научная статья по теме О СПЕКТРАЛЬНЫХ МЕТОДАХ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ НЕЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКИ Физика

Текст научной статьи на тему «О СПЕКТРАЛЬНЫХ МЕТОДАХ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ НЕЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКИ»

АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2013, том 59, № 3, с. 322-326

УДК 534.22

НЕЛИНЕЙНАЯ акустика

О СПЕКТРАЛЬНЫХ МЕТОДАХ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ НЕЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКИ

© 2013 г. В. П. Кузнецов

Институт океанологии им. П.П. Ширшова РАН 117851 Москва, Нахимовский пр-т 36 E-mail: vladkuz@ocean.ru Поступила в редакцию 03.04.2012 г.

Обсуждаются два весьма эффективных метода получения приближенных решений уравнений нелинейной акустики. Эти методы предложены автором ранее, но до сих пор недостаточно известны. Первый метод основан на разложении искомой функции в ряд Тейлора по координате — эволюционной переменной — и приближенном суммировании членов этого ряда во всех порядках вплоть до бесконечного. Полностью просуммировать этот ряд удается лишь в частных случаях, например для простой волны. Отмечено, что техника частичного суммирования легче реализуется, если все члены ряда изображать в виде соответствующих топологических диаграмм. Второй метод основан на введении "нелинейной" фазовой задержки (пропорциональной амплитуде волны) для временной переменной в линейных решениях задачи. В качестве иллюстрации техники применения этих методов получены приближенные решения уравнения Бюргерса.

Ключевые слова: фазовая задержка, простая волна, параметрическая антенна, частичное суммирование. БО1: 10.7868/80320791913010103

История изучения нелинейных волновых процессов начиналась еще в XIX веке работами Ри-мана, Ирншоу, Пуассона и др., получивших точное решение задачи о распространении плоской нелинейной (простой) волны в идеальной среде. Но особенно плодотворным в плане развития нелинейных волновых процессов оказался период 50-70-х гг. XX века, когда были сформулированы основные физические представления и разработан математический аппарат теории нелинейных волн в различных областях физики. Главной причиной этого всплеска является создание мощных источников излучения в оптике, акустике и радиофизике.

Инициатором исследований по нелинейной акустике в Советском Союзе был Н.Н. Андреев. Он опубликовал статью [1] в первом номере Акустического журнала в 1955 году. Эта статья и положила начало большому количеству работ по нелинейной акустике. В ней он впервые указал на кинематическую (геометрическую) нелинейность, которая появляется при эйлеровом описании задачи, и применил потенциал скорости, подчеркивая отсутствие в среде вихревой компоненты.

Для описания звукового поля в турбулентной среде можно выбрать скалярный потенциал скорости ф(?, г), также удовлетворяющий условию максимального разделения мод [2]. Кроме этого, только для скалярного потенциала скорости u (t,

г) = §гаёф(?, г) удалось написать замкнутое нелинейное волновое уравнение во втором приближении по величине возмущений и величине кинетических коэффициентов вязкости и теплопроводности, описывающее распространение звуковых волн конечной амплитуды в диссипативных однородных средах при условии гоШ (?, г) = 0

d 2ф

d

тг - С0АФ = —

dt

dt

6ДФ + (V „)2 + „ )2

(1)

где: с0 — скорость звука, а — коэффициент нелинейности, Ь — коэффициент затухания [3]. Огромный вклад в теорию и практику нелинейных волновых процессов внес Р.В. Хохлов. Теоретические методы, развитые Р.В. Хохловым, выдвинутые им физические идеи и конкретные результаты, полученные вместе с сотрудниками и учениками в нелинейной оптике, нелинейной акустике, радиофизике и др., положили начало современным научным направлениям. Р.В. Хохлов разработал оригинальный метод анализа поэтапного радикального упрощения так называемых укороченных уравнений, описывающих поведение нелинейных систем. Этот метод теперь принято называть методом Хохлова.

В предположении медленности изменения профиля волны вдоль и поперек оси пучка Е.А. Заболотской и Р.В. Хохлову [3, 4] удалось упростить нелинейное уравнение (1), превратив

его в уравнение эволюционного типа — уравнение первого порядка по продольной координате. Искомое решение записывается в форме приблизительно плоской волны ф(т = I — х/с0, х' = vx, у' =

= л/уу, £ = л/уг), где V < 1, считая, что изменения формы волны малы. Выполняя замену переменных в уравнении (1) и ограничиваясь лишь членами второго порядка, получим

д 2ф

- ^ А у

гФ

..д. 'дт

у д!ф + а (дф дт2 21 дт

(2)

дтдх 2

где Ду, г — оператор Лапласа по переменным у, £, Ь' = Ь/2с0, а = (у + 1)/2с0 [3].

Это уравнение (Хохлова—Заболотской—Кузнецова или сокращенно ХЗК) стало одним из базовых для нелинейной акустики и особенно значимым для расчета и конструирования параметрических антенн [5—8]. В работе [5] подробно изложена история вывода этого уравнения и связанных с ним математических моделей и физических явлений. При решении конкретных задач, связанных с интегрированием уравнения ХЗК (2), широко применяются различные приближенные методы: как аналитические, в основном метод последовательных приближений, так и методы численного интегрирования. В книге [9] изложены различные приближенные методы интегрирования нелинейных уравнений акустики, а также приведены и проанализированы некоторые точные решения и методы их получения. Однако современные методы расчета параметрических антенн базируются в основном на методе последовательных приближений [7, 10—12]. Такой подход к решению нелинейных уравнений приводит к "ручному" разделению нелинейных процессов и линейных процессов поглощения, дисперсии и дифракционной расходимости в общей динамике задачи. В работе [10] приведен анализ и сопоставление основных известных моделей и методов расчета параметрических излучающих антенн на основе приближенных решений Вестервельта, Моффета—Меллена, уравнения ХЗК и "Метода волновых фронтов". Данный анализ показал, что результаты расчетов основных характеристик параметрических излучающих антенн: давления разностной частоты на оси излучателя и диаграммы направленности, полученные по различным моделям, — сильно различаются.

В настоящей работе излагается метод приближенного решения нелинейных уравнений эволюционного типа, использующий основную идею "разложение — частичное суммирование" (метод РС) [13]. Техника метода РС следующая. Рассматривается задача с граничными условиями, в которой надлежит проследить за движениями непрерывной среды при заданных граничных значениях поля ф(т, 0, у, ¿) = Дт, у, £). Искомая функция ф(т, х, у, ¿) разлагается в ряд Тейлора по коорди-

нате х. Характерная особенность решаемых уравнений — наличие лишь первой производной по х — позволяет с помощью итерационной процедуры построить бесконечный ряд для коэффициентов ряда Тейлора. Полностью просуммировать этот ряд удается лишь в некоторых частных случаях и поэтому приходится вычислять приближенные суммы этого ряда, состоящие из членов определенного типа во всех порядках по х вплоть до бесконечного.

Такая техника легче реализуется, если все члены ряда изображать в виде соответствующих топологических диаграмм. Эта техника — метод диаграмм Фейнмана [14]. Диаграммная форма имеет то преимущество, что она выявляет структуру ряда таким наглядным представлением, которое делает процедуру суммирования очевидной даже неспециалисту. В диаграмме существенно лишь то, каким образом различные элементы соединены друг с другом, т.е. важна топология диаграммы. Именно эта топология и служит ключом к теории возмущений бесконечного порядка. После того как ряд теории возмущений записан в диаграммной форме, оказывается, что все диаграммы можно разделить на классы, каждый из которых характеризуется своей топологической структурой. Далее выясняется замечательный факт: диаграммы определенных классов (и, следовательно, члены ряда теории возмущений) можно легко просуммировать вплоть до бесконечного порядка. Пример использования диаграммной техники для решения уравнений нелинейной акустики реализован в работе [13]. Поскольку в нашей задаче вычисляется лишь приближенная сумма коэффициентов ряда Тейлора и ошибка накапливается с увеличением расстояния х, то данные приближенные решения применимы для ограниченных расстояний от источника. Такие расстояния зависят от степени отклонения среды от "идеальной", т.е. с уменьшением диссипации (увеличением числа Рейнольд-са), дисперсии и других свойств среды и геометрии задачи предельные расстояния, на которых применимы такие приближенные решения, увеличиваются. Таким образом, эти решения применимы для случая сильно выраженной нелинейности.

Для иллюстрации метода перепишем уравнение (2) в обобщенном виде с заменой переменных [13]:

БУх - Сс А±У = Б

а БУ2 + ЬБ2У + еУ + с1БъУ 1_ 2

, (3)

1 <5ф_ Р- Рс

где У(т, х, у, £) = = с,

д д

с0

Рс

, р — плотность, Б =

= —, Ух = —У, е, й — коэффициенты "внешнего"

дт дх

трения и дисперсии [3, 15]. Обратимся вначале к наиболее простому случаю идеальной одномер-

324

КУЗНЕЦОВ

ной среды. Разложим функцию ¥(т, х) в ряд Тейлора по координате х, считая, что в интервале 0 < х < да она имеет все производные по х:

п

¥(т, х) = £ Х7^(п)(т,0).

(4)

п=0

= —1— [ {ехр [/ю ах ¥(т, 0)] - 1}ехр (-/ю т. /юах

(6)

Это точное решение уравнения простой волны в спектральной форме было получено ранее в работах [16, 17] другим способом; оно является центральным для получения приближенных решений в методе РС. Для упрощения записи введем для спектра простой волны обозначение — F(ю, х).

Перейдем теперь для иллюстрации метода РС к построению приближенных решений модели нелинейной акустики — уравнения Бюргерса, описывающего нелинейные волны в диссипатив-ной среде без дисперсии:

¥х = а¥Б¥ + ЬБ V. (7)

Определим коэффициенты разложения (4) ¥х(п) (т, 0) для уравнения (7)

¥х(1) (т,0) = а Б¥2 + ЬБ ¥

2

¥х(2)(х,0) = а Б¥¥(1} + ЬБ 2¥(1} = у Б ¥3 + + аЬБ¥Б ¥ + —Б¥2 + Ь2б¥

3 2

¥х(3)(х,0) = а Б 3¥4 + — Г2Б ¥2 Б 2¥ + 4 2 1

+ Б(Б¥ 2)(Б 2¥) + Б¥Б 3¥2 + Б 4¥3 ]

+ аЬ

Будем определять коэффициенты разложения (4) с помощью следующей итерационной процедуры:

¥х(1) (т, 0) = а Б¥ 2(х, 0),

2 2 ¥х(2)(т, 0) = а Б¥¥х(1) = ^ Б¥Б¥2 = ^ Б2¥3,

3 3

¥х(3)(т,0) = а2 Б ¥ 2¥Ц) = ^ Б 2¥ 2Б¥2 = ^ Б 3¥4 х х 2 4

¥х(п)(т, 0) = а п-1Бп-¥п-1¥х(1) Бп¥п+1. (5)

п +1

В формулах (5) и далее оператор Б действует на все стоящие справа от него функции. Подставляя эти выражения в ряд (4), п

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком