Естественные науки
Физико-математические науки
Математика
Вещественный,, комплексный., и. функциональный, анализ.
Султыгов М.Дж., кандидат физико-математических наук, доцент, профессор Ингушского государственного университета
О СТРУКТУРНЫХ ФОРМУЛАХ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ
В ПРОСТРАНСТВЕ
Приводятся структурные формулы в виде интегральных представлений для новых классов голоморфных функций многих комплексных переменных.
Ключевые слова: классы голоморфных функций, порядок, тип, класс функций Мокану, класс функций Базилевича.
STRUCTURAL FORMULAS FOR SOME CLASSES OF HOLOMORPHIC FUNCTIONS
IN THE SPACED"
Given the structural formula in the form of integral representations for new classes of holomorphic functions of several complex variables.
Keywords: classes of holomorphic functions, order, phylum, class of Mocanu functions, class functions Bazilevich.
Одним из основных задач геометрической теории функций многих комплексных переменных является построение структурной формулы, позволяющей в интегральной или иной форме представлять любой элемент рассматриваемого класса. Очень часто структурные формулы задаются операторами, преобразующими один класс функций в другой. Это дает возможность устанавливать изоморфизм соответствующих классов и включение некоторых из них. Приведем некоторые примеры новых классов голоморфных функций многих комплексных переменных, для которых построены интегральные представления.
Введем операторы дифференцирования [1]
det n df det
R0, Rr : H (D) ^ H (D), у e R+, R0 f = £ ^ , Ryf = Y f + Ro f.
i=i dzi
Обратным к оператору Ry f является оператор
R^f (z ) = j eY-1f (®i,e 2,...,®n )ds.
0
Оператор Ra при a > 0 будем называть оператором дробного дифференцирования порядка a , а при a < 0 - оператором дробного интегрирования порядка (-a).
Определение 1. [2]Классом Шура SD называется множество всех голоморфных в полной кратнокруговой области D функций f(z) таких, что
\/(г)\ = \/(г„г2,..., гп)| < 1, 7 е Б .
Определение 2. Класс Каратеодори СБ состоит из всех голоморфных в полной ограниченной кратнокруговой области Б функций /(г), для которых Яе/(г1,...,гп) > 0. Выделим подклассы (0) и СБ (1) классов и СБ: Б Б (0) = // (г) е Б Б : / (0) = 0}е Б б, Св (1) = {/ (г) е Св : /(0) = 1}е Св .
Отметим связь функций классов и СБ. Если /(г) е , то
¥(г) = 1±/М е С„ 1 ± / ( ^) "
¥ (г) +1
и, обратно, если / (г) е СБ , то /(г) = ——— е .
¥ (г) ±1
Определение 3.Назовем /(г) е Н(Б) функцией класса QD , если она в Б е Сп имеет разложение
ад
/ (г) = 1 + ^акгк (1)
\к\=1
и ¥(гк) = гк/(/1 гк,...,гк,...,/пгк), как функция переменного гк , однолистна в сечении Б комплексной прямой
Р [к]=|гк = : /т е С\ /0},т = 1,...,к ± 1,к +1,...,п|;
т
при /т = 0 функция ¥ (гк) = гк/(0,..., ,...,0) однолистна в сечении К = Б п/ = 0: т = 1,2,..., к ± 1, к +1,..., п}.
Определение 4. Классом МБ называется множество всех голоморфных в Б е Сп функций (1) таких, что ¥(гк) = гк/(/1 гк,...,,...,/пгк) как функция переменного гк звездно однолистна в сечении Б каждой комплексной прямой р[к]. При /т = 0 функция ¥(гк) = гк/(0,..., гк,...,0) звездно однолистна в сечении /т .
Принадлежность голоморфной в Б е Сп функции /(г) к классу МБ описывает условие
Ке> 0 / ( ^ )
Определение 5.[3]. Классом МБ (А, В); ± 1 < В < А < 1 назовем множество всех голо-
ад
морфных в области Б е Сп функций /(г1,..., гп) представимых рядом /(г) = 1 + ^акгк и
\к\=1
удовлетворяющих условию:
Ъ™ = 1 + А^(г), в(г) е Бб(О). (2)
/ (г) 1 + В0( г) °
Теорема 1. Для того чтобы /(г) е Н(б е Сп) принадлежала классу МБ (А,В) необходимо и достаточно, чтобы она имела представление
/(г) = ехр(( ± В))0-1) {[ г)] где *(*) е Бб (0). (3)
Определение 6. [4]. Обозначим через МО
С Ь2 - а2 + а 1 - а ^
Ь ' Ь
а + Ь > 1, Ь < а < Ь +1, класс
функций /(г) представимых рядом /(г) = 1 + ^акгк и удовлетворяющих условию:
|к|=1
( г )
I ( г)
- а
< Ь
(4)
Из определения 6 класса функций М1
СЬ2 - а2 + а 1 - а^
Ь
Ь
а + Ь > 1 Ь < а < Ь +1 следует,
что данный класс функций является звездным порядка а - Ь. Сформулируем критерий принадлежности голоморфной функции к классу МО
С Ь2 - а2 + а 1 - а ^
Ь
Ь
Теорема 2. Функция /(г) = 1 + ^акгк е М
СЬ2 - а2 + а 1 - а
\к\=1
Ь
тогда и только тогда, когда она допускает представление
ад
I (г) = ехр сЯ0-1)<
(Ь + (1 - а)(г))
где с = Ь2 -(а-1)2 и И(г) е 80(о).
Доказательство. Пусть I(г) е МО Тогда модули функций
С Ь2 -а2 + а 1 - а ^
V Ь Ь J
8 (г) =
Я,/(г) а = Я,/(г) - а
и
Ь Ь
Я/ ( г )
Ь
К г) =
8 (г) - 8 (0)
1 - 8 (г) 8 (0)
I ( г)
Ь -
С Я/ ( г ) I ( г )
- а 1(1 - а)
в области О не больше единицы. Из (7) и того, что И(г) е (о) получаем
Я! ( г) I ( г)
Ь + (ь 2 - а + а)к(г) Ь + (1 - а)( г)
(5)
(6)
(7)
(8)
Ь
Ь
Полагая с = Ь2 -(а -1)2 из (8) будем иметь
ЯоИ) 9
I ( г) |Ь + (1 - а)к{ г )]
применяя оператор Я(0 1) к равенству (9), получим (6). Обратно, пусть I(г) представима в виде (6). Тогда
ЯlI ( г )
I ( г )
1 -а
Ь + (ь 2 - а2 + а)в(г) Ь + (1 - а)(г)
Я {(г) + Ь(2)
где ад е (() и -II- . = Ь1 + Ь(1 _ а Нг).
+ Ь
по модулю не больше единицы. Следовательно, выполняется условие (4), что и доказывает утверждение данной теоремы.
Определение 7. Классом М"О (а, в),0 < а < Г,0 < в < 1 назовем множество всех голоморф-
ад
ных в О е С" функций I (г) вида I (г) = 1 + ^ акгк таких, что
|к|=1
Г(гк) = гkI(/1 гк,...,гк,..., 1пгк), как функция переменного гк звездно однолистна порядка а и типа в в ОIР1 [к], а при /т = 0 функция Г(гк) = гkI(0,...,гк,...,0) звездно однолистна порядка а и типа в в Ьт и, следовательно, I(г) удовлетворяет условию:
Я01п I ( г )
I ( г)
(2в-1) ЯI (г) +1 - 2ва
< 1
(10)
Теорема 3. [5]. Функция I(г) е Н(О е С") принадлежит классу МО (а, в) тогда и только тогда, когда существует функция Г (г) е 8О (0) такая, что
I ( г ) = ехр^2в(а-1) Я,
(-1)
Г ( г)
1 + (2 в-1) Г (г)
(11)
Определение 8. [6,7]. Обозначим через МЫО (а, в), ае Я+, 0 < в < 1 пространство всех голоморфных функций I(г) е Н(О), удовлетворяющих условиям:
Д0) = 1 Дг) • Я1Дг) * 0 и функция Г(гк ) = гkI(/lгк, - гк1пгк ) звездна п°рэдка в в ^т
и, значит,
+ (1 - а) Ят^г! > в, I (г) (г) * 0 . [ Я1/(г) /(г) ]
Класс (а, в) является многомерным аналогом известного класса Мокану порядка в.
(12)
Теорема 4. [12]. Пусть ае R+, 0 < в < 1. Функция f (г) е MND (а, в) тогда и только тогда, когда существует функция ¥(г) е MD такая, что
Г1 1 1-в — 1а
/(г) = |-\[(8г)]-еа ёЛ , (13)
где для степенной функции взято главное значение.
Одним из самых широких классов однолистных функций, имеющих интегральное представление, является класс И.Е.Базилевича [8], включающий в себя многочисленные подклассы звездных, спиралеобразных. почти выпуклых и т.п. функций.
Определение 9.Множество функций /(г) е Н(П), D ^ Сп удовлетворяющих условиям: / (0) = 1, / (г) • (г) * 0 и
Кек-ив)^/-, (15)
[ /(г) /(г) ]
где 0 < а < 1 < го, в е R1 назовем классом функций Базилевича Б[) (а, в, а) .
Критерий принадлежности голоморфной функции /(г) к классу БГ> (а, в,а) доказывается в следующей теореме.
Теорема 5.[9]Функция / (г) принадлежит классу БГ) (а, в, а) при 0 <а<а<го, ве R1 тогда и только тогда, когда существует такая функция ¥(г) е MD, что в D
1
(а+'в)
/(г) = |(а + /в)р(®)] еа-1+гвё^ , (16)
где для степенной функции взято главное значение.
Определение 10. [10] Пусть функция / (г) е Н (D) имеет разложение / (г) вида (1) и удовлетворяет условию /(г) • R1 /(г) * 0 . Голоморфную функцию /(г) многих комплексных переменных будем считать функцией класса БГ)(Л, а, в), если Яе К (Л,а, / (г)) >веозЛ, (11)
где аеR+, 0<в< 1, |Л|=П и
К (Л, а, / (г)) = (еЛ - а) + . (12)
/(г) R1/(г)
Путем громоздких доказательств ряда предложений получаем следующую теорему. Теорема 6. Необходимым и достаточным условием принадлежности голоморфной функции / (г) классу БГ) (Л, а, в) является ее интегральное представление
/(г) = |— Ее! [(г)]а| = |а (^ас* ёе\ , (13)
в котором функции ¥ (г) принадлежат Бг> (Л,0, в).
а-а
-Л
Литература
1. Баврин И.И. Операторный метод в комплексном анализе. М.,1991.
2. Баврин И.И. Классы голоморфных функций многих комплексных переменных и экстремальные вопросы для этих классов функций. М.,1976.
3. Султыгов М.Д.Об одном подклассе класса ^з функций двух комплексных переменных // Деп. в ВИНИТИ 24.02.82. № 838 - 82.
4. Султыгов М.Д. Экстремальные вопросы на подмножествах в пространстве Сn. //Научный вестник ИнгГУ, № 1-2, Магас 2007. - С . 11-22.
5. Султыгов М.Д. Обобщение звездообразных функций порядка а и типа /?н а случай двух комплексных переменных // Деп. в ВИНИТИ 24.02.82.№828 - 82.
6. Султыгов М.Д. О функциях Мокану порядка в двух комплексных переменных //Математический анализ и его приложения. - Грозный. - 1984. - С. 86-100.
7. Султыгов М.Д. Экстремальные вопросы в классе функций Мокану нескольких комплексных переменных //Исследования по теории функций и их приложения к уравнениям в частных производных. - Орджоникидзе. - 1986. - 8. - С.66-71.
8. Базилевич И.Е. Обобщение одной интегральной формулы для подкласса однолистных функций //Математический сборник.-1964.-Т.64/103// - №4.С.628-630.
9. Султыгов М.Д. Класс голоморфных функций В АР 1 СО í> Г) и свойства этого класса //Деп. в ВИНИТИ 24.02.82. № 826 - 82.
10. Султыгов М.Д. Класс голоморфных функций L ^(¡Р) ÍC Ь и свойства этого класса // Аналитические функции и их приложения: Межвуз.сб. науч. тр. Орджоникид-зе.1984. - С.71-80.
11. Султыгов М.Д. О точности звездно-выпуклых функций в пространстве Сn, n > 2. //Известия ЧГПИ,№3, Грозный,2013.- С.
12. Султыгов М.Д. Интегральные представления голоморфных функций в пространстве Сn. // Тезисы докладов II международной конференции по функциональным пространствам, дифференциальным операторам. Москва, - 2003 г. - С. 102 - 103.
13. Султыгов М.Д. Классы голоморфных функций многих комплексных переменных, определяемые геометрическими свойствами. // Научный вестник ИнгГУ № 1-2 (13-14), Магас, 2010. - С.30-40.
14. Султыгов М.Д. Классы голоморфных функций многих комплексных переменных // III Международная научно-п
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.