ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2007, том 47, < 9, с. 1460-1466
УДК 519.61
О СПЕЦИАЛЬНЫХ РЕШЕНИЯХ МАТРИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ
XX = I и XX = -I
© 2007 г. X. Д. Икрамов
(119992 Москва, Ленинские горы, МГУ, ф-т ВМиК) e-mail: ikramov@cs.msu.su Поступила в редакцию 02.03.2007 г.
Матричные уравнения XX = I и XX = -I играют заметную роль в теории псевдоподобий. Ха-рактеризация решений первого из этих уравнений дана в §4.6 книги Хорна и Джонсона. Поскольку эта характеризация не является конструктивной, дается полное и конструктивное описание решений указанных двух уравнений при одном из двух дополнительных предположений: а) X - нормальная матрица, б) X - сопряженно-нормальная матрица. Библ. 4.
Ключевые слова: подобие матриц, псевдоподобие матриц, унитарная конгруэнция, нормальная матрица, сопряженно-нормальная матрица.
Матричное уравнение
1. ВВЕДЕНИЕ
XX = XI X е
(1)
играет заметную роль в теории псевдоподобий. Напомним, что псевдоподобием называется преобразование матрицы A е Mn(C) посредством правила
A — SAS"1, (2)
где S - произвольная невырожденная матрица из Mn(C) (см. [1, § 4.6]).
Деля обе части (1) на |А,| и производя замену переменного, можно в дальнейшем рассматривать уравнение
XX = In (3)
или уравнение
XX = - In.
(4)
Согласно лемме 4.6.9 из [1], матрицаXе МИ(С) тогда и только тогда является решением уравнения (3), когда
X = ЯГ1 (5)
для некоторой невырожденной матрицы Я. Приведем пример ситуации, в которой знание этого факта позволяет получить значительные вычислительные преимущества.
Наряду с матрицей X рассмотрим определяемый ею класс псевдоперестановочности Гх, т.е. множество матриц А таких, что
AX = XA.
(6)
Например, если
то Гх - это класс центроэрмитовых матриц, иначе характеризуемых скалярными соотношениями
ац = ап +1-1, п +1-], и ] = 1, 2, — , п ■
Предположим, что матрица в представлении (5) известна. Тогда применение к каждой матрице А е Гх подобия
А — В = А5 (7)
делает эту матрицу вещественной. Подчеркнем, что овеществление всего класса Гх достигается
посредством одной и той же трансформирующей матрицы 5. Понятно, что решение линейно-алгебраических задач с вещественными матрицами В требует существенно меньшей арифметической работы, чем решение таких же задач с исходными комплексными матрицами А. Выигрыш в количестве работы будет особенно значителен, если решается серия задач с матрицами из Гх, а преобразование (7) может быть осуществлено несложными вычислениями. Именно такова ситуация с центроэрмитовыми матрицами. (Более подробно об этом можно прочесть в [2].)
В этой статье мы ставим своей задачей описание всех решений уравнений (3) и (4) при одном из следующих дополнительных предположений: а) X - нормальная матрица; б) X - сопряженно-нормальная матрица.
Напомним, что матрица А е Мп(С) называется сопряженно-нормальной, если
АА* = А*А. (8)
Этот класс матриц играет в теории унитарных конгруэнций ту же роль, какую обычные нормальные матрицы выполняют по отношению к унитарным подобиям. Заметим, что унитарные конгруэнции суть частный случай псевдоподобий (2), соответствующий унитарным трансформирующим матрицам 5.
Сведения о псевдособственных значениях комплексных матриц, приведенные в разд. 2, позволят нам легко получить описание сопряженно-нормальных решений уравнений (3) и (4) (см. разд. 3). Эти описания даются следующими двумя теоремами.
Теорема 1. Сопряженно-нормальная матрица X е Мп(С) тогда и только тогда является решением уравнения (3), когда X- унитарная симметричная матрица.
Теорема 2. Сопряженно-нормальная матрица X е Мп(С) тогда и только тогда является решением уравнения (4), когда X- унитарная кососимметричная матрица.
Описание нормальных решений уравнений (3) и (4) дано в разд. 4. Показано, что каждое из этих решений посредством вещественного ортогонального подобия может быть преобразовано в прямую сумму блоков порядка 1 и 2 (а в случае уравнения (4) - только блоков порядка 2). Блоки порядка 1 суть собственные значения матрицы X, и их модули необходимо равны 1. Блоки порядка 2 суть матрицы комплексного гиперболического поворота или произведения такого поворота с отражением; они соответствуют парам собственных значений матрицы X, связанным соотношением
^1^2 = 1 (9)
в случае уравнения (3) и соотношением
Х1 %2 = -1 (10)
для уравнения (4). Кроме того, в случае уравнения (3) возможны 2 х 2-блоки, являющиеся унитарными симметричными матрицами.
2. О ПСЕВДОСОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ
С каждой матрицей A е Мп(С) можно связать п числовых инвариантов псевдоподобия, называемых ее псевдособственными значениями. Напомним их определение, как оно дано в [3]. Сопоставим матрице A е Мп(С) матрицы
Al = AA и Ar = AA.
Хотя в общем случае произведения АВ и ВА не обязаны быть подобными матрицами, АА всегда подобна матрице АА (см. [1, § 4.6, задача 9]). Поэтому в дальнейшем обсуждении спектральных свойств можно рассматривать лишь одну из этих матриц, для определенности, А£. Спектр матрицы Аь имеет два замечательных свойства.
1. Он симметричен по отношению к вещественной оси. Кроме того, собственные значения X и X имеют одинаковую кратность.
