ПОВЕРХНОСТЬ. РЕНТГЕНОВСКИЕ, СННХРОТРОННЫЕ И НЕЙТРОННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2004, < 5, с. 37-39
УДК 539.171
О СПРАВЕДЛИВОСТИ КЛАССИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ ПРИ РАССЕЯНИИ АТОМНЫХ ЧАСТИЦ СРЕДНИХ ЭНЕРГИЙ
© 2004 г. А. Н. Пустовит
Институт проблем технологии микроэлектроники и особочистых материалов РАН, Черноголовка, Московская область, Россия Поступила в редакцию 09.09.2003 г.
Проводится сравнение областей применимости квантового (в борновском приближении) и классического (для малоуглового и квазималоуглового приближений) описаний рассеяния атомных частиц средних энергий с использованием степенного потенциала взаимодействия Линдхарда-Нильсе-на-Шарфа. Показано, что квазималоугловое приближение при расчете углов рассеяния значительно расширяет область применимости классического описания по сравнению с малоугловым приближением и его можно использовать вплоть до области применимости квантовой теории в борновском приближении.
О роли процессов рассеяния в различных областях физики коротко и ясно отмечено во введении главы 21 работы [1].
Элементарный акт процесса рассеяния атомных частиц (переход из состояния с одним значением импульса в состояние с другим импульсом) описывается квантовыми законами вне зависимости от того, с каких позиций рассматривается это явление - классической или квантовой теорий. Однако если рассеиваемая частица имеет много последовательных элементарных отклонений от одной и той же частицы, то процесс рассеяния будет приближаться по своему характеру к классическому рассеянию, т.е. движущуюся частицу можно описать классически определенной траекторией, для каждой точки которой можно вычислить передачу импульса [1].
Для квантовой теории точное решение уравнения Шредингера и нахождение амплитуды рассеяния частиц в большинстве практически интересных задач сопряжено с большими математическими трудностями. Поэтому широко применяются приближенные методы, важнейшим из которых является метод Борна. Условие необходимости использовать квантовую теорию (в борновском приближении) для кулоновского потенциала взаимодействия (ПВ) имеет следующий вид [1-3]:
Ъ1 Ъ2 q2|й V0 < 1, (1)
где q - заряд электрона, Ъ - атомные номера сталкивающихся частиц, й - постоянная Планка, деленная на 2п, V) - относительная скорость частиц.
В работе [1] показано, что этот критерий практически остается неизменным (с точностью до множителя немногим больше единицы) и для экранированного кулоновского ПВ.
Классическая теория для кулоновского ПВ справедлива при условии (критерий Бора) [4]:
Ъ1Ъ2с[1 й V0 > 112. (2)
В работе [4] отмечается, что при сильном экранировании имеется область, где неприменимы ни классическая механика, ни метод Борна, и для рассмотрения требуются более общие квантово-механические методы.
В работах [5, 6] получен критерий справедливости классического рассмотрения, верный и для экранированного ПВ:
(й/(2тЕ0)112)|((1йр)а-1(р)| < 1, (3)
где т = т1т2/(т1 + т2) - приведенная масса, т, и Е0 = т V2 /2 - массы и относительная энергия рассеиваемых частиц, а - угол рассеяния в ц-системе, р - прицельное расстояние.
Использование неравенства (3) и стандартного ПВ Линдхарда привело к выводу о неприменимости классического рассмотрения при больших прицельных расстояниях (т.е. при малых углах отклонения) [5, 6]. Аналогичный вывод сделан в [2] для ПВ, убывающих быстрее, чем 1/г (г - расстояние от рассеивающего центра до движущейся частицы).
В области классической теории ранее использовались расчеты, основанные на малоугловом приближении (МП) [4-6]. Так как в критерий (3) входит функция а(р), результаты расчетов которой зависят как от ПВ, так и от используемого приближения при ее вычислении, то представляет интерес сравнить области применимости классической теории рассеяния для малоуглового и
38
ПУСТОВИТ
отн. ед.
Области применимости квантового (ниже пунктирной прямой для борновского приближения) и классического (выше сплошных линий для квазималоугло-вого приближения) описаний при рассеянии атомных частиц для различных значений параметра и: 1 - и ^ 1, 2 - и = 0.2, 3 - и = 0.3(3), 4 - и = 0.5, 5 - и = 1, 6- и = 2, 7 -и = 4. Квадраты - значения величины ZiT^/Hvo для систем Cu+ - C и H+ - H (описание в тексте).
квазималоуглового (КМП) приближений [7] для одного ПВ.
В [7] для степенного ПВ Линдхарда-Нильсе-на-Шарфа
U ( г ) = ( Zi Z 2 q2/r )( kj s )( a/ r )s -1 (4)
найдено, что угол рассеяния для КМП вычисляется по формуле
a = ( us/( 1 + и )s ) B [( s +1 )/2, 1/2 ] =
= ( 2 и/ ( 1 + и )s )[( 3 s -1 )/2]1/2,
где
и = ( Z1Z2 q2 ks/2saE0 )( a/ p)s (6)
Здесь k-константа для фиксированного s, a = = 0.8853a0/( Zf3 + Z™ )1/2 - длина экранирования, a0 = h/q2me = 0.529 A - боровский радиус, B[(s + + 1)/2.1/2] = B1 - (2/s)[(3s - 1)/2]1/2 - бэта-функция. Формула (5) справедлива при условии [7]
и < 2/( s -1 ). (7)
Для МП (5) принимает вид (при и < 1)
a = 2и [( 3s -1 )/2]1/2. (8)
Для выявления зависимости между величинами s, a и р воспользуемся результатами работы [4], в которой показано, что
s = 1 + г/a. (9)
Так как в процессе столкновения г изменяется от ^ до гтщ и затем снова до то, 5 согласно (9), изменяется от ^ до своего минимального значения и затем опять до Поведение же ПВ носит иной характер. На больших расстояниях его значения гораздо меньше (за счет больших значений 5 и г), чем при г = гШщ, и поэтому "наибольший вклад в сечения рассеяния вносят близкие столкновения, соответствующие малым межъядерным расстояниям, близким к гт^" (с. 461 в [8]). Такое поведение 5 и ПВ дает основание записать уравнение (9)в виде
5 ~ 1 + Гт1„/а. (10)
Значения гтЬ для КМП и МП задаются формулами [7]:
Гтш = Р( 1+ и) , (11)
Гт1„ = Р. (12)
Рассмотрим малоугловое приближение. Из (3), (6), (8) и (12) находим следующее условие справедливости классического рассмотрения:
^> {52/к,[2(35 - 1 )]1/2}(5 - 1)5-1. (13)
Для кулоновского ПВ (5 = 1, к5 = 1) уравнения (13) и (2) полностью совпадают. Для упрощения вычислений будем считать к,. ~ 1 для всех значений 5 [9, 10]. На рисунке представлена зависимость правой части неравенства (13) от переменной 5 (кривая 1). Классическое рассмотрение для МП, согласно (13), возможно только для точек графика, расположенных выше этой кривой. Область применения квантовой теории рассеяния в борновском приближении в соответствии с (1) располагается ниже пунктирной прямой на рисунке. Полученные данные подтверждают некоторые выводы из других работ: имеется промежуточная область (между линиями), где неприменимы обе теории рассеяния [4]; классическое рассмотрение нельзя использовать при 5 —► ^ (эквивалентно р —► [5, 6].
Для квазималоуглового приближения из (3), (6), (5) и (11) находим следующее условие применимости классического рассмотрения:
^г2д2/йу0 > {52/к5[2(35 - 1 )]1/2} х
1 2* 0 5 (14)
X ( 5-1 )5 [ 1-( 5-1) и ].
В правой части (14) имеется дополнительный множитель по сравнению с (13), существенно влияющий на область применения классического рассмотрения.
Из (14) следует, что для того чтобы правая часть была больше 0, необходимо выполнение следующего условия:
и < 1/(5 -1). (15)
ПОВЕРХНОСТЬ. РЕНТГЕНОВСКИЕ, СИНХРОТРОННЫЕ И НЕЙТРОННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ < 5 2004
О СПРАВЕДЛИВОСТИ КЛАССИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ
39
Условие (15) более жесткое, чем (7), и при его выполнении различия в расчетах углов рассеяния между точным и приближенным значениями для 5 = 2 [7] меньше 35%.
На рисунке представлено несколько зависимостей правых частей в (14) от 5 для различных значений параметра и. Кривая 1 для КМП совпадает с кривой для МП, и поэтому выводы для них идентичные. Сравнивая другие кривые с кривой 1 можно отметить следующее.
Во-первых, так как все остальные кривые расположены ниже кривой 1, область классического рассмотрения для КМП значительно расширяется. Для уточнения этого вывода рассмотрим следующий пример. В [11] для системы медь (Ъ1 = 29)-углерод (Ъ2 = 6) было найдено, что параметр 5 = 2. При энергии ионов Си+ = 100 кэВ величина ZlZ2q2/йv0 = 700. Точка с координатами (2; 700) отмечена на рисунке черным квадратом. Эта точка расположена гораздо выше кривой 1. На первый взгляд может показаться, что для расчета можно использовать МП. Однако это неверно по следующим причинам. С одной стороны, КМП устраняет несоответствие между величинами угла отклонения а и переданной энергии Т, полученными с помощью МП-теории рассеяния и законов сохранения энергии и импульсов [11]. С другой стороны, для системы водород-водород (Ъ1 = Ъ2 = 1) при этих же параметрах 5 и Е величина ZlZ2q2/йv0 равна 0.5 (белый квадрат на рисунке). Положение точки указывает, что использовать МП для расчетов угла отклонения нельзя, а КМП можно.
Во-вторых, для каждого фиксированного значения параметра и (кроме и = вся плоскость рисунка разбивается на две области: "запрещенную" (внутреннюю) часть, заключенную между кривой и осями координат), и "разрешенную" (внешнюю) часть зоны. В "запрещенной" зоне условие (14) не выполняется, и необходимо использовать квантовую теорию. Для "запрещенной" зоны может возникнуть ситуация, когда нельзя использовать бор-новское приближение. В этом случае необходимо применять более общие квантовомеханические методы [4]. В "разрешенной" зоне условие (14) выполняется, и поэтому можно использовать КМП.
В-третьих, для "разрешенной" зоны при Z1Z2q2/йv0 <§ 1 возможная область расчетов для КМП может перекрывать область применимости квантовой теории для приближения Борна. Это не означает, что в таком случае нужно использо-
вать классический подход, но, задав с помощью неравенства (1) уровень применимости для квантового подхода, можно утверждать, что КМП позволяет проводить расчеты вплоть до области применимости приближения Борна. Стремление величины Z1Z2q1lhv0 —► 0 означает, что функция а(р) имеет в этих точках максимальные значения (примером служит кривая 2 на рис. 2 в [7]).
В-четвертых, для любого фиксированного значения 5 область изменений параметра u простирается от нуля до предельного значения, определяемого этим значением 5 (неравенство (15)). Это отражает физически более понятные ограничения, полученные в [7, 11]: чем больше р (соот-ветсвенно
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.