МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 5 • 2009
УДК 532.517.4
© 2009 г. Н. В. НИКИТИН
О СКОРОСТИ РОСТА ВОЗМУЩЕНИЙ В ПРИСТЕННЫХ ТУРБУЛЕНТНЫХ
ТЕЧЕНИЯХ
Численно изучается развитие возмущений в пристенных турбулентных течениях. Рассмотрены течения в круглой трубе и плоском канале. Уравнения Навье—Стокса с условием периодичности вдоль основного потока интегрируются по времени до выхода решения на статистически стационарный "турбулентный" режим. После этого решение возмущается, и дальнейшая эволюция возмущения определяется сопоставлением двух решений: с возмущением и без него, которые рассчитываются параллельно. Показано, что на линейном этапе расхождение решений происходит в среднем экспоненциально. Главный результат работы — наблюдение, что инкремент роста малых возмущений оказывается постоянным (не зависящим ни от числа Рейнольдса в рассмотренном диапазоне, ни от вида течения) при нормировке на пристенный масштаб времени: А,+ я 0.021. Оценка скорости роста возмущений во времени согласуется с ранее полученными результатами о росте возмущений вниз по потоку, а также с оценкой старшего показателя Ляпунова, рассчитанного для турбулентного течения в плоском канале.
Ключевые слова: уравнения Навье—Стокса, прямой расчет, турбулентное течение.
Неустойчивость и непредсказуемость могут служить основными элементами определения турбулентности. Случайные возмущения, как бы малы они ни были, нарастают в турбулентном потоке, делая невозможным практическое предсказание мгновенной структуры турбулентности. Изучению вопросов предсказуемости турбулентных течений посвящено большое количество теоретических, экспериментальных и вычислительных работ (см. обзор литературы в [1]), однако количественные результаты до недавнего времени практически отсутствовали. В этой связи можно лишь упомянуть работу [2], в которой рассчитаны ляпуновские показатели для аттрактора, соответствующего турбулентному течению в плоском канале, полученному численно при предельно низком числе Рейнольдса и периодических граничных условиях.
В недавней работе автора [1] численно получена оценка скорости пространственного роста малых возмущений в круглой трубе и плоском канале. Показано, что в среднем по времени амплитуда возмущений растет вниз по потоку экспоненциально. При нормировке на пристенный масштаб инкремент роста возмущений оказывается постоянным (не зависящим от числа Рейнольдса в рассмотренном диапазоне и вида течения), ст+ « 0.0021. Последнее позволяет высказать гипотезу об универсальности этой величины, характеризующей степень предсказуемости пристенной турбулентности. В [1] также определена скорость распространения наиболее растущего возмущения вниз по потоку: с+ « 10. Изменение амплитуды в пространстве можно интерпретировать как изменение во времени с одновременным сносом по течению. Отсюда следует оценка скорости экспоненциального роста во времени: = с+ст+ « 0.021. Полученное значение хорошо согласвуется со старшим показателем Ляпунова течения в плоском канале, характеризующим скорость расхождения траекторий на аттракторе [2].
Цель настоящей работы — непосредственное определение скорости роста возмущений во времени и сопоставление результатов с оценками, полученными в [1]. Исследуются трубулентные течения в круглой трубе и плоском канале, которые рассчитыва-
ются путем численного решения уравнений Навье—Стокса с условием периодичности вдоль потока. В такой постановке задача требует меньше вычислительных ресурсов, чем расчет пространственного развития, что позволяет провести расчеты с большей вариацией параметров.
1. Постановка и метод решения задачи. Рассматриваются турбулентные течения несжимаемой жидкости в трубе круглого сечения и плоском канале. Постановка задачи и процедура расчета стандартны для прямого численного моделирования турбулентных течений в трубах и каналах (см., например, [3]). Уравнения Навье—Стокса решаются с условием прилипания на твердых стенках и с условием периодичности поля скорости в продольном направлении х (а в случае плоского канала и с условием периодичности в боковом направлении г). После задания начального поля скорости (обычно в виде течения Пуазейля плюс некоторое случайное трехмерное возмущение с амплитудой в 1—2%) уравнения интегрируются по времени до выхода решения на статистически стационарный "турбулентный" режим. В этот момент времени, который далее обозначается как ? = 0, в поток вносится возмущение скорости с малой амплитудой. После чего два течения, с возмущением и без него, рассчитываются параллельно, обеспечивая возможность изучения эволюции поля возмущения при ? > 0, которое определяется как разность полей скорости Дu = ^ — ^ в двух течениях.
Расход жидкости в процессе расчета поддерживается постоянным, следовательно, сохраняется постоянным числом Рейнольдса Яе = 2Яиь/у, где иь — средняя скорость потока, а Я — радиус трубы или полуширина канала. Строго говоря, кроме числа Рей-нольдса определяющим параметром является также и величина продольного периода решения Ьх (а для канала — и величина бокового периода Хг). Заметная зависимость статистических результатов от размеров расчетной области наблюдается при малых Ьх,
[4]. В данной работе периоды выбираются достаточно большими, так что зависимость результатов от Ьх, ничтожна, что подтверждается специальными методическими расчетами.
Уравнения Навье—Стокса решаются в декартовой системе координат (х, у, г) в случае канала и в цилиндрической системе (х, г, 9) в случае трубы. Используется универсальный метод [5], включающий консервативную конечно-разностную схему 2-го порядка аппроксимации по пространству и полунеявный метод 3-го порядка для интегрирования по времени. По нормали к твердым стенкам строится неравномерная сетка со сгущением узлов в пристенной области, в двух оставшихся направлениях течения статистически однородное, поэтому и сетка в этих направлениях равномерная.
2. Расчетные варианты. Сводка определяющих и алгоритмических параметров проведенных расчетов дана в таблице. Здесь и далее все величины приведены в безразмерном виде. В качестве масштабов выбираются радиус трубы (полуширина канала) Я и максимальная скорость течения Пуазейля и0(и0 = 2иь в трубе и и0 = 1.5и в канале). Используется также нормировка на пристенные (вязкие) масштабы скорости иТ = Vхж/Р, длины 1Т = у/ит и времени ^ = 1Т/иТ, которые определяются через среднее напряжение трения на стенке тк, плотность р и вязкость жидкости V. В этом случае безразмерные величины помечаются верхним индексом +. В настоящей работе представлены результаты семи расчетов: четырех в трубе (Т1—Т4) и трех в канале (К1—К3). Расчеты в трубе проведены при четырех разных числах Рейнольдса: от 4000 до 10000. Соответствующие вязкие числа Рейнольдса Яет = Яuт/v = Я/1Т меняются в диапазоне от 140 до 320. Длина расчетной области (Ьх = 10) достаточно велика как в глобальных, так и в вязких масштабах. В таблице приведены также размеры вычислительной сетки (Их, N N9 — число узлов сетки в продольном, радиальном и угловом направлениях соответственно) и размеры ячеек сетки Нх, Нг, к9. Во всех случаях сетка достаточно по-
Параметры T1 T2 T3 T4 K1 K2 K3
Re 4000 5300 8000 10000 5600 5600 10700
ReT 140 180 260 320 180 180 310
Lx 10 10 10 10 6 20 6
L+ 1400 1800 2600 3200 1080 3600 1860
Lz - - - - 3 10 3
L+ - - - - 540 1800 930
Nx 256 256 256 256 128 256 256
Nr(y) 64 64 128 128 128 128 256
128 128 256 256 128 256 256
h 0.039 0.039 0.039 0.039 0.047 0.078 0.023
5.5 7.0 10.0 12.5 8.4 14.0 7.3
h r(y), min h+ r(y), min h r(y), max h+ ч r(y), max Rhe(hz) 0.004 0.56 0.026 3.6 0.049 0.004 0.72 0.026 4.7 0.049 0.002 0.52 0.013 3.4 0.025 0.002 0.64 0.013 4.1 0.025 0.005 0.9 0.025 4.5 0.023 0.005 0.94 0.025 4.5 0.039 0.0025 0.78 0.013 3.9 0.012
R+h0( h+) 6.9 8.8 6.4 7.9 4.2 7.0 3.6
дробная для адекватного описания как пристенных, так и внешних турбулентных структур.
Три расчета течения в канале проведены при двух числах Рейнольдса. Длина продольного периода в расчетах K1 и K3 была меньше, чем в трубе. Для выявления возможной зависимости скорости роста возмущений от размеров расчетной области специально проведен расчет K2, в котором периоды течения в обоих однородных направлениях были увеличены более чем втрое по сравнению с вариантом K1 при том же числе Рейнольдса.
Во всех вариантах интегрирование по времени проводилось с шагом At = 0.025. При нормировке на вязкий масштаб времени это составляет от At+ = 0.1225 (расчет T1) до At+ = 0.3 (расчет K3). Во всех случаях At+ не превышает значения 0.4, что, по мнению авторов [6], является максимально допустимым шагом интегрирования при расчете пристенных турбулентных течений. При максимальном пространственном разрешении (расчет K3) расчетная сетка имеет 224 = 16777216 узлов. Поскольку параллельно рассчитываются два решения (с возмущением и без возмущения), что эквивалентно задаче с более чем 33 миллионами узлов. Методические и отладочные расчеты проводились на персональном компьютере, а основные вычисления — на многопроцессорной системе "Iridis" университета г. Саутгемптона, Великобритания.
3. Статистические характеристики. Эффективность применяемого метода при расчет турбулентных течений показана в [5]. Там же дано подробное сопоставление результатов расчетов течений в трубе и канале при Ret = 180 с результатами других авторов. В данной работе ограничимся представлением статистических характеристик, полученных при наибольших числах Рейнольдса (расчеты T4 и К3). Профили средней скорости, сдвиговых напряжений Рейнольдса, интенсивностей пульсаций трех компонент скорости и завихренности показаны на фиг. 1 и 2. Профили получены в результате осреднения по времени и двум однородным координатам. В канале, кроме того, проводится осреднение относительно плоскости симметрии y = 0. Для сравнения на фиг. 1, 2 даны результаты [7] расчета течения в канале при Ret = 300 (эти данные доступны в Интернете по адресу http://www/thtlab.t.u-tokyo.ac.jp/DNS/dns_database.html). Результа-
20 U+
10
-{uuY
0 _I..........I..........I_L
100 101 102 y+
102 y+
Фиг. 1. Профили средней скорости (а) и сд
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.