ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 79. Вып. 3, 2015
УДК 532.5.031
© 2015 г. П. Р. Андронов, С. В. Гувернюк
О СТРУЙНОМ ОБТЕКАНИИ ПРОНИЦАЕМОЙ ПЛАСТИНЫ В ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОМ КАНАЛЕ
Построено аналитическое решение задачи о струйном симметричном обтекании идеальной несжимаемой жидкостью проницаемой пластины в плоскопараллельном канале. Граничные условия на пластине соответствуют линейному закону Дарси и условию направляющего действия строения пористости. Учитывается эффект производства распределенной завихренности при протекании сплошной среды сквозь проницаемую границу. Точное решение получено в виде, содержащем интеграл Шварца. Исследована зависимость сопротивления пластины от ее относительного размера и степени пористости. Результат применен для построения теории комбинированной проницаемости. В явном виде получена зависимость коэффициента гидравлических потерь от физических параметров комбинированной проницаемости, содержащей пористые и перфорированные элементы.
Трудность изучения течений около тел, содержащих элементы из различных газопроницаемых материалов (перфорированных или пористых пластин, тканей, сеток и т.п.), заключается в том, что требуется описывать некоторое крупномасштабное основное течение газа, учитывая влияние большого числа мелкомасштабных твердых тел — элементов строения проницаемой стенки. Известен упрощенный подход [1—3], при котором "основное" крупномасштабное течение по обе стороны от проницаемой стенки считается идеальным, а проницаемая стенка вместе с окружающим ее пристеночным слоем локального диссипативного течения заменяется поверхностью разрыва. При этом, хотя физически имеем дело с границами дискретной структуры, в математической модели предполагается наличие некоторой скорости просачивания в каждой точке проницаемой поверхности и граничные значения параметров основного потока связаны между собой специальными условиями совместности на скачке [3]. Различают проницаемость первого рода, которой соответствуют перфорированные пластины и оболочки, причем их местное гидравлическое сопротивление, главным образом, связано с вихревыми потерями при разрушении и последующем перемешивании локальных струек, образующихся при протекании среды сквозь отверстия перфорации [4], и второго рода, когда местное гидравлическое сопротивление определяется внутренним трением при фильтрации среды через пористый слой или мелкоячеистый тканый материал [3, 4].
Наряду с отмеченными выше типами проницаемости первого и второго рода возможен третий тип, который назовем "комбинированной проницаемостью", когда пористая граница второго рода имеет дополнительную перфорацию первого рода. Практическим примером комбинированной проницаемости может служить купол парашюта из воздухопроницаемой ткани, когда он дополнительно имеет распределенную конструктивную перфорацию крупными по отношению к толщине ткани отверстиями или щелями. Для такого типа проницаемости в настоящее время неизвестно обоснованной системы граничных условий.
Очевидно, полезной локальной моделью комбинированной проницаемости является задача о струйном обтекании в плоскопараллельном канале проницаемой пластины с типом проницаемости второго рода, поскольку зазор между кромкой пластины и стенкой канала можно рассматривать как конструктивную проницаемость первого рода. Данные о зависимости суммарного сопротивления пластины от ее относительной ширины и коэффициента проницаемости дают возможность получить закон протекания среды через комбинированную проницаемость. Изложенные обстоятельства явились побудительным мотивом рассмотрения задачи о струйном обтекании проницаемой пластины в канале.
Известно классическое решение задачи о струйном обтекании идеальной жидкостью непроницаемой пластины, расположенной между параллельными непроницаемыми стенками канала [5]. Частный случай — обтекание пластины неограниченным потоком со срывом струй по схеме Кирхгофа. Однако соответствующие классические методы получения точного аналитического решения этих задач не имеют обобщения на случай проницаемой пластины. Трудность заключается в том, что проницаемая граница, в отличие от сплошной, не является линией тока.
Был предложен [6] аналитический способ конструирования установившихся течений в канале с проницаемым экраном, не полностью загромождающим поперечное сечение канала. Однако соответствующее течение [6] с областями ненулевой завихренности не является точным решением задачи обтекания проницаемого экрана из-за неполного удовлетворения всем граничным условиям на поверхности разрыва, хотя в некоторых частных случаях оно удовлетворительно согласуется с результатами физических экспериментов. Данный вопрос обсуждался [3].
Впервые точное аналитическое решение задачи обтекания проницаемой пластины со срывом струй в неограниченном потоке идеальной несжимаемой жидкости было получено В.А. Бучиным [7]. Постановка задачи предполагала тип проницаемости второго рода, что дало возможность обосновать схему с изобарической завихренной струей в донной области за проницаемой пластиной и сформулировать замкнутую краевую задачу для определения безвихревой части течения. Аналогичная краевая задача для отыскания безвихревой составляющей течения рассматривалась ранее [8, 9], однако применялась линеаризация по малому параметру степени проницаