ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2013, том 53, № 2, с. 282-290
УДК 519.634
О СПЕКТРЕ ОДНОМЕРНЫХ КОЛЕБАНИЙ В СРЕДЕ ИЗ СЛОЕВ УПРУГОГО МАТЕРИАЛА И ВЯЗКОУПРУГОГО МАТЕРИАЛА
КЕЛЬВИНА—ФОЙГТА1)
© 2013 г. А. С. Шамаев, В. В. Шумилова
(119526Москва, пр-т Вернадского, 101, кор. 1, ИПМех РАН) e-mail: sham@rambler.ru; v.v.shumilova@mail.ru Поступила в редакцию 22.03.2011 г. Переработанный вариант 08.08.2012 г.
Построены две усредненные (эффективные) модели, соответствующие поперечным и продольным колебаниям в микронеоднородном композитном материале. Компонентами такого материала являются взаимно чередующиеся слои двух изотропных материалов: упругого и вязкоупругого. Установлено, что исследование спектра каждой усредненной модели сводится к нахождению корней соответствующих кубических уравнений, а также выявлено качественное различие между спектрами этих моделей. Библ. 18.
Ключевые слова: спектр колебаний, композитный материал, упругость, вязкоупругость. DOI: 10.7868/S0044466913020142
1. ВВЕДЕНИЕ
В механике композитных материалов актуальным является исследование динамических характеристик микронеоднородных композитных материалов, состоящих из упругого материала и наполнителя иной природы (например, вязкоупругого материала или вязкой жидкости). При этом интересным является тот факт, что даже при незначительной доле наполнителя динамические характеристики композита и упругого материала могут качественно отличаться друг от друга. Например, в работе [1] описан эксперимент, в котором обнаружено явление исчезновения собственных частот колебаний при попадании в поры мраморного стержня очень малого количества вазелинового масла. При этом вполне естественно возникает предположение, что указанное явление имеет место и для микронеоднородного композита, компонентами которого являются упругий материал и вязкоупругий материал, описываемый моделью Кельвина—Фойгта. Очевидно, что для теоретического обоснования такого рода предположений необходима разработка строгих математических моделей, описывающих динамику композитных материалов. Вместе с тем математическое описание микронеоднородных композитных материалов обычно включает в себя дифференциальные или интегро-дифференциальные уравнения с быстро осциллирующими коэффициентами. Это приводит к тому, что исследование спектральных свойств таких материалов часто бывает довольно затруднительным. В связи с этим возникает необходимость построения усредненных (эффективных) моделей, позволяющих исследовать предельное поведение спектра первоначальных композитных материалов.
Усредненные модели для микронеоднородных комбинированных сред, состоящих из упругого или вязкоупругого материала и вязкой или слабовязкой жидкости, были построены, например, в [2]—[10]. Спектральному анализу усредненных моделей комбинированных сред посвящены работы [10]—[12]. В частности, в [10] были исследованы спектральные свойства усредненной модели для пористого упругого материала и слабовязкой жидкости, заполняющей поры, а в [12] для эмульсии из двух слабовязких жидкостей. Следует также отметить работу [13], в которой было изучено поведение спектра при усреднении задач в среде с двойной пористостью.
В некоторых случаях построение усредненных моделей комбинированных сред приводит к задачам теории вязкоупругости. Так, например, в [4], [8], [9] усредненные модели описывают ко-
1) Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 11-01-12115-офи-м-2011).
лебания в сплошных (предельных) вязкоупругих материалах с долговременной памятью. Исследование спектра одномерных колебаний в таких материалах приводит к спектральному анализу соответствующих интегро-дифференциальных уравнений. Структура спектра некоторых инте-гро-дифференциальных уравнений, возникающих в теории вязкоупругости, была исследована, например, в [14]—[17].
Данная статья посвящена построению и спектральному анализу двух усредненных моделей, соответствующих поперечным и продольным колебаниям в микронеоднородном композитном материале. Компонентами такого материала являются взаимно чередующиеся слои двух изотропных материалов: упругого и вязкоупругого. Доказывается, что исследование спектра каждой модели сводится к нахождению корней соответствующих кубических уравнений. Устанавливается также качественное различие между спектрами рассмотренных моделей: в случае поперечных колебаний спектр усредненной модели содержит бесконечное число невещественных собственных значений, а в случае продольных колебаний — либо полностью вещественный, либо содержит конечное число невещественных собственных значений.
2. ПОСТРОЕНИЕ УСРЕДНЕННОЙ МОДЕЛИ КОЛЕБАНИИ В СЛОИСТОМ КОМПОЗИТЕ
В области О = (0, /)3 рассмотрим микронеоднородный композитный материал, состоящий из взаимно чередующихся слоев двух изотропных материалов: упругого и вязкоупругого. Будем предполагать, что вязкоупругий материал описывается моделью Кельвина—Фойгта, а все слои параллельны одной из координатных плоскостей, например, плоскости Ох2х3. Пусть толщина каждого вязкоупругого слоя равна Ы < 1, б < 1), толщина каждого упругого слоя равна б(1 — и
л = (0, (1 - й)/2)и(( 1 + й)/2, 1), /2 = ((1 - й)/2, (1 + й)/2), I= = (0, /)п( и (бЛ + гк)), Оге = 4 *(0, /)х(0,1), 5 = 1, 2.
к е Ж
Очевидно, что О = О1е и О2е и где = дО1Е п дО2 Е. В дальнейшем будем считать, что О1е и О2 Е представляют собой, соответственно, упругую и вязкоупругую части области О. Это означает, что уравнения состояния в О1е и О2е имеют вид
Е (1) , ЕЧ „ Е (2) , Е* , (д ЫЁ\ ^
ау = атеки(и ), х е О1=, = атеки(и ) + Ь^^—), х е О2=.
Здесь ыг(х, {) — вектор перемещений, аЕ — компоненты тензора напряжений, вкк(ые) — компоненты тензора деформаций, екк(ые) = (д ик / дхк + д и\/дхк )/2,
4к = КЪуЪкн + П*(ЪгкЪ;А + S;■¿5y■k), ^ = 1, 2,
Ьт = ^зЪцЪкн + П з(Ъ 1кЪ]н + 8«8/к), 1 ^ Ь■ к к ^ 3,
где Ъу — символ Кронекера, Хя, (я = 1, 2) — коэффициенты Ламе, А,3, — коэффициенты вязкости, аналогичные коэффициентам Ламе (см. [18]).
Математическая модель, описывающая колебания в рассмотренном слоистом композите, имеет вид
рЕ(х)дд-и = ^ +£(х, г), х е О, г> 0, (2.1)
дг2 дх
[ иЕ к = 0, [а =1 ] = 0, (2.2)
иЕ(х, г) = 0, х едО, г> 0, иЕ(х, 0) = — (х, 0) = 0, х еО, (2.3)
д г
где ре(х) — функция плотности, принимающая постоянные значения р1 > 0 и р2 > 0 в О1е и О2е соответственно; /(х, 1) — компоненты вектора силы; [g^ — скачок функции g при переходе через поверхность Ss.
При определенном ограничении, налагаемом на вектор-функцию/(х, 1) (см. [3]), аналогично работе [9] можно показать, что при б —»- 0 имеем
~ £ ~ 2 3
и (х, X) —► и(х, X) в L (О) ,
где и£ (х, X) — преобразование Лапласа вектор-функции ыЕ(х, 1), а и (х, X) — решение усредненной задачи, записанной в образах преобразования Лапласа,
X2Рои(х, X) = ^(м^Х)^(х, X)) + }1 (х, X), x еО,
дху дх1
и(х, X) = 0, х е дО.
Здесь р0 = р1(1 — + р2^, а коэффициенты (X) усредненного тензора находятся по формуле МуМ = (1 - ^ц + СтЩй + ¡аЦви Vе1) йу + ^С^е^ Vе1) йу, (2.4)
У 72
где
СуМ = аЦи + Xbm, У, = I, х (0, 1 )х (0, 1), , = 1, 2.
Вектор-функции Vе1 (у, X) являются У-периодическими (У = (0, 1)3) по у и определяются как решения вспомогательных задач
д Уу
где ^ = дУ1 п дУ2,
= 0, у е У, ^йу = 0, [^Ъ = 0, [а„Ь = 0, (2.5)
- (1) О у = аук1 + а
Леы(-Н), у е 71, Оу = Су^) + Су^)е1т(-Н), у е Уг.
Возвращаясь к оригиналам, из (2.5) видим, что вектор-функции Укк(у, 1) зависят от функции Дирака 5(1). Для того, чтобы выявить эту зависимость, определим У-периодические вектор-функции Zkh(y), Бкк(у), Жкк(у, 1), 1 < к, к < 3, как решения вспомогательных задач
0, у е У, (э = 1, 2), ГЛу = 0, [2к1]s = 0, а(12)| „ = 0, (2.6)
-— - -, ^ = , j2 йу = 0, ^ ^ = 0, „
у У д(3)
ду- = 0, у е 72, |Лу = 0, 5 = а^5, (2.7)
4)
= 0, у е У, 0) = Бк\у), у е У2;
р (4)
где
д уу
|Лу = 0, [ = 0, [а;(14) Ь = 0,
У
(1) (1) ггкК (1) V (2) 1 , ^
у = аШте1т(2 ) + ат, у е Уь = ЬШте,т(2 ) + Ьт, у е У2,
(2.8)
(3) , т\кН\ (2) /-гукк- (2) т,
аУ = ЬцЫе1т(О ) + аЩте1т(^ ) + aijkh, У е
(4) (1) (мкК V (4) (2) гикК , и (д ^^ V
а у = атеы( ^ ), у е 71, ау = ате,т( ^ ) + Ь^е^ —д^-) , У е 72.
Такое определение вектор-функций Zkh(y) и 1) позволяет выразить зависимость Укк(у, 1)
от 5(1) в виде
/Н(у, г) = ¿ск(у)5(г) + ^Н(у, г).
Далее, из (2.4) видим, что коэффициенты укЬ(() усредненного тензора также зависят от 5(1) и могут быть записаны в виде
wijkh( 0 = 8( t)am + S' ( OPjkh + gijkhi О,
где
аукН = ( 1 - й) а тН + а + |а е1т(.^Н) йУ + |(а Щт е1т( ^ + Ьу1те1т( ^^ йУ,
7 72
■ = ЬЩкНй + ¡Ьу1те1т(^СН) йУ, (2.10)
72
■( г) = |а ™ еы( ^Н) йу + | ^ а £ е,т( ^Н) + йу. (2.11)
71 72
Таким образом, усредненная задача в переменных х и 1, соответствующая первоначальной задаче (2.1)—(2.3), имеет вид
д щ д f duk д uk ôuk]
Р0—J = dj- + P'jkhdTlkt + g'jkh( t) * d"V + ^(X' t) J ^^
u (X' t) = 0, x edQ, t > 0, u (x, 0 ) = — (x, 0 ) = 0, x efi, (2.13)
t
где символ * означает свертку по t. Из (2.12), (2.13) видно, что предельное поведение первоначального микронеоднородного композита совпадает с поведением сплошного вязкоупругого материала с долговременной памятью (см. [4], [9]).
Теперь положимfx, t) = 0 и применим преобразование Лапласа к задаче (2.12), (2.13). Имеем
^2Р0u1 = дх-((a'jkh + Хвт + gijkh(^))dû) , (2.14)
u (х,Х) = 0, х ед Q. (2.15)
В дальнейшем будем рассматривать X в качестве спектрального параметра, а под спектром усредненной задачи (2.12), (2.13) будем понимать множество всех значений X е С, при которых спектральная задача (2.14), (2.15) имеет нетривиальное решение u (x, X).
3. СПЕКТР УСРЕДНЕННОЙ МОДЕЛИ ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ
СЛОИСТОГО КОМПОЗИТА
Введем обозначения
a = а1ш, Р,- = Р«^ gi(0 = giiu(0,
as = a-ii = Х^ + 2bi = biiU = X3 + 2^, i = 1, 2, 3, s = 1, 2,
и предположим, что колебания в слоистом композите происходят только вдоль оси х1. В этом
случае ыг(х, 1) = (и£ (х1, 1), 0, 0), и(х, 1) = (и1(х1, 1), 0, 0), поэтому вместо системы интегро-диффе-
ренциальных уравнений в (2.12) имеем только одно интегро-дифференциальное уравнение
2
д и1 „г, ди1 ,,
Р0 Т" = «1 и1 + + 0 * и1 + /1 (хъ 0.
Для того, чт
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.