МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 1 • 2010
УДК 532.592
© 2010 г. В. А. КАЛИНИЧЕНКО, С. Я. СЕКЕРЖ-ЗЕНЬКОВИЧ О СРЫВЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ ЖИДКОСТИ
В условиях резонанса Фарадея исследован срыв колебаний свободной поверхности однородной и границы раздела двухслойной жидкостей в прямоугольном сосуде. В эксперименте для нескольких мод поверхностных и внутренних волн измерены частоты срыва, причем зафиксировано, что при подходе к ним наблюдается интенсивное разрушение волн. Теоретическое моделирование основано, как и в теории параметрических колебаний механических систем с одной степенью свободы, на предположении об определяющей роли диссипативных факторов. При этом был введен и оценен по экспериментальным резонансным кривым эквивалентный коэффициент затухания разрушающихся волн Фарадея. Справедливость принятого подхода продемонстрирована на механической системе с одной степенью свободы — физическом маятнике с вертикально колеблющейся точкой подвеса.
Ключевые слова: волны Фарадея, физический маятник, параметрический резонанс, срыв параметрических колебаний, эквивалентный коэффициент затухания.
Установлено [1—3], что в условиях резонанса Фарадея при уменьшении частоты возбуждения О в случае глубокой жидкости или увеличении О в случае жидкости относительно малой глубины высота волны Н непрерывно возрастает до некоторого максимального значения, а затем скачком падает до нуля. Если резонансная зависимость Н = Н(О) рассматривалась во многих экспериментальных и теоретических исследованиях (см. обзор [4]), то вопрос о срыве колебаний в литературе не поднимался.
Теория срыва параметрических колебаний простейшей механической системы — маятника [5] — основана на предположении об определяющей роли диссипативных факторов. Цель настоящей работы — обсуждение возможности распространить такой подход на описание срыва колебаний жидкости, т.е. системы с бесконечным числом степеней свободы. При этом в теоретической модели диссипативные факторы учитываются по аналогии с [6] путем введения вязкого затухания. Поскольку адекватность теоретического описания эксперименту в литературе не обсуждалась даже и для простейшей механической системы, то был выполнен ряд экспериментов и расчетов по срыву колебаний физического маятника, результаты которых приводятся в настоящей работе.
1. Постановка эксперимента. Для генерации волн Фарадея на свободной поверхности жидкости использовалась установка, описанная в [2]. Исследовались волновые моды номеров п = 2, 3 в прямоугольном сосуде (50 х 4 х 40 см) на свободной поверхности воды в условиях основного резонанса Фарадея, когда частота возбуждаемых волн в 2 раза меньше частоты ^ колебаний сосуда. Глубина к жидкости варьировалась от 7.5 до 15 см, а амплитуда колебаний сосуда оставалась неизменной 5 = 0.25 см. В случае внутренних волн Фарадея исследовались моды номеров п = 2—5 на границе раздела керосин-вода — плотности р12 равны 0.79 и 1 г/см3, глубины слоев к12 = 15 см, 5 = 1.9 см.
Для регистрации волновых профилей использовалась цифровая видеосъемка (24— 30 к/с). Точность измерения высоты волновых профилей составляла 0.1 см, причем среднее значение Н в каждом режиме рассчитывалось по 8—10 измеренным в моменты
максимального развития волны последовательным значениям разности между высотой ее гребня и впадины.
В экспериментах с маятником однородный стальной цилиндр диаметром 1.5 см и длиной 50.2 см жестко крепился к горизонтальной оси обесточенного электродвигателя, подшипники которого обеспечивали колебания физического маятника в вертикальной плоскости; добротность системы составляла величину около 250. Точность измерения угла отклонения маятника составляла 0.5о. Как и в волнах Фарадея исследовался основной параметрический резонанс. Измеренная собственная частота маятника ю = 5.58 ± 0.12 с-1, приведенная длина I = 35.1 см.
Коэффициент затухания Ь для волн Фарадея определялся следующим образом. В колеблющемся на одной из резонансных частот О сосуде возбуждалась соответствующая волновая мода. Затем сосуд останавливался и проводилась видеосъемка затухания волн. Величина Ь оценивалась как
Ь = 11п-Нт-
1 Нт+1
где Т = 2п/ю — период волны, ю — собственная частота волны, Нт и Нт + 1 — значения высоты волны, взятые через период колебаний.
Аналогично оценивался коэффициент затухания Ь колебаний маятника в диапазоне начальных угловых смещений ф0 ~ 15—60°. В экспериментах коэффициент затухания колебаний маятника изменялся путем крепления к его нижней части небольших пластин, увеличивающих сопротивление воздуха, и принимал значения Ь = 0.019, 0.032 и 0.096 с-1.
2. Результаты и обсуждение. Использовалась теоретическая модель [6], в которой асимптотическое решение нелинейной задачи о поверхностных волнах Фарадея было построено в переменных Лагранжа методом Крылова-Боголюбова. Предполагалось, что сила трения, действующая между частицами жидкости, пропорциональна их скорости с коэффициентом Ь. Из этого решения следует, что резонансные зависимости высоты стационарной волны от частоты параметрического воздействия определяются соотношением
к2® в Н±2 = 4
в = — Ш 4кк(2гЪкк + 3Ш4кй + 12Ш2кй - 9) (2.1)
64
2
® = gкihкh, к = пп/Ь
Здесь Ь — длина сосуда; g — ускорение силы тяжести; Н+ отвечает реализуемой в эксперименте устойчивой, а Н_ — неустойчивой ветвям резонансной зависимости.
В безразмерном виде резонансные зависимости схематично изображены на фиг. 1, а. При медленном уменьшении О до значения ОА высота волны равна нулю. При дальнейшем снижении О от ОА до ОВ высота показана кривой 1. В точке В происходит срыв колебаний, и при дальнейшем уменьшении О высота волны Н = 0. При последующем увеличении О от до Ов высота волны равна нулю, и при О > Ов она определяется участком ЕА резонансной кривой 1. Таким образом, реализуемой в эксперименте зависимости Н+(О) присущ гистерезис (участок АЕВСБЕЛ на фиг. 1, а, а частота срыва колебаний
Пв = Щ (2.2)
5 Механика жидкости и газа, № 1
И/Х
Фиг. 1. Схематичное изображение двух ветвей резонансной зависимости (а) и экспериментальные и рассчитанные зависимости Н(О) (б): 1 — устойчивая Н(О) = Н+ и 2 — неустойчивая Н(О) = Н_ ветви; 3, 4 — экспериментальные точки для (п = 2, 3, к = 15 см, 5 = 0.25 см)
определяется пересечением устойчивой Н = И+(0) и неустойчивой Н = И_(0) ветвей резонансной зависимости. При отсутствии затухания (Ь = 0) эти ветви зависимости становятся эквидистантными, и точка их пересечения отсутствует.
Экспериментальные резонансные зависимости для второй и третьей волновых мод приведены на фиг. 1, б. Направленные вертикально вниз стрелки определяют соответствующие экспериментальные значения частоты срыва колебаний 0.В = 18.8 и 23.1 с-1.
Исследование процесса затухания регулярных поверхностных волн высотой 512 см позволило оценить коэффициенты затухания для второй и третьей волновых мод (п = 2, 3) Ь = 0.066, 0.071 с-1. Они используются для построения резонансных зависимостей и оценки частоты срыва 0.В.
Пересечения кривых 1, 2 на фиг. 1, б дают 0.В = 4.4 и 3.1 с-1 для второй и третьей волновых мод. Получены явно заниженные по сравнению с экспериментом значения. Отметим, что анализ резонансных зависимостей указанных волновых мод на поверхности жидкости глубиной 10 и 7.5 см приводит к аналогичным результатам. С другой стороны, модель достаточно точно описывает зависимость Н(О) (фиг. 1, б).
1
2 6
у Ч__|
7
4
Фиг. 2. Разрушающиеся волны Фарадея: последовательность восьми профилей волн максимального развития для к = 15 см, 5 = 0.25 см, п = 3, О = 23.6 с-1
В окрестности частот срыва наблюдаемые волны Фарадея можно классифицировать как разрушающиеся волны, для которых характерны струйные выбросы и каплеобразо-вание [7]. На фиг. 2 представлена последовательность восьми профилей волны максимального развития для третьей моды, зарегистрированных на частоте О = 23.6 с-1.
С физической точки зрения процесс разрушения волн в виде струйных выбросов можно рассматривать как дополнительный механизм диссипации волновой энергии и к потерям энергии на вязкую диссипацию необходимо добавлять потери на разрушение. По результатам [8] мощность, рассеиваемая при разрушении волн, вдвое превосходит вязкую диссипацию. Согласно [9] для жидкости с кинематической вязкостью в 300 раз больше вязкости воды преобладает вязкая диссипация. Увеличение диссипации вследствие каплеобразования при параметрическом возбуждении капиллярных волн на поверхности слоя воды отмечено также в [10].
Учитывая вышесказанное, можно предположить, что разрушение волн Фарадея приводит к резкому увеличению диссипации волновой энергии. По аналогии с тем, как это делается при описании сложных диссипативных систем с конечным числом степеней свободы, например, [11], здесь вместо измеренных введены эквивалентные коэффициенты затухания. Для каждой волновой моды этот коэффициент выбирался таким образом, чтобы рассчитанная частота срыва колебаний совпадала с измеренной.
Соответствующий эквивалентный коэффициент затухания Ь*, рассчитанный по формуле (2.2), для данных фиг. 1, б принимает значения 0.283, 0.540 с-1 для п = 2, 3.
Построенные с использованием Ь* резонансные зависимости для второй и третьей волновых мод приведены на фиг. 3. Введенный эквивалентный коэффициент затухания в 4 и 7 раз превышает определенные по обычной методике коэффициенты. На фиг. 4 представлены резонансные зависимости для к = 10 и 7.5 см с соответствующими значениями эквивалентного коэффициента затухания.
Фиг. 3. Экспериментальные и рассчитанные резонансные зависимости: 1 — устойчивая Н(О) = Н+ и 2 — неустойчивая Н(О) = Н_ ветви; 3, 4 — экспериментальные точки для (п = 2, 3, Н = 15 см, 5 = 0.25 см); в (2.1) Ь* = 0.283, 0.54 с-1
В случае внутренних волн Фарадея на границе раздела двух жидкостей резонансные зависимости [12] с учетом диссипативных эффектов имеют вид
Н ±Р = 4
ю-0±,|[ 1 - ь2
(2.3)
2 2 2 р = К Ю Р2 + Р1
8 (Р2 + Р1)2
2 Р2 ■
Ю = gКs-J^-
Р1
Р2 + Р1
Экспериментальные резонансные зависимости для волновых мод п = 2-5 приведены на фиг. 5. Как и в случае поверхностных волн, по частоте срыва выполнены оценки эквивалентного
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.