О СПОСОБНОСТИ РЕЗОНАНСНЫХ ДИФРАКЦИОННЫХ РЕШЕТОК ДИФФЕРЕНЦИРОВАТЬ ИМПУЛЬСНЫЙ ОПТИЧЕСКИЙ СИГНАЛ
Д. А. Быков* Л. Л. Досколович, В. А. Сойфер
Институт систем, обработки изображений Российской академии наук 443001. Салтра, Россия
Самарский государственный аэрокослшческий университет им. академика С. П. Королева (национальный исследовательский университет) 443086, Салтра, Россия
Поступила в редакцию 27 июня 2011 1".
Рассмотрено прохождение оптического импульса через резонансную дифракционную решетку. Получены условия, при которых резонансная дифракционная решетка будет выполнять дифференцирование огибающей падающего импульса. Показано, что для вычисления производной й-го порядка необходимым условием является наличие £ резонансов в спектре пропускания решетки в окрестности центральной частоты падающего импульса. Описан метод построения составной структуры для вычисления производной й-го порядка на основе повторения структуры для вычисления первой производной. Представлены результаты математического моделирования дифракции импульса на рассчитанных структурах для вычисления первой, второй и третьей производных.
1. ВВЕДЕНИЕ
Оптические элементы для дифференцирования временных оптических сигналов представляют большой интерес для широкого спектра приложений, включающих сверхбыструю оптическую обработку информации, оптические вычисления, оптическое распознавание и кодирование, формирование временных импульсов заданной формы [1,2].
Для оптического дифференцирования широко используются брэгговские структуры. В частности, в работах [2 5] рассмотрено дифференцирование оптических импульсов с использованием длинно-перподных волоконных решеток (long-period fiber gratings). Здесь и далее под дифференцированием оптического импульса понимается дифференцирование огибающей импульса. Данные структуры работают на пропускание, дифференцирование осуществляется на резонансной частоте структуры, соответствующей эффективному преобразованию моды сердечника в моду обкладки. В работах [1,6] для выполнения операции дифференцирования в
* E-mail: bykovd'fflgmail.com
отражении рассмотрены брэгговские решетки с дефектами. Введение дефекта обеспечивает появление разрешенной частоты в запрещенной зоне, на которой осуществляется дифференцирование. В работах [7,8] проведен расчет распределения показателя преломления вдоль дифференцирующей брэггов-ской решетки с использованием специальных методов оптимизации [9,10]. Распределение показателя преломления в этом случае рассчитывается из условия формирования заданной функции комплексного пропускания структуры.
Общим недостатком брэгговских структур, рассмотренных в работах [2 8], является их относительно большой продольный размер, составляющий от долей миллиметра до нескольких сантиметров.
В настоящей работе изучается дифференцирование световых импульсов с помощью резонансных дифракционных решеток. Под резонансными решетками понимаются решетки, у которых на определенных частотах происходят резкие изменения коэффициентов отражения и пропускания. Как правило, резонансные изменения в спектрах периодической структуры связаны с возбуждением в ней собственных квазиволноводных мод [11 15]. Приме-
нонио структур такого типа для дифференцирования оптических импульсов впервые рассмотрено в настоящей работе. В отличие от брэгговских структур работ [2 8], продольный размер изучаемых нами решеток может составлять всего несколько длин волн (1 2 мкм в оптическом диапазоне), а поперечный размер оценивается в несколько десятков длин волн.
2. ДИФРАКЦИЯ ИМПУЛЬСА НА ДИФРАКЦИОННОЙ РЕШЕТКЕ
Рассмотрим оптический импульс с центральной частотой и>о и огибающей P(t), распространяющийся вдоль оси г. В этом случае поле импульса имеет вид
A(z,t) = exp [ik(uio)z — /u^f] P(t — z/vg) =
ОО
= J F(uj)cxp[ik(uj)z — iuit] dm, (1) 0
где функция A(z,t) поперечная компонента электрического или магнитного поля в зависимости от поляризации, к (и)) = y/eui/c волновое число, vg = с/\fe групповая скорость, е диэлектрическая проницаемость среды, F(ui) спектр импульса. Отметим, что под функцией A(z,t) понимается аналитический сигнал [16]. Огибающая импульса P(t) может быть представлена через спектр импульса F(ui):
оо
P(t) = J F(ui) exp [—¿(u> — u)o)t] dm.
(2)
Соответственно, производные огибающей (2) имеют вид
dnP(t) dtn
О©
= j F{ui) [-¡(uj - UJo)]n X
x exp [—¿(и — u)o)t] dm, n = 0,1,2,
(3)
Пусть импульс падает на дифракционную решетку под прямым углом (рис. 1). Временная зависимость поля в нулевом прошедшем порядке дифракции имеет следующий вид:
ОО
= oxp(—iuJ0t)J Т(т)Р(и1) х "о
х ехр [—¿(и; — и)оЩ (ко, (4)
Рис.1. Геометрия дифференцирующей структуры
где Т(и>) комплексный коэффициент пропускания (комплексная амплитуда волны нулевого прошедшего порядка дифракции), зависящий от частоты. Далее в статье рассматриваются дифракционные решетки с субволновым периодом, после прохождения которых электромагнитные волны только нулевого порядка дифракции не затухают при распространении.
Разложив Т(и)) в ряд Тейлора в окрестности то-получим из выражений (3), (4) огибающую прошедшего импульса:
Plr(t) = T(uQ)P(t) + - T'(uQ)P'(t)
= £
в=0
(fT(u))
(lbl*
(Г P(t) dtn
(5)
Формула (5) представляет огибающую прошедшего импульса в виде линейной комбинации производных огибающей падающего импульса. Будем считать, что спектр огибающей падающего импульса ограничен по частоте величиной П: п
P(t) = j F(ui + uJo)p~'wI<luJ-
-Q
(6)
Согласно (5), если коэффициент пропускания решетки
Т(и>) ос [—¿(u; — и>о)]", — cuo| < ii, (7)
то Pir(t) ос dnP(t)/dtn, т.е. решетка будет выполнять дифференцирование n-го порядка огибающей
3 ЖЭТФ, выи. о
833
импульса. Определение конфигурации решетки и расчет ее параметров из условия пропускания, заданного в виде (7), является сложной задачей, которая не может быть решена аналитически. Отметим, что функция пропускания Т(и>) зависит от геометрических параметров дифракционной решетки, таких как период, ширина и высота ступенек и т. д. (в зависимости от вида решетки).
В настоящей работе расчет дифракционной решетки для вычисления п-й производной основан на оптимизации по параметрам решетки с использованием специального критерия, представляющего «вес» /¿-го слагаемого в (5), содержащего п-ю производную, относительно остальных слагаемых.
Отметим, что представление (5) предполагает, что функция Т(и>) является голоморфной. Для дифракционных решеток с резонансными свойствами функция Т(и) как функция комплексного аргумента имеет полюсы и является мероморфиой [14]. В случае, когда все полюсы и)р функции Т(и>) находятся вне окружности |и> — и;о| = разложение (5) будет оставаться справедливым. В случае, когда расО
стояние от некоторых полюсов оор
im) т = 1,... ,М
до точки uto меньше, чем П, т.е. — uto| < fi,
функция T(lo) может быть представлена в виде [17]
м
(8)
ГМ = и М + Y,
ги 1
LO LO.
(m)
где Ьт = Res („о T(ui), U(ui) некоторая функция,
OJp
голоморфная при |u; — u;o| < О- Выражение (8) записано для случая простых полюсов. Разлагая U(ui) в ряд Тейлора и подставляя (8) в (4), получим огибающую прошедшего импульса:
ял) = £
п=0
I.
Р (PU(LO) п\
(kor
dnP(t) dtn
м
х у Р(Г)охр [< (и;{,т)-и;о) (Г-о] <1Т. (9)
— ОС!
Выражение (9) является обобщением (5): первая сумма в (9) содержит производные огибающей падающего импульса, а вторая сумма интегралы. Наличие интегралов в правой части уравнения (9) не позволяет выполнить операцию дифференцирования с высокой точностью. Поэтому далее будем рассматривать дифракционные решетки, у которых для полюсов функции Г (и;) выполняется условие
\иор — и>о| > (10)
обеспечивающее справедливость разложения (5).
3. ДИФРАКЦИОННЫЕ РЕШЕТКИ ДЛЯ
ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЕРВОЙ ПРОИЗВОДНОЙ
Расчет дифракционной решетки для вычисления первой производной основан на оптимизации по параметрам решетки из условия максимизации «веса» первого слагаемого в (5) относительно остальных слагаемых. Минимизация слагаемого с номером п = 0 в (5) осуществляется при нулевом пропускании на частоте и>о- Большая величина слагаемого с номером п = 1 достигается при резких изменениях пропускания в окрестности частоты loo- обеспечивающих большую величину производной T'(lOq)-Такая форма спектра пропускания характерна для волноводных резонансных дифракционных решеток (guided-mode resonant gratings) [18 20]. Указанные решетки из диэлектрического материала традиционно используются в качестве узкополосных спектральных фильтров, обладающих высокой отражательной способностью (близкой к 100%) и, соответственно, низким пропусканием в окрестности определенных частот падающего света. Простейший пример волноводной резонансной решетки, соответствующей периодической системе ступенек на однородном слое, показан на рис. 1. Эффект высокого отражения (низкого пропускания) связан с резонансным процессом возбуждения в решетке собственных ква-зиволноводных мод [11 15]. В окрестности резонанса справедливо следующее приближенное представление [11 13]:
= (п)
L0 — L0n
Ур Ц0 ЦОр
где а, Ь некоторые константы, ир комплексная частота собственной моды структуры. Отметим, что каждому полюсу пропускания и)р соответствует комплексный нуль и!- = и1р — и-1 Ь. Поскольку, согласно (7), Т(и)о) = 0, дифференцирование должно происходить при и>0 = и!- £ К.
Рассмотрим выбор критерия оптимизации для расчета параметров решетки, выполняющей дифференцирование первого порядка. Для этого оценим веса слагаемых в выходном сигнале (5). Из формулы (6) несложно получить следующую оценку для модуля /7-й производной:
dnP(t)
dtr°
< fi" / |F(ui + u;0)I (ко.
(12)
Соответственно, в качестве оценки веса п-го слагаемого в (5), содержащего производную /7-го порядка, будем использовать величину
(Г'Т(и>)
ÍP
duo''-
Используя приближенную формулу (11), при п > 1 получим
<ГГ(и;)
(ког
(-1 )пп\Ъ (^0 -
(14)
С учетом (14), веса (13) можно приближенно оцепить величинами
1Г„ =
П"
и?о — 'Л
р I
1)7 + 1
п = О,
п > 1.
(15)
Величины И"„, п > 1 в (15) образуют геометрическую прогрессию со знаменателем
П
Ч =
•ио
(16)
При выполнении условия (10) данная прогр
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.