2. Если у Аь есть отрицательные собственные значения, то они обязательно имеют четную алгебраическую кратность.
Доказательства этих утверждений можно найти в [1, разд. 4.6, задачи 5-7]. Пусть Х(А£) = {Хь ..., Хп} есть спектр матрицы А£.
Определение. Псевдособственными значениями матрицы А называются п чисел ..., |п, получаемых следующим образом.
Если X, е Х(А£) не лежит на вещественной отрицательной полуоси, то соответствующее псевдособственное значение | определяется как квадратный корень из X, имеющий неотрицательную вещественную часть:
| = Х1/2, Яе ||> 0. Кратность числа | полагается равной кратности Х.
С вещественным отрицательным числом X, е Х(А£) мы связываем два сопряженных чисто мнимых псевдособственных значения
. - 1/2 I = ±Х .
Кратность каждого из них считается равной половине кратности собственного значения Xj. Для симметричной матрицы А имеем
А = А *, Аь = А * А,
поэтому псевдособственные значения А совпадают с ее сингулярными числами. В этом совпадении проявляется
Теорема 3. Сингулярные числа сопряженно-нормальной матрицы А е Мп(С) суть модули ее псевдособственных значений.
Это утверждение, доказанное в [4], есть конгруэнтный аналог известного свойства нормальных матриц: сингулярные числа нормальной матрицы совпадают с модулями ее собственных значений.
3. СОПРЯЖЕННО-НОРМАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ
3.1. Уравнение (3)
Уравнение (3) означает, что
Хь = Хя = I, (11)
т.е. все псевдособственные значения матрицы X равны 1. По предположению, X - сопряженно-нормальная матрица, поэтому, в силу теоремы 3, все сингулярные числа X равны единице. Тем
самым X - унитарная матрица; при этом из соотношений XX = I и XX* = I следует X = X11. Итак, всякое решение системы матричных уравнений
XX = I, XX* = X*X (12)
есть унитарная симметричная матрица. Обратное утверждение, т.е. всякая унитарная симметричная матрица удовлетворяет системе (12), очевидно. Теорема 1 доказана.
Посмотрим, что в условиях теоремы 1 можно сказать о представлении (5) матрицы X. Будем искать унитарную и симметричную матрицу Я для этого представления. Тогда Я 1 = Я * = Ят = Я
и (5) принимает вид
X = 52.
Таким образом, в качестве 5 можно взять квадратный корень из X, являющийся многочленом от этой матрицы.
3.2. Уравнение (4)
С очевидными изменениями проходит весь анализ из предыдущего подраздела. Вместо (11) имеем соотношения
XL = XR = -1,
означающие, что псевдособственными значениями матрицы X являются числа 1 и -1. По-прежнему все сингулярные числа X равны единице, т.е. X - унитарная матрица; при этом из соотношений
XX = -I и XX* = I следует X = -X1'. Итак, всякое решение системы матричных уравнений
XX = -I, XX* = X* X (13)
есть унитарная кососимметричная матрица. Обратное утверждение, т.е. всякая унитарная косо-симметричная матрица удовлетворяет системе (13), очевидно. Теорема 2 доказана.
4. НОРМАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ
4.1. Уравнение (3) 4.1.1: п = 1 и п = 2. При п = 1 уравнение (3) принимает вид
- = | 12=1 | | 1,
т.е. описывает комплексные числа с модулем 1.
Пусть п = 2. Будем искать решения системы матричных уравнений
XX = I, XX* = X* X. (14)
Поскольку X = X-1, второму уравнению системы можно придать эквивалентный (и более простой) вид:
XтX = XXт. (15)
Положим
X =
( \
а в у 5
(16)
Тогда уравнение (15) эквивалентно трем скалярным равенствам:
а2 + р2 = а2 + у2, (17а)
ау + р5 = ар + у5, (176)
у 2 + 52 = р2 + 52. (17в)
Из (17а) (или (17в)) следует, что р = ±у. Рассмотрим эти две возможности порознь.
Случай 1: у = р. Все соотношения (17) удовлетворены. Матрица (16) симметричная, поэтому первое уравнение в (14) можно записать в виде XX* = I, т.е. X еще и унитарная матрица. Несложно показать, что все унитарные симметричные матрицы порядка 2 даются формулой
X = е
/ л
0081 1 8Ш t
У 18Ш t 0081 у
ф, t е [0, 2п).
Случай 2: у = -р. Будем считать, что в Ф 0, поскольку противоположная ситуация охватывается анализом предыдущего раздела. В таком случае (176) сводится к равенству
Для матрицы
X =
а = 5.
/ л
а ß -ß а
(18)
уравнение XX = I дает
или
|а|2 = |ß| 2+ 1, aß + ßa = 0,
Re ^ß) = 0.
Последнее соотношение означает, что ß = ¡аа для некоторого вещественного числа а. Полагая ф = arg а, видим, что матрицу (18) можно записать в виде
X = е
/ л
ch t ¡sh t
-¡sht cht
фе [0, 2n), t e
Заметим, что в силу равенства |detX | = 1 модули собственных значений матрицы X суть взаимно обратные числа. При этом, исключая случай t = 0, сами эти модули единице не равны (поскольку модуль суммы собственных значений равен числу 2сЬ t > 2).
4.1.2. Приведение к прямой сумме. Полное описание нормальных решений уравнения (3) основано на следующей лемме.
Лемма 1. Пусть X- произвольное решение уравнения (3), где п > 3. Тогда существует одно-или двумерное инвариантное подпространство матрицы X, базис которого может быть составлен из векторов с вещественными компонентами.
Доказательство. Пусть X - произвольное собственное значение матрицы X и г - соот
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.