 x ™Ф(т), (1.5)
где автомодельная переменная т зависит от параметра автомодельности m:
т = ro1/2y/x1/(m + 1), ю> 0, m > 0, vro = m/(m + 1). (1.6)
Для Ф(т) получаем ОДУ третьего порядка:
Ф''' + ФФ''-[(m-1 )/m ](Ф' )2 = 0, -~<т<~. (1.7)
Согласно [3], [4], течение в слое смешения, возникающем при взаимодействии двух потоков, верхний из которых движется, а нижний покоится, описывается ОДУ (1.7) с условиями
lim Ф'(т) = 0, (1.8)
Ф( 0) = 0, (1.9)
ПтФ(т)/тт = b, 0 < b фиксировано. (1.10)
Здесь, очевидно, условие (1.9) следует из (1.3); однако подробная физическая интерпретация условий (1.8), (1.10) нами в литературе не обнаружена (в частности, среди задач, обсуждаемых в [6, гл. IX], задачи вида (1.7)—(1.10) нет). На наш взгляд, условия (1.8), (1.10) можно трактовать следующим образом. Для составляющих вектора скорости при x > 0 и те U из (1.2), (1.5), (1.6) получаем
u = ^ = x{m-1)/(m + 1)Ф' (т), (1.11)
v = = [ю-1/2x~1/(m + 1)/(m +1 )][тФ'(т) - mO(T)j. (1.12)
д x
Тогда условие (1.8) связано с тем, что нижний слой первоначально покоится, так что u(x, y) —► 0 при y —► Vx > 0, а условие (1.10) означает, что далеко в верхнем слое отсутствует вертикальная составляющая скорости: v(x, y) —► 0 при y —► ^Vx > 0. В самом деле, из этого требования и (1.12) следует выполнение условия
lim [тФ'(т)/Ф(т) - m] = 0, что влечет Ф(т) ~ bTm при больших т (b = const). Отсюда и из (1.11) для горизонтальной составля-
ющей скорости в верхних слоях получаем
u (x, у)~ mb{ ml [(m +1 )v]}(m-1)l2ym-1 = U0ym-\ у > 1, x > 0, (1.13)
где
U0 = mb{ ml [(m +1 )v]}(m-1)l2. (1.14)
Таким образом, задание b > 0 в условии (1.10) равносильно заданию величины U0 в формуле (1.13), описывающей зависимость от у горизонтальной составляющей скорости верхнего потока при больших у. Эта зависимость как бы "навязана" выбором автомодельного решения вида (1.5),
(1.6), так что течение верхнего слоя жидкости не является произвольным. Ограничиваясь приведенной физической интерпретацией задачи (1.7)—(1.10) и ссылками на
[1]-[4], где дается более подробное описание ее физических приложений, в дальнейшем мы будем изучать эту сингулярную задачу уже только с математической точки зрения.
Задача (1.7)-(1.10) трактуется в [3], [4] как трехточечная краевая задача (КЗ), где из ее анализа, однако, видно, что более точно имеется в виду под условием (1.8) и как используется условие (1.10). В данной работе мы опишем математически более строго постановку сингулярной задачи для (1.7) и проведем ее анализ в исходном виде, что позволит нам дополнить имеющиеся здесь результаты недостающими сведениями и более строгими и полными математическими утверждениями, а также предложить простой численный метод ее решения. Для анализа ОДУ
(1.7) применяются результаты по сингулярным задачам Коши (ЗК) и гладким устойчивым начальным многообразиям решений (УНМ), а также параметрические ряды Ляпунова (см. [5, разд. 23]) и асимптотические разложения, в том числе и для численного решения задачи. Некоторые результаты этой работы анонсированы в [8] (допущенные там неточности здесь исправлены).
2. Предварительные замечания
2.1. Укажем некоторые известные точные решения ОДУ (1.7) при фиксированных значениях параметра m и сделаем ряд замечаний. Наряду с очевидными решениями Ф(т) = const Vm е U ОДУ (1.7) обладает однопараметрическим семейством сингулярных решений
Ф^,m(т - Tp) = 6ml[(m +1 )(т - Tp)], (m * 0) л (m *-1), тр е U, (1.15)
и для m = {1/2; 1; 2; - двухпараметрическими семействами решений, существующих на всей вещественной оси:
Ф112(Т - тs, a) = atanh([a(т - Ts)/2], m) = 1/2, a^s е U, (1.16)
Ф1 (т - тs, a) = a(т - тs), m -- 1, a^s е U, (1.17)
Ф2(т - тs, a) = a(т - Ts)2, m = 2, a, т, е U, (1.18)
ф~(т - -тs, a) = a[exp(a(т - Ts)) - 1 ], m — a^s е U. (1.19)
Здесь т , т, - параметры сдвига, а - любое число. Эти частные решения легко получаются обычным понижением порядка в ОДУ (1.7) и, возможно, были известны еще до его подробного исследования. Не претендуя на полное знание этого вопроса, ограничимся следующими замечаниями: 1) решения (1.15) следуют, в частности, из общей формулы для трехпараметрического семейства сингулярных решений, полученной в [3, с. 408], [4, с. 15] (см. ниже разд. 4); 2) о решениях (1.16) и их физической интерпретации см. в [6, гл. IX]; 3) на существование точных решений при т = 1 и т = 2 указано в [3, с. 405] (см. ниже подробнее п. 2.2); 4) решения (1.19) приведены, например, в [4, с. 28], со ссылкой на [9].
Решения (1.16), (1.19), имеющие самостоятельный физический смысл, удовлетворяют условиям (1.8), (1.9) при т, = 0, но не удовлетворяют условию (1.10); решения (1.17), (1.18) при т, = 0 и а = Ь удовлетворяют условиям (1.9), (1.10), но не удовлетворяют условию (1.8). Отсюда можно, в частности, сделать предварительный вывод о важной роли параметра т: при указанной постановке условий (1.8), (1.9) сингулярная задача (1.7)-(1.9), рассматриваемая при т е при некоторых значениях параметра т может иметь бесчисленное множество решений (однопараметри-чекое семейство), а задача (1.7)-(1.10), определенная на всей вещественной оси, т е К, может не иметь решений.
В дальнейшем мы обратимся еще к одному важному значению параметра m: m = 1/3, при котором существует точное однопараметрическое семейство сингулярных решений ОДУ (1.7), удовлетворяющих условиям (1.8), (1.9). Каждое решение этого семейства имеет полюс первого порядка при положительном конечном значении т, зависящем от параметра, и строится в виде обратной функции.
Кроме всех перечисленных здесь случаев, при других значениях параметра m существование для ОДУ (1.7) точных решений, отличных от тождественно постоянных и сингулярных решений (1.15), нам не известно (см. ниже п. 2.2).
Наличие бесконечного множества сингулярных решений (1.15) тесно связано с проблемой глобального
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.