АКУСТИЧЕСКИМ ЖУРНАЛ, 2007, том 53, № 6, с. 827-832
АКУСТИКА ОКЕАНА, ГИДРОАКУСТИКА
УДК 534.22
О СТАТИСТИКЕ КАУСТИК В ПОДВОДНОМ ЗВУКОВОМ КАНАЛЕ
© 2007 г. Е. 3. Грибова
Нижегородский государственный университет им. Н И. Лобачевского 603950 Нижний Новгород, просп. Гагарина, 23 E-mail: gribova@rf.unn.ru Поступила в редакцию 24.10.06 г.
Численно-аналитическим методом фазовых экранов анализируется статистика плотности каустик в подводном звуковом канале с крупномасштабными, случайными неоднородностями. Рассматриваются различные случаи направления распространения волны относительно оси канала, а также исследуется влияние радиуса корреляции неоднородностей.
PACS: 43.28.Lv, 07.05.Tp
При исследовании свойств океана с помощью акустических волн и при решении прикладных задач (подводная связь, дистанционное зондирование, поиск косяков рыб и т.д.) приходится учитывать существенную неоднородность океанической среды [1, 2]. Акустические неоднородности океана условно разделяются на регулярные, соответствующие некоторым усредненным характеристикам среды, и случайные, которые можно рассматривать как флуктуации вокруг средних (регулярных) значений.
Случайные неоднородности порождают флуктуации распространяющихся в океане волн с образованием каустик, и для применения акустических сигналов важна связь изменений сигнала с характеристиками неоднородностей. Существенную для анализа распространения волн в случайно-неоднородной среде информацию дает, например, среднее число каустик. Так, в [3] показано, что на больших расстояниях от источника акустическое поле водных лучей сосредоточено главным образом в каустиках, в которых локализуется большая часть излученной энергии. Целью данной работы является анализ средней плотности каустик в поперечном сечении случайно-неоднородной среды при различных направлениях распространения волны относительно оси подводного звукового канала (ПЗК), а также при различных радиусах корреляции неоднородностей.
Будем считать случайные неоднородности среды крупномасштабными и воспользуемся лучевым представлением (приближением геометрической оптики), которому часто отдается предпочтение при описании акустического поля (см., например, [3] и приведенную там библиографию, а также [4]). Исследуем статистику каустик в наиболее простом случае двумерной задачи ^ - координата вдоль первоначального направления распространения волны, единственная поперечная
координата - х). Двумерная модель позволит избежать громоздких выкладок, связанных с трехмерностью реальной среды. Известно [5], что каустике соответствует бесконечная кривизна волнового фронта. В то же время, эволюция двух главных кривизн в трехмерной случайной среде происходит с существенно разными скоростями по разным поперечным координатам [5-7], поэтому они в общем случае никогда не совпадают. Это означает, что фокусировка лучей имеет преимущественно одномерный характер, и двумерная модель позволяет выявить не только качественные, но и количественные особенности статистики каустик.
Систему координат (г, х) будем считать фиксированной (эйлеровой), а также введем движущуюся вместе с лучом (лагранжеву) поперечную координату а, в качестве которой возьмем точку оси х, из которой вышел луч при г = 0. Тогда Х(г, а) -уравнение траектории луча, выходящего из точки с эйлеровой координатой (г = 0, х = а). Статистику каустик удобно анализировать с помощью якобиана преобразования эйлеровых координат луча в лагранжевы. Якобиан преобразования эйлеровых координат в лагранжевы при этом равен
Как известно [8], каустике соответствует переход якобиана через ноль, поэтому среднее число каустик, которые образуются во всех лучевых трубках на единичном отрезке поперечной оси x, равно отношению числа корней уравнения
J(z = const, x) = 0 (1)
на достаточно длинном отрезке x е [0, L] к длине этого отрезка.
Пусть m(z) - интересующее нас среднее число каустик, которые образуются во всех лучевых
трубках на единичном отрезке поперечной оси х. В [9] получено выражение
т
(г) = |—а<|Р|8№ а)]5[х -а)]>,
где
. (В 2 . С .Лд27 , „ . д2w + (22р +27 )^ + Вр^
(2)
—X т, —У . „ "Г = У, "Т = а( X),
—г —г
(3)
Дифференцируя (3) по а, с учетом обозначений
Та = и да = 2, X)
получаем систему уравнений для якобиана 3 и кривизны волнового фронта и:
р = д 3 ( г, а ) д а
Отсюда следует, что для нахождения т(г) необходимо знать совместную плотность вероятностей Щ(х, у, р; г). В [9] для простейшего случая, когда регулярная часть показателя преломления п = 1, а флуктуационная | П | <§ 1, найдено уравнение для Щ(х,],р; г):
д7 , д7 , д7 В .2д27 ,
э7 + и Э7 + * ¥ = В уд7 +
= и, = в(2, X)3.
аг аг
(4)
Для того чтобы лучше проследить влияние волноводной рефракции на статистику каустик, рассмотрим вначале случай п = 1, что означает отсутствие ПЗК. (Заметим, что такая модель среды может оказаться пригодной южнее 55° ю.ш., т.к. там из-за быстрого уменьшения температуры и солености в направлении, перпендикулярном зоне антарктической конвергенции, звуковой канал перестает существовать [1]). Тогда в(г, х) - случайная функция. Будем считать случайные неоднородности среды гауссовыми с корреляционной функцией углов прихода луча
Во(5) = < V(х) V(х + 5)> =
с^хр (-52/ —2),
Врр(х) = 2 |<р(г, х)р(г + <, х)>—т,
где усреднение ведется по ансамблю реализаций случайного поля в(г, х), равного
а2
в(г, х) = —21п(п + П), —х
В = -В вр( 0), С = (0).
К сожалению, решить уравнение (2) в общем случае не удается ни аналитически, ни, из-за высокой размерности, численно. Поэтому здесь найдем среднее число каустик в единице поперечного сечения случайно-неоднородной среды численно-аналитическим методом фазовых экранов. При этом рассмотрим как упомянутый случай п = 1, так и распространение волн в ПЗК в присутствии случайных неоднородностей среды. Для этого в первую очередь получим уравнения для якобиана 3. Это несложно сделать, используя лучевые уравнения, которые в лагранжевом представлении имеют вид [8]
где — - характерный масштаб неоднородностей
2
среды, с0 - дисперсия поля V.
Для численного моделирования в первую очередь необходимо перейти к безразмерным координатам. Характерными масштабами задачи являются радиус корреляции неоднородностей — и расстояние г0 = —/с0, на котором происходит фокусировка лучей за экраном. Это позволяет ввести безразмерную лагранжеву координату у = а/—, безразмерное продольное расстояние X = г/г0 и безразмерную кривизну волнового фронта и = г0и. В результате из (4) получим
—- = и,
—и ,
(5)
где У(г, а) - угол прихода луча (проекция на ось х единичного вектора касательной к траектории луча), а функция а(г, X) равна
а( г, X) = —\п (п + п).
Здесь случайная функция у(0 связана с в(г) равенством
у( X) = г2 ) = )
и имеет корреляционную функцию <У( 0т( X + т)> = 28(т).
Рассмотрим слой случайной статистически однородной среды, на который падает плоская волна. Представим среду системой равноотстоящих случайных фазовых экранов с известными статистическими свойствами, которые моделируются численно. Заметим, что из сравнения с результатами экспериментальных исследований [10, 11] и с теоретическим расчетом [11, 12] известна большая точность результатов, полученных с помощью метода фазовых экранов (МФЭ). Степень применимости этого метода зависит только от
0
точности описания рассеивающей среды и от возможностей вычислительной техники.
В данном случае идея МФЭ состоит в том, что уравнения (5) в любом сечении за экраном решаются точно, но при этом результат зависит от реализации некоторой случайной функции, учитывающей свойства экрана. Поэтому можно численно найти функцию J(t, y) и среднее число каустик m(t), которые образуются во всех лучевых трубках на единичном отрезке поперечной оси, как отношение числа корней уравнения (1) при t = const на достаточно длинном отрезке y е е [0, L/d] к длине этого отрезка.
Для решения уравнений (5) случайную среду разобьем на ряд тонких слоев, перпендикулярных направлению распространения. Неоднородности каждого слоя заменим фазовым экраном. В гео-метрооптическом приближении на каждом экране угол распространения луча меняется случайным образом, а между соседними экранами лучи распространяются прямолинейно. Это означает, что Y(t, X) аппроксимируется суммой
Y(t, X) = £б( t - /Аt)qi(X),
(6)
/ = i
J( 0, y) = 1, U( 0, y) = 0.
(7)
Jo (y) = 1, Ji (y) = Ji -i (y)[ i + q/( x )А t ] +
/-i
(8)
+
Аt£q(X)Jt-i(y), / > 1.
Итерационный процесс (8) позволяет легко находить нужные характеристики волн за каждым последующим экраном.
Для численной реализации алгоритма (8) удобнее переопределять лагранжеву координату а так, что на 1-м экране а(1) = Х1. Связь шага разбиения на соседних экранах выражается при этом равенством
Да( !) = Да( 1 -1)
Для моделирования свойств экрана необходимо построить статистически однородную случайную функцию я (кДу), где к - целое число (порядковый номер узла). Пусть на интервале корреляции помещается р узлов сетки разбиения экрана, тогда в качестве функции я1 (кДу) будем рассматривать величину
-к-1
q/
(к) _
Oq £ Г b0]
1/2
i = к
где Я1 (X) - случайная функция, учитывающая свойства 1-го экрана, Д^ - расстояние между экранами, Ь - общее число экранов.
Заметим, что поскольку параметры каждого экрана (функции я1) произвольны и могут быть различны, то с помощью МФЭ можно изучить поведение поля за слоем с произвольным распределением параметров неоднородностей по толщине [13]. Для простоты ограничимся случаем одинаковых статистических свойств всех экранов.
Подставляя (6) в (5), с учетом свойств дельта-функции получим точное решение, связывающее
значения у) и и (¿, у) на двух соседних экранах:
Му) = 3-1(у)[ 1 + Я (Х)Д (] + и -1 (у )Д^
и (у) = и-1 (у) + Я! (X) -1(у), ! > 1.
В случае, когда на слой среды падает плоская волна, начальные условия имеют вид
где г задаются численно выборкой из последовательности псевдослучайных независимых чисел
7 (0
с гауссовым распределением, ЬЯ характеризует дискретные значения коэффициента корреляции поля я, и при нашем выборе функции Б0^) имеет вид
Ь(Л =
9
1 -
2 (i - к)
2
exp
(i-к)
2
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.