МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА <5 • 2008
УДК 539.374
© 2008 г. А.В. ГОРСКИИ, П.В. ГОРСКИИ
О СООТНОШЕНИЯХ ОБЩИХ ДВУМЕРНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ИДЕАЛЬНОИ ПЛАСТИЧНОСТИ ПРИ УСЛОВИИ ПОЛНОЙ пластичности
Определяются соотношения для двумерных задач теории идеальной пластичности при условии полной пластичности. Учитываются свойства анизотропии, неоднородности и сжимаемости материала, определяемые направляющими косинусами главного напряжения, координатами точек пространства и средним напряжением.
В качестве предела текучести берется функция вида к = к(о, п1, п2, п3, х, у, г). Соотношения определяются для общей плоской задачи теории идеальной пластичности. Полученные соотношения обобщаются для случаев осе-симметричной и сферической задач теории идеальной пластичности.
Условие полной пластичности имеет вид [1, 4]:
О! = о2, о3 = О! ± 2к, к = к (о, п1, п2, п3, х, у, г) (1)
Среднее напряжение определяется формулой
О = ^ + о2 + о3)/3 (2)
Компоненты п1 - направляющие косинусы главного напряжения о3 с осями координат хуг.
Для направляющих косинусов щ выполняется соотношение
п\ + п2 + п3 = 1 (3)
Пользуясь условием (3) предел пластичности можно записать как функцию от шести переменных:
к = к (о, п1, п2, п3, х, у, г) = к (о, п1, п2, х, у, г) (4)
Компоненты напряжения ох, оу, т , ... имеют вид [1-3]: ох = о + 2к/3 ± 2кп\, тху = ±2кп1 п2
оу = о + 2к/3 ± 2кпI, тхг = ±2кп1п3
у 2 хг 13 (5)
ог = о - 2к/3 ± 2кп\, туг = ±2кп2п3 о = (Ох + Оу + Ог)/3
Уравнения равновесия записываются в виде дох/дх + дтху/д у + дтхг/дг + ^ 1 = 0
дтху/дх + доу/ду + дтуг/д г + Р2 = 0 (6)
дтхг/д х + дтуг/д у + дог / д г + ¥3 = 0 где Р\ - компоненты массовой силы.
Предположим, что ох, оу, т , ... зависят от координат х, у и не зависят от координаты г, следовательно
о(х, у), n¡ = n¡(x, y), i = 1, 2, 3
(7)
Подставляя соотношения (5) в уравнения равновесия (6) и учитывая предположение (7), получим:
гЭох Этху
_х .__ХУ . с1
_Э7 + ""Э7 + Fl
„м 1 1 dk dk 2\да 0dk Эо 1 dk dk 2\dni
2 ±-- - --T- + --Г-n, --— + 2=;— n1 П2 — + 2 2kn, - --r— + -r— n, тт— + 2 3 Эо Эо УЭх до 12 Эy V 1 3 Эn1 Эn1 1J дх
он Э k ^ n1 + 2\ kn + --— n n2 br- + 2\ -
2 Эn1 1 2J Эу ' А 3 dn2 ' Эп
1 Эk Эk 2^Эn2 „Л Эk \dn2 , D - ■ n,n2 Ь-— ± «i
2ЛЭ n2 1
;niJ ахт+Ч kn1 +
Эп2п 2
J Эу
-chxj, + Э° _ Эх Эу
+ F,
. dk Эо
Э у
1 1dk dk 2^Эо
= 2эоn1n2d: + 21 i-- - --до + доn2 IЭГ + 21 kn2 + —n1n2 )+
"2 3 Эо Эо 2J Эу
dk
\dn1
dn1 2J Эх
+ 21 -
1 dk dk 2^Эnj 1 Эk ^dn2 1 1 Эk Эk 2^dn2
3ЭЩ + dn n2J ту + Tni + dnni n2J ~дх +2l2 kn2- í-idñ + üñ n2J эу
(8)
± r2
-Эх+эту
_ Эх Эу
+ F3
~dk Эо „Эk Эо ~ 2-т— n1 na---— + 2-т— n2 n3 ---— + 2
Эо 13 Эх Эо 23 Эу
dk
kn3 + -т— n1n3 -3 dn1 1 3 n
+ 2Г—n n kn1nAЭЭ^ + гГ—n n kn1nA^ + 2
Vdn1 23 n3 J Эу vdn2 13 n3 J Эх
kn1
3
2
kn
, dk kn2
kn3 + -T— n2n3--
3 Эn2 23 n3
23
dn1 Эх
dn2
ТУ ± R3 = 0
r
. 1Эk dk 2 dk ^ „ ± 2|--— + -п1 + э^n1n2J + F1
R
R
3 Э х Э х 1 Э у 1Эk dk 2 dk ^ „
3ЭУ + ЭУ п2 + «Э-х n1n2J + F
, г* 1Эk dk ^ „
3 = ± 2n31 эх n1 + ü- n2J + F3
(9)
Для определения характеристик системы присоединим к (8), (9) соотношения:
до , Эо , , ■=■— ах + -=■— ау = аа Эх Эу
д п1 дп1 д п2 дп2
-=■— ах + -=■— ау = ¿я,, -=■— ах + -=■— ау = ап2
дх ду 1 дх ду 2
(10)
Полученная система дифференциальных уравнений (8)-(10) принадлежит к гиперболическому типу.
