научная статья по теме О СОБСТВЕННЫХ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЯХ ПОЛОГО ВАЛА С ПРОДОЛЬНЫМ СКВОЗНЫМ РАДИАЛЬНЫМ РАЗРЕЗОМ Общие и комплексные проблемы технических и прикладных наук и отраслей народного хозяйства

Текст научной статьи на тему «О СОБСТВЕННЫХ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЯХ ПОЛОГО ВАЛА С ПРОДОЛЬНЫМ СКВОЗНЫМ РАДИАЛЬНЫМ РАЗРЕЗОМ»

УДК 534.113

О СОБСТВЕННЫХ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЯХ ПОЛОГО ВАЛА С ПРОДОЛЬНЫМ СКВОЗНЫМ РАДИАЛЬНЫМ РАЗРЕЗОМ

А.Г. Хакимов

Исследованы собственные крутильные колебания полого вала с продольным сквозным радиальным разрезом. Показано, что при расположении разреза в узле колебаний собственные частоты не зависят от длины разреза. С возрастанием длины разреза низшие частоты собственных крутильных колебаний уменьшаются. Для продольного сквозного разреза полого вала изменения собственных частот крутильных колебаний значительны по сравнению с изменениями аналогичных частот для вала с поперечным надрезом. По двум собственным частотам крутильных колебаний определены начальная координата и длина продольного сквозного радиального разреза полого вала.

Ключевые слова: вал, собственные частоты, крутильные колебания, продольный радиальный сквозной разрез, длина разреза, начальная координата разреза.

Решению проблемы идентификации повреждений в стержнях, балках и более сложных связанных структурах посвящено большое количество работ [1—11]. Подробный их анализ изложен в обзорах [3, 6, 10]. В [3] дано решение задачи определения переменной площади поперечного сечения от продольной координаты по известной зависимости перемещения свободного конца стержня от частоты возмущающей силы. В [10] представлен интегральный признак идентификации дефектов в элементах стержневых конструкций, позволяющий определить не только их наличие и местоположение, но и степень поврежденности.

В предыдущих работах автора, например в [12], рассмотрены собственные изгибные, крутильные и продольные колебания стержня конечной длины с поперечным надрезом. Продольный разрез или трещина в стержне не определяется по собственным частотам продольных или изгибных колебаний, так как в зоне разреза не происходит уменьшение площади и осевых моментов инерции поперечного сечения стержня. Поэтому здесь рассмотрены собственные крутильные колебания полого вала с повреждением в виде продольного сквозного радиального разреза. Этот разрез моделирует его повреждение типа продольной сквозной радиальной трещины. Вал закреплен верхним и нижним концами на упругих опорах с жесткостью на кручение с1 и с2 и соединен по концам с дисками с моментами инерции J1 и J2 (рис. 1). Рассмотрено только напряженно-деформированное состояние в пределах упругости для вала. Поскольку трещина появляется в результате развития незначительного зародыша, причем необязательно в наиболее напряженном сечении, то предполагается, что разрез может быть в любом месте по длине вала. Задача состоит в определении начальной координаты разреза и его длины.

Установим следующие обозначения: Ь, J — длина и полярный момент инерции поперечного сечения вала; О, р, ц — модуль сдвига, плотность и коэффициент внутреннего трения; I — длина разреза; Jk, Jk2 — параметры жесткости поперечного сечения в неповрежденной части вала и в зоне разреза [13]; хс — начальная координата; ф, М — угол поворота и крутящий момент в сечении вала. Между крутящим моментом М и относительным углом закручивания 9 принимается следующая зависимость:

М = О^9; 9 = ^Ф.

к '

Аким Гайфуллинович Хакимов, канд. физ.-мат. наук, ведущий научный сотрудник Института механики им. Р.Р. Мавлютова УНЦ РАН, Башкирия. Тел. +7(347) 292-14-06. E-mail: hakimov@anrb.ru

В соответствии со сказанным имеем:

d2 ф d2 ф дф GJ, —f - pJP —f = 0; M = GJk—. * dr2 p di2 k dr

(1)

Отсчитывая координату х от точки крепления, запишем граничные условия:

г о2ф а2ф

М = сф./!-2 (х = 0);М = -С2Ф-(х = Ь). (2)

от ОТ

В пределах разреза с короткой длиной I и вблизи него имеется сложное пространственное напряженно-деформированное состояние, но принимаем

i

2R

2r

O

¿¿/У

////

ш

В' Z Z а

7777"

/

Рис. 1.

гипотезу плоских сечений. Обозначая функции в областях 0 < х < х хс < х < хс + I, хс + I < х < Ь индексами "1", "2", "3" соответственно, запишем условия стыкования решений при х = хс и х = хс + I (условия равенства крутящих моментов и углов поворота), причем для тонкостенного полого вала с круглым сечением [13]:

k1

p1

Р2

k3

J3 = p3 kR4 ( 2 l

дф1 = m дф2. dx

dx

И Л

R4

m

дф2 дф

= —3, ф2 = ф (х = xc + l), m = -k2 = -

J*2 = 3 (R - r )3 (R+r);

Jk2 = 2 (R - r)2

dx dr

J

p2

3 R2 + r2

(3)

(4)

Таким образом, в приведенной простейшей модели разреза фигурируют его начальная координата xc и длина l. В прямой задаче начальная координата разреза xc и его длина известны, в обратной задаче необходимо определить эти величины.

Частное решение задачи (1) имеет следующий вид:

ф = (A.cosa. х + 5.sina. x)sinraí; (a¿ = a/a{, a2 = GJkjpJp); aj = a3 = ю/а1 = p/G, a2 = a1/-N/~m .

J

2

с

l

X

c

L

2

c

3 Дефектоскопия, № 6, 2013

Шесть констант в этом решении, записанном для областей 0 < х < х xc < x < xcl и хс1 < х < Ь, (хс1 = хс + 1) определяются из шести граничных условий (2)—(4). Для того, чтобы А В. (. = 1 + 3) не были равны нулю одновременно, необходимо, чтобы следующий определитель равнялся нулю

ае1(ау.) = 0,

(5)

где ненулевые элементы определителя записываются в виде:

а11 = с1 - а12 = - О^а^, а25 = (- с2 = +72ю2)оо8(а3Ь) + GJk3а3sin(а3L); а26 = (- с2 = +J2ю2)sin(а3L) - GJk3аcos(а3L); а31 = sin(а1xc); а32 = - cos(а1xc); а33 = - ^т(а2хс); а34 = mcos(а2xc); а41 = ^(а^); а42 = sin(а1xc); а43 = - cos(а2xc); а44 = - sin(а2xc); = msin(а2x); а = - mcos (а2xcl); а = - sin(а3xcl); а = ^(а3х);

53

абз = ш^а^:»; аб4 = sin(а2xcl); аб5 = - cos(азxcl); абб = - sin(азxcl).

Условие (5) дает частотное уравнение, которое здесь не приведено из-за его громоздкости. Если частное решение представить в амплитудной форме Ф = С^т(а. х + то частотное уравнение после исключения шести

констант С, 5 (. = 1 + 3) записывается

\ а 2 хс1 + аг^

а

а

а

(

= m^tg

а

а3 хс1 + агс^

(

а1 хс + агс^

V

%а1 с1 - J1&2

Л

'к 3^3

—с2 + J2ю

2 — а3 Ь

(6)

Когда коэффициенты жесткости с1 и с2 ^ да или равны нулю вместе с моментами инерции J1 и J2, тогда частотное уравнение упрощается.

Для определения 1 и хс необходимо провести анализ собственных частот крутильных колебаний вала с разрезом и без разреза.

Прямая задача. Решение уравнения (6) проведено численно для следующих параметров системы: О = 0,77 х 1011 Па; р = 7800 кг/м3; а = 3141,9 м/с; Ь = 2 м; Я = 0,1 м; г = 0,08 м; т = 0,016; с1 ^ да. При этом первая, вторая и третья собственные частоты вала без разреза ю1 = 1 645,116 596 рад/с, ю2 = 4 935,349 788 рад/с, ю3 = 8 225,582 981 рад/с. Для вала с разрезом при хс = 1,2 м, 1 = 0,01 м из решения прямой задачи следует, что круговые частоты крутильных колебаний вала ю1 = 1 459,495 888 рад/с, ю2 = 4 834,415 637 рад/с, ю3 = 7 009,492 710 рад/с. Продольный сквозной радиальный разрез длиной 1 см приводит к существенному уменьшению первых трех частот свободных крутильных колебаний полого вала.

На рис. 2 приведены зависимости круговых частот крутильных колебаний вала ю1 (фрагмент а), ю2 (фрагмент б) от координаты разреза хс для различных 1 (кривые: 1 — 0,01; 2 — 0,02; 3 — 0,03 м). Эти зависимости имеют периодический характер. Также отметим, что при расположении разреза в узле колебаний собственные частоты не зависят от длины разреза.

На рис. 3 показаны зависимости круговых частот крутильных колебаний вала ю1 (фрагмент а), ю2 (фрагмент б) от длины разреза 1 для различных значений координаты разреза х (кривые: 1 — 1,0; 2 — 1,5; 3 — 2,0 м). Из

рисунков видно, что с возрастанием длины разреза три низшие частоты собственных крутильных колебаний уменьшаются. Сравнение результатов

б

1600

1400

1200

> / / / /Л' / ■* /

У у 2/ / X 3 ,■'

4500

4000

3500

№ А //■■ / Г \ А •Л\ л\

/ /: / > '■ / /; /-/: л \ Л N •Л / / /

/; 2 '. \ ■ \ 3 1 / /

*

2 х, м

с

Рис. 2.

данной статьи с данными [12] показывает, что изменения собственных частот крутильных колебаний вала с продольным сквозным разрезом значительны по сравнению с изменениями собственных частот крутильных колебаний для вала с поперечным надрезом.

1400

1200

\ \ ч \ ч \ ч 3

\ ч \ у 2 Ч -ч X ч V х X ч X X

4500

4000

3500

1

X 2

3

0,01

0,02

0,03 I, м

0,01

0,02

0,03 I, м

Рис. 3.

Обратная задача. Если частотное уравнение записать для двух частот свободных крутильных колебаний, то из полученной системы уравнений определяются координата разреза хс и его длина I. Например, для круговых частот крутильных колебаний вала ю1 = 1400,0 рад/с, ю2 = 4700 рад/с решение обратной задачи показывает, что вал имеет разрез при х = 1,2620 м, I = 0,0146 м. с

а

ю с

ю2, с

0

1

0

1

2

х , м

с

ю1, с

ю с

На рис. 4 приведены зависимости координаты разреза хс (фрагмент а) и его длины I (фрагмент б) от круговых частот крутильных колебаний вала ю 1

1,3

1,2

1 у/ / X / /

У

2 /

s

3

***

/, м

0,012

0,010

0,008

чЧ

ч\\ •A\ 1 ■. \\

\\ s 3 2 '\V/

•A\ \\> ' s

1400

1450

1400

1450 ю1, с-1

Рис. 4.

для ю2 = 4700 рад/с (кривая 1), ю2 = 4750 рад/с (кривая 2), ю2 = 4800 рад/с (кривая 3).

Проведенные исследования показывают:

а) изменения собственных частот крутильных колебаний вала с продольным сквозным разрезом значительны по сравнению с изменениями собственных частот крутильных колебаний для вала с поперечным надрезом;

б) по двум частотам свободных крутильных колебаний можно определить начальную координату хс и длину I продольного сквозного радиального разреза полого вала.

Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ (гранты 11-01-97003-р_поволжье_а, 11-01-00293_а).

Институт механикиУНЦ РАН Башкирия

Поступила в редакцию 16 октября 2012 г

ЛИТЕРАТУРА

1. Ильгамов М. А. Диагностика повреждений вертикальной штанги. Труды института механики УНЦ РАН. Вып. 5.— Уфа: Гилем, 2007, с. 201—211.

2. Ватульян А. О., Солуянов Н. О. Об определении местоположения и размера полости в упругом стержне.— Дефектоскопия, 2005, № 9, с. 44—56.

3. Ватульян А. О. Обратные задачи в механике деформируемого твердого тела.— М.: Физматлит, 2007.— 224 с.

4. Biscontin G., Morassi A., Wendel P. Asymptotic separation of spectrum in notched rods.— J. Vibr. and Control, 1998, v. 4, No. 3, p. 237—251.

5. Friswell M.I.

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком