Письма в ЖЭТФ, том 101, вып. 5, с. 326-329 © 2015 г. 10 марта
О спектральном распределении энергии равновесного излучения в
веществе
В. Б. Бобров+*1\ И. М. Соколовх, С. А. Тригер+ + Объединенный институт высоких температур РАН, 125412 Москва, Россия * Национальный исследовательский университет "МЭИ", 111250 Москва, Россия хHumboldt-Universität zu Berlin, 10099 Berlin, Germany Поступила в редакцию 17 декабря 2014 г.
Получено точное соотношение для спектрального распределения энергии излучения, которое находится в термодинамическом равновесии с системой заряженных нерелятивистских частиц. Отличие от формулы Планка однозначно определяется поперечной диэлектрической проницаемостью среды, учитывающей не только частотную, но и пространственную дисперсию.
DOI: 10.7868/S0370274X15050033
Развитие теории теплового излучения играет важную роль в исследовании многих физических явлений (см., например, [1]). При этом существенное значение имеет установление точных соотношений, связывающих характеристики равновесного излучения с электромагнитными свойствами вещества. В настоящей работе речь идет о вычислении спектрального распределения энергии равновесного излучения, которое при наличии вещества, очевидно, будет отличаться от известной формулы Планка, соответствующей модели абсолютно черного тела (см., например, [2]). Это тем более актуально, что распределение Планка отвечает равновесному идеальному газу фотонов, в то время как наличие хотя бы небольшого количества вещества необходимо для самой возможности получения равновесного излучения, так как в нерелятивистской теории прямое взаимодействие между фотонами отсутствует [2]. Фактически принимается негласное предположение о том, что равновесные свойства идеального газа фотонов представляют собой предельные свойства реальной системы электромагнитного поля и вещества, находящихся в термодинамическом равновесии.
Для решения поставленной задачи рассмотрим систему нерелятивистских заряженных частиц и фотонов, находящихся в объеме V. Гамильтониан такой системы в представлении вторичного квантования имеет вид [3]
" + / <Рг V
н
2то„
ß^a^ i / ч — А(Г)
Чe-mail: vic5907@mail.ru
X Ф+(г)
V - !^А(г)
Фа (Г) -
-]Г [ ¿3гФ+(г)АаФа(г)ш1А(г) + ЯсоиЬ (1)
а ^
где Ф+(г) и Фа (г) - полевые операторы рождения и уничтожения для заряженных частиц сорта а, которые характеризуются массой тоа и зарядом гае, а также оператором собственного магнитного момента Аа, Нрь, - гамильтониан свободного поля излучения:
Hph = ^k =
(2)
k,A
операторы рождения (с^Л) и уничтожения (ск,л) для фотонов с импульсом Йк и поляризацией Л = = 1,2 удовлетворяют перестановочным соотношениям [ск,А,с£1А/] = <5к,к"5л,А', А(г) - оператор векторного потенциала, соответствующий квантованному электромагнитному полю:
k,А
х {екЛ)бк,А ехр(гк • г) + 4.А)*с£л ехр(-гк • г)| , (3) ~~ векторы поляризации фотонов, которые удо-
влетворяют условиям 2
. Ь -
k = 0, £
-
'ka'
kß - <W k2
k/y k
gKß
A=1
(4)
Неoui — гамильтониан кулоновского взаимодействия заряженных частиц:
НСоп\ = J d3rid3r2Uab{\Yi -Г2|) X
a,b
x f+Cnjf+Crajf+Crajf+Cn), (5)
uab(j) = zazb(? jr - потенциал кулоновского взаимодействия заряженных частиц сортов а и Ь.
Отметим, что из гамильтониана свободного поля излучения Hph исключен член л ftwk/2, поскольку в пределе V —> оо он обращается в бесконечность. Однако эта бесконечность не приводит к существенным трудностям в теории, т.к. наблюдаемой величиной является не сама энергия, а разность энергий рассматриваемой системы в различных состояниях. С этой точки зрения величина Л ftwk/2, оставаясь неизменной, не влияет на значения наблюдаемых величин. Кроме того, процедура квантования электромагнитного поля не является однозначной. Можно найти такой метод квантования уравнений электромагнитного поля, при котором сумма Л fiwk/2 исчезает [4].
В интересующем нас случае равновесия излучения с веществом средняя энергия излучения Eph согласно (2) определяется соотношением
Eph = (Hph) =
/H3k
— йоъЛк.А), /(к,А) = (с+ЛСк,л>,
(6)
где /(к, А) - равновесная функция распределения фотонов по импульсам ftk при поляризации Л, угловые скобки обозначают усреднение с большим каноническим распределением Гиббса, которое характеризуется гамильтонианом (1) и температурой Т для фотонов и для заряженных частиц. В соотношении (6) учтено, что использование большого канонического распределения Гиббса для описания равновесных состояний возможно только в термодинамическом пределе V —> оо, (Na} —> оо: na = = (Na)/V = const, где Na = J d3A+(г)Фа((г) -оператор полного числа частиц сорта а, которые характеризуются средней плотностью числа частиц na. При этом для равновесной системы заряженных частиц должно выполняться условие квазинейтральности: zaena = 0 (подробнее см. [5]).
Так как мы рассматриваем однородную и изотропную систему, равновесное излучение не поляризовано. Поэтому функция распределения /(к, А) не
зависит от поляризации Л и является функцией |к|: /(к, Л) = /(к), а соотношение (6) принимает вид
/И3 к
ще^ь т. (7)
Для равновесного идеального газа фотонов (индекс "(0)") функция /(к) определяется распределением Планка: /(0)(&) = {ехр(Пшк/Т) - I}-1. Поэтому с учетом (2)
оо
= (8)
о
где спектральное распределение энергии соответствует формуле Планка (см., например, [2]):
е(о)т = —__—__(9)
ш У ' 7г2с3 ехр(1ж>/Т) — 1' ^
Соотношение (8) может быть обобщено для равновесного излучения в веществе:
оо
Ерь = У I еш{Т,{1а})Ли, (10)
о
так что спектральное распределение энергии излучения в веществе еш(Т, {7а}) зависит не только от частоты и температуры, но и от характеристик вещества, а именно набора химических потенциалов заряженных частиц {7а}- Такой выбор параметров вещества обусловлен использованием большого канонического распределения Гиббса.
Как следует из (6)—(10), основной величиной для определения спектрального распределения энергии является функция распределения фотонов по импульсам. Для ее вычисления используем запаздывающую функцию Грина фотонов:
оо
= J ¿Згехр(-гк-г) J Л ехр(^)^(г, ¿),
о
(П)
где временная корреляционная функция г,£)
равна
£>*,(П -г2,*) = -^(К(гь^,^(г2,0)]), (12)
а Аа(г,¿) - оператор векторного потенциала (3), соответствующий квантованному электромагнитному полю, в представлении Гейзенберга. С учетом (4) в однородной и изотропной системе имеем
328
В. Б. Бобров, И. М. Соколов, С. А. Тригер
Здесь подразумевается суммирование по повторяющимся индексам.
Из спектрального представления для запаздывающей функции Грина Пя(к, со) нетрудно убедиться в том [6], что
оо
/¿со , / Тио \ т _ д., . 27гс 2п \2Т) ( ' ^ = ]7~
(14)
Соотношение (14) справедливо и для идеального газа фотонов. Поэтому
т-1{0Чк) = -£Гсх
Нш
¿сосАЪ ( ^ ) 1т{Вн(к,со) - В(-0)н(к,со)}. (15)
Подставляя (15) в (7) и учитывая (8)—(10), находим точное выражение для спектрального распределения энергии излучения:
еш{Т, {7а}) = 40)СП + Аеш{Т, {7а}), (16) „з
Аеш(Т,Ш) = е^(Т)
4"7Г2СО3
{ехр(Нсо/Т) + 1} х
ОО
х I (1кк41т{Бп(к,со) - Б^п(к,со)}. (17)
о
Очевидно, что величина Деш(Т, {7а}) связана с наличием вещества.
Для вычисления функции Грина Пя(к, со) воспользуемся результатами статистической квантовой электродинамики [7], согласно которым в кулонов-ской калибровке (сНуА = 0), наиболее удобной для описания заряженных частиц в нерелятивистском приближении, имеем
Вп{к,со)
Ане2
£1г(к, со)со2 — с2к2 '
(18)
где £1г(к,со) - поперечная диэлектрическая проницаемость рассматриваемой системы, которая наряду с продольной диэлектрической проницаемостью £1(к, со) полностью определяет линейные электромагнитные свойства однородной и изотропной среды и зависит от характеристик вещества [8]. Точное соотношение для поперечной диэлектрической проницаемости системы нерелятивистских заряженных частиц и фотонов представлено в [3].
Если заряженные частицы отсутствуют, то £1г(к,со) = 1. Однако без вещества достижение равновесия для излучения невозможно, а в любой
среде 1т £1г (к, со) > 0 при со > 0. Поэтому идеальному газу фотонов отвечает предельный переход £*г(к,со) ->• 1 + Ю [9]:
В^н(к,со) =
АТГС
со2 — с2 к2 + г0
(19)
С этой точки зрения функцию Грина для идеального газа фотонов О^п(к,со) (19) можно рассматривать как предельное значение функции Грина фотонов в веществе Вя(к,со) (18) при па —> 0.
Подставляя (18), (19) в (15) и учитывая (7)—(10), находим точное выражение для вклада в спектральное распределение энергии излучения, связанного с заряженными частицами:
А£Ш(Т, {7а}) = £^(Т){ехр(Нсо/Т) + 1} х
7ГСО
(1кк4
1ш£*г(к, со)
'(к,с
- с2к215
(20)
Следует подчеркнуть необходимость учета пространственной дисперсии в поперечной диэлектрической проницаемости, которая может привести к новым эффектам (см., например, [10]). Для обеспечения сходимости интеграла в (20) в области больших волновых векторов, которые отвечают малым расстояниям, принципиальную роль играет учет квантовых эффектов при рассмотрении поперечной диэлектрической проницаемости. В равной степени это относится и к описанию области высоких частот, где 1т£*г(к, со) - ехр(-Псо/Т) [И].
Нужно также обратить внимание на то, что при малых волновых векторах в интеграле в (20) можно выделить вклад от "области прозрачности" по частоте со, для которой 1т е*г{к —> 0, о;) 1, а Кее*г(к —> 0, о;) « п2(со), где п(со) - коэффициент преломления. Для области прозрачности
со21т£1г(к —> 0, со)
\£*г(к^0,со)со2 -с2к2\2
6[п2(со)со2 -с2к2]. (21)
Соответствующий вклад в величину Деш(Т, {7а}) нетрудно вычислить. Однако этот вклад не определяет полностью функцию Деш(Т, {7а})-
В связи с этим отметим, что полученные в настоящей работе результаты для спектрального распределения энергии равновесного излучения в среде не имеют отношения к известным выражениям для энергии поглощенного в среде излучения, которое не находится в равновесии со средой и определяется внешними источниками [12]. Чтобы установить взаимосвязь полученных результатов с поверхностным излучением тел, необходимо рассмотреть граничную
задачу для функции Грина фотонов в неоднородной среде (см., например, [13]).
Настояща
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.