Систему уравнений (8)-(10) рассмотрим как алгебраическую относительно шести неизвестных переменных:
Эо Эо dn1 Э n1 Э n2 dn2 Э х' Эу' Э х' Э У Эх' Эу
(11)
Составим определители А и А; системы уравнений (8)-(10), где I = 1, .6. Уравнения характеристик и дифференциальные соотношения вдоль них определяются из условий А = А; = 0.
А.В. Горский, П.В. Горский
Уравнения а, в, у - характеристик находятся из условия А = 0: (йу/йх)а,в = А + 4б / (2 С) (12)
А = (4 кМп1 + 3дп (- 1 + 2 п2)) п2 + 3дп (- 1 + 2 п\)п1 (13)
Б = + -4к*М(М + 2(п1 + 4)М)> 0
С = к (N + 2п\М) + 3 п^ дк (-1+ п2) + пп)
М = 3 ± дк/до, N = - 3 ± 2дк/до Уравнение третьей у-характеристики имеет вид:
(йу/йх)у = п2/п1 (14)
Дифференциальные соотношения вдоль характеристик находятся из условия А5 = 0 либо А6 = 0. Использование условий А1 = 0 (I = 1.4) приводит к вырождению дифференциального соотношения вдоль третьей у-характеристики.
Дифференциальные соотношения вдоль трех характеристик имеют вид:
81 82(йх) 1
± йо + — йп1 + — I — йп2 ± -(Н1 Я1 + Н2+ Н3Я3)йх = 0
8 1 8 \йу)а,ь,у 8
8 = N
-3-п3 ь+к ((N (1-пъ+2 п\м){- (3 ± 4дО)}
дк .2, дп1
81 = Nдп^8 -6к^п2N(г + п2ь)
дк_ дк„2т (й1\ 02 У йу\2 .. .2,
82 = -6 дщ ддп2 п3\Тхиу + 6к \ - п2 ^ + 9 п1 - ^ + 2пМ +
(15)
+ ^ + (15 ± 'ГО)п^) \ + 2к\ 9п2Ь((1 - ^)(ТХ, М + п^ +
д к дп
„2Ы )( й1
- (N + 2п1М -4 п
2 (йу]2
а, в, у
Ч "2 М (йу]
\ йх)
а, в, 1
+ п2\ 9- (N + 9п1 йх^ в ^ ) + 18п1 п2 - 9п2
дк 2
Н1 = - — п3Ь + 3 к
1 дп1
N (1 )(йх]а, + 6до П^П2 (йх),
+ \- N ± 12 &) 4 й£\ + (N + 6 Ы пп
до ) \ йх)а,в,у
= -9дк- п2 ь( +3 к
(16)
дп1 \ йх)а,в,у
а, в, у
дО
■±6&*1 - пЬ + N +2 л М - N ± 6* 4) п] й) ^^^^^ +
+ (-3 ± 2 Ю (-5 + 6 Л) пп ( йу
а, в, у-
+
h3 = 3n3
3i|L V n1 + n211
а, в, Y-
+ k i n
3 - 2( 1 + 3 )g J( Ш
а, в, Y
- (3 + 2 (1-3 я: )£)(»2-2 „( g)
а, в, Y
где М, N определяются из соотношений (13), Ь = п^ау/йх)^ р, Y - п2.
При численном решении конкретной физической задачи рациональней использовать определитель системы (8)-(10) А5 = 0 (либо Д6 = 0). При таком подходе уменьшается количество арифметических операций, что ведет к сокращению времени вычислений:
, 1 dk1 2 П dk ±-- + =-_ n1--\ =-— n1 И,
2 Эо( 1 3J Эо 12
2^ („2-11 «2Ík + -1^1 ±R- Щ Ík + ^
-Э---о---n1n2
|k Т" n Эо
|k
-Э---о---n1
0х 0 0
,1 lkÍ 2 1
| k
Эо 2
dy 0
э„1
"2(k +
Ik I I 1 |k ''1L r3 Ik I n2
n1 + k| 1 - — n21 ly-- k-- ±--— 5T-Tn2 + kl 1--9
I n1
I n1
I k 1 2 1 Ш1 (n2- 3
I k
I k 1 2 1
I n1
±— 2 kn: + -:--1 n:--
2 2 In2( 2 3
«3 Ik
0
dx 0
0
dy 0
2 n3 I «9
d о
d^ dno
0 0
dy
(17)
0
При соответствующей замене, аналогично [4], получаются соотношения для осе-симметричной и сферической задач теории идеальной пластичности в случае анизотропного неоднородного сжимаемого материала:
Схема перехода
Задача плоская осесимметричная сферическая
Система координат декартова цилиндрическая сферическая
Координаты х, у, г р, г, е 0, ф, р
Индексы 1, 2, 3 1, 3, 2 3, 1, 2
Дифференциалы dx, йу йр, йг d0, sin 0 • ёф
Компоненты соотношения (9) соотношения (18) соотношения (19)
Соотношения для осесимметричной задачи имеют вид п , „( 1 дк дк 2 дк V 2к, 22,^
К1 = ± 21- ш+ др п1 + дг п1 ± 7(п1- п2} + р1
R = ± 2n2(Ирn1 + I-n3] ± ^Тn1n2 + F3 (18)
dk IP '
п . 1Эk dk 2 dk 1. 2k „
R3 = ± 2 - ---- + -r-n3 + -г-n1 n3 ± — n1 n3 + F,
3 ( 3 dz dz 3 Эр 1 3J p 13
A.B. Горский, П.В. Горский
Соотношения Ri для сферической задачи имеют вид
Ri = ± 2p(- J Щ + nl + Щщп^ ± 2k(3щщ + (n\ - n\)ctgQ) + pF2
R2 = ± 2n2p(jk^ + ni)± 2kn2(3пз + 2пха%9) + pF3 (19)
R3 = ± 2p(- 3d9 + dO пз + ¿едф пзni) ± 2 k (1 - (n2 + ^) + nin3ctg 9) + PFi
При 9 = 90 = const для изотропного однородного несжимаемого материала при соответствующей подстановке соотношения (9), (12)-(16), (18)-(19) переходят в соотношения, приведенные в [1-3].
Для изотропного неоднородного несжимаемого материала (9 = 90G(x, y, z)) соотношения (9), (12)-(16), (18)-(19) при соответствующих подстановках переходят в соотношения для двумерных задач теории идеальной пластичности [4-6].
В общем случае при 9 = 9(о, n1, n2, n3, x, y, z) (с координатами p, 9, z для осесиммет-ричной задачи и p, 9, ф для сферической задачи) соотношения (9), (12)-(16), (18)-(19) определяют поле напряжений двумерных задач теории идеальной пластичности в случае анизотропного неоднородного сжимаемого материала.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ивлев Д.Д., Максимова Л.А. О свойствах соотношений общей плоской задачи теории идеальной пластичности // Докл. РАН. 2000. Т. 373. < 1. С. 39-41.
2. Ишлинский А.Ю., Ивлев Д.Д. Математическая теория пластичности. М.: Физматлит, 2001. 704 с.
3. Ивлев Д.Д. Механика пластических сред. Т. 2. Общие вопросы. Жестко пластическое и упругопластическое состояние тел. Упрочнение. Деформационные теории. Сложные среды. М.: Физматлит, 2002. 448 с.
4. Горский A.B., Горский П.В. О расчете напряжений в неоднородном идеальнопластиче-ском теле // Изв. ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. 2004. Т. 10. Вып. 2. Механика. Изд-во ТулГУ. С. 52-69.
5. Горский П.В. О вдавливании кругового штампа в неоднородное жесткопластическое полупространство // Изв. ТулГУ. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2004. Т. 10. Вып. 3. Механика. Изд-во ТулГУ. С. 62-75.
6. Горский A.B. О вдавливании клинообразного штампа в неоднородное жесткопластическое полупространство // Изв. ТулГУ. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2004. Т. 10. Вып. 3. Механика. Изд-во ТулГУ. С. 62-75.
Чебоксары Поступила в редакцию
11.07.2005
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.