МЕХАНИКА
УДК 539.3
О СМЕШАННЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ МНОГОСЛОЙНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ КОМПОЗИТОВ
© 2006 г. Академик В.А. Бабешко1, C.B. Ратнер1, П.В. Сыромятников1
Описывается численно-аналитический метод построения символа Фурье матрицы Грина для пакета термоэлектроупругих слоев с плоскопараллельными границами раздела при наличии плоских трещин и/или жестких включений на границах раздела. Каждый слой может обладать произвольной термоэлектроупругой анизотропией и пироэлектрическими свойствами. Приводится описание экономичного приближенного численного метода вычисления, типичного для данных задач интеграла - двукратного обратного преобразования Фурье - интегрального представления решения краевой задачи при заданных механических, электрических и тепловых нагрузках на поверхности слоя и/или границах неоднородностей.
Известно, что решение многих прикладных задач тесно связано с возможностью удачного построения и исследования функции Грина [1,2]. Различные двумерные (2Э) и трехмерные (ЗО) функции Грина для изотропных тел и 20-функ-ции Грина для анизотропных тел достаточно хорошо изучены, однако ЗО-функции Грина для анизотропных тел исследованы недостаточно [3]. В последние годы в этой области были получены некоторые результаты для статических и квазистатических задач, в основу которых было положено использование обобщенного формализма Строха-Лехницкого [4, 5], первоначально предложенного в классической работе по анизотропии Барнетта и Лоте [6]. В ряде случаев функции Грина получаются в образах Фурье, тогда основной трудностью является проведение аналитического обратного преобразования Фурье для получения решения в физической области определения. И хотя построение функции Грина - достаточно разработанный вопрос, тем не менее исследование ее встречает определенные сложности. Некоторые примеры функции Грина для статической задачи на ЗО анизотропном упругом пространстве функции Грина были выведены в работах [7, 8]. В работе [4] была построена функция Грина для анизотропного полупространства в виде линейного интеграла на конечном интервале, в [5] выведены функции Грина для биматериала, а в более поздних исследованиях [9] выведены ЗО-функции Грина для анизотропного триматериала.
1 Южный научный центр Российской академии наук, Ростов-на-Дону.
В работе [10] решена краевая задача для анизотропного упругостатичного многослойного композита при условии свободной от напряжений поверхности и контакта без трения на интерфейсных границах. Для решения краевой задачи используется подход, предложенный в работах [4,5], строятся функции Грина для перемещений, напряжений и их производных в образах Фурье и предлагается новый подход к численному определению обратного преобразования Фурье на основе использования специального решения для триматериала.
Несмотря на значительный прогресс в исследовании статических краевых задач для анизотропных многослойных сред, динамические задачи до сих пор изучены слабо.
В настоящей работе рассматривается динамическая задача для термоэлектроупругих анизотропных слоев с плоскопараллельными границами раздела, содержащими трещины или жесткие включения, которая имеет как самостоятельный интерес, так и вспомогательный - для дифференциального метода факторизации в произвольных областях. Полученные в работе результаты демонстрируют способы реализации дифференциального метода факторизации, основанные на численных расчетах функций, представленных двумерными интегралами Фурье.
Пусть среда представляет собой однородные слои {-<*> < х2 < оо, 2п+1 < г < г„, ~ 0, > г - х3, п = 1,2...... Ы), где каждый имеет материальные константы р«.
Гармонические колебания возбуждаются механическими, тепловыми, электрическими нагруз-
ками и описываются следующими уравнениями (общий множитель ехр(-/(ог) всюду опущен):
Эа.
7 дО;
—+ рсо «„ = О, = О,
OXj дх}
дх,
- /0)ГГ1
ди„ Эф Л
Здесь
ди
дх
Эм„
= 0.
(1)
дх
Э(р
эе
(2)
Ег & ' |\М,и = 1,2,3,
пт
л - тензор упругих постоянных, - тензор пьезоэлектрических постоянных, - тензор температурных коэффициентов механических напряжений, £д - тензор диэлектрических проницаемо-стей, ог; - тензор напряжений, 0; - вектор электрической индукции, Е, - вектор напряженности электрического поля, ф - электрический потенциал, чпт - тензор коэффициентов теплопроводности, р - - тензор пироэлектрических коэффициентов, g¡ - вектор теплового потока, ик - вектор механических смещений, 6 = Т - Т0 - относительная температура, Г - абсолютная температура, Т0 -
Р С, „
начальная температура, ¡и. = ——, С£ - удельная
Тп
теплоемкость, р - плотность, со - круговая частота.
Электрический потенциал вне слоя не учитывается, поскольку диэлектрическая проницаемость вакуума считается значительно меньше проницаемости в слое.
Не останавливаясь на деталях, представим символ Фурье матрицы Грина К в форме
^(«1 'а2 ) = РЧХ2 \.Кп I= И ктп(Х1 >Х2) X
х ехр(/(а1д:1 + а2х2 ))(1х1с1х2, ^
Здесь к^ имеет следующее интегральное представление;
4к
г,г2
х ехр(-/(а1х1 +а2х2))^а^а2,
(4)
Гь Т2 - контуры интегрирования, частично отклоняющиеся от вещественных осей при обходе особенностей Ктп в соответствии с принципом предельного поглощения [11].
Описываемый далее метод является обобщением подхода работы [12] на случай пакета тер-моэлектроупругих слоев с неоднородностями, в которой используется двукратное преобразование Фурье к уравнениям (1), (2). Выполнив преобразования, получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка
относительно вектора и = ^1Г2[и] = {их, и2, 1/3,
и4, и5) - символа вектора перемещений {11Ь 112, и3}, электрического потенциала Ф = 1/4 и температуры 0 = и5:
Аи + А(1)и/ + А(2)и" = 0. (5)
Здесь штрихами обозначены производные по х3. Матрицы А, А<2> имеют вид
Ар4 — - ~егрп®-гР*г »
А44 = £Пгапаг» =0С;па«' А*5 ^, = ю^оХ> = ~^ТоРпап, = '«>рСе -мтаган, = -¿<хП{С% + С?),
= - ~1&п(е3тп +еятз)' Д*4 = '2<Х„£3п,
А£=-юТ0р„ А$>=-Ихя(уя3 + У3п)
4(2) _ ГЫ л(2) _ Л2) _
4(2) _ _е 4(2) _ 4<2) _ л(2) _ а(2) _ п 44 ~~ Ь33' /5 ~~ ^5] 45 _ ^54 ~и'
¿я = узз> = ъ2'* = 1,2,3)
- символ Кронекера, параметры пре-
образования Фурье.
Умножая выражение (5) слева на (А®)-1, можно получить систему первого порядка относительно вектора и = [их,...,и$, и[,
сЫъ
-(А<2))-1 А
_(А(2)Г1А(1)
и,
(6)
где I, 0 - единичная и нулевая матрицы соответственно. Решение системы (6) приводит к проблеме на собственные значения вида
(Ь-АД)Ь = 0. (7)
В каждом слое искомый вектор 1К"> можно представить следующим образом: и<и> =
10
= I ^Ь^ехр^г), где *,<«>, Ь<«> - собственные
значения и собственные векторы системы (7) для «-го слоя, К") - векторы, подлежащие определению. Разрывные условия на границах раздела слоев имеют вид
.................
(« = 1,2.....N-1),
= {
(И+1)
где
(В)
- еъ}Ъ
п _ /-»ЛЗ ~ /3 '
/?4 j = ,
— 1®-пеп}Ъ ■ /?44 = *б3_а_,
Я
4,*+5
~е33к> ^/5 5Сз)■> ^45 — Ръ»
'33'
= —633, у,к = 1,2,3', п = 1,2;
/ = 1,2,3,4; т = 1,2,...,9.
В формуле (8) и далее через 0, й обозначены верхняя и соответственно нижняя половина вектора (матрицы) II; Г = {0; К«)} =
= {0;0;0;0;0;/1(й);...;/5(й)} в случае трещины
либо Г = {А"), 0} в случае включения на границе г - 2„, - векторы разрывов. Относительно
неизвестных 1<я> = {¿,(п);равенства (В)
приводят к линейным алгебраическим уравнениям с блочно-диагональной структурой
с (П)(2Я+1Н(В) -С (и+1)(*„+1»(п+1) = 1{п+1\
п = 1,2, — 1,
(9)
где
С(п\г) = К(п) Н(Л)Е {п){2) = С(п)(0)Е(ге>(2),
Л
с(п)(о)=&(и)н(">, а(п) = ¿5Г)=ехр(^)г),
I 0
Н
.....
На высотах гх - 0, г - относительно КЧ имеем уравнения
С«»(г1)1<" = Г<",С<'"(^1)1""=0. (10)
Последнее уравнение (10) соответствует рассматриваемому далее случаю, когда в основании щ = = <р = 6 = 0. Соотношения (9), (10) легко позволяют получить решение V непосредственным обращением матрицы системы или в рекуррентном виде, однако в вычислительном отношении оно малоэффективно при больших ос„ со из-за растущих экспонент в матрицах О'Ч^). Последнее удается устранить подходящей заменой переменных.
Введем новые неизвестные 1(п) = в-К^ИК где 0(2п+1): в, = ехр^ -А?^), *(•> - собст-
венное число системы (7) для слоя п с наибольшей действительной частью. Данная замена позволяет вынести растущие экспоненты из матриц 0> и в целом за рамки вычислений.
Кратко опишем алгоритм вычисления К<ПА Матрица К^Л соответствует слою с номером п и нагрузке НО: К(и1> является матрицей Грина многослойной среды без неоднородностей, К<ЯА } = 2, 3.....N описывает вклад вектора разрывов
для среды с неоднородностями.
1. л<«> = СКО))-1 С«+1)(0)Е<«+*), £<Л+,) =
= ехр((^+1)2 ~ п = 2' -N - 1, ДГ > 2;
2. У0) = ан1т2>... Д0-2)(С(/-1>(0))-1, =
= ехр(-Х?22)(С(1\0)Г\
3. } =
а
/ р,
М =
С(1)(г!)С (22)3
ДГ+1/у
-С(,)(г,)С(22)Уи^В
(ЛпоЛ
о
4. 0><»> = >2;
5. К<М(2)= ¿(в'л(2)+К(я^(2),
= Н(п) У(я)(2)Л(я)Л(я+1)... 2
у
-(Я, л
я+1 < г < г„;
^2)(С(М)(0))_1ВУ,? Л < у _ 2; к
n>j;
и«) _
g-CJ)
3S - ехр
Xfz + (Х^ -\{?)zn+{ - ~1 Матрица В0) имеет вид Bw =
Ya =exp
в случае
трещины на высоте z = z¡, либо ВО") =
в случае
включения. Векторы U<*>, ffW связаны соотношением
(Z)f
О)
(11)
Uw(z)=X К1
Зная матрицу Грина, можно ставить и решать смешанные задачи для указанной краевой задачи в различных постановках [11, 13]. В процессе решения этих задач неизбежно возникает необходимость вычисления типичных двумерных интегралов Фурье. Хотя и существует достаточно большой набор методов и программ вычисления подобных интегралов, тем не менее представляет интерес разработка и более простых методов, учитывающих специфику подынтегральных функций. Ниже предлагается удобный для указанных задач приближенный метод вычисления
обратного преобразования Фурье u = [Ü]
при заданном векторе f. Применим указанное преобразование к формуле (И) и в интегральном представлении и, аналогичном представлению (4), перейдем к цилиндрическим координатам x^rcosp, ;t2=rsinP, хъ = z,
r = Jx[+x¡, P = arctg~,
=acosy, <x2 = a sin y,
y = arctg—, a = ^af+af.
a,
jt
Тогда, обозначая через т = у- р - ^ получаем u(r,p,z) =
- J J K(a,Y,z)f(a,y)x 4я о г
(12)
х exp(/ar
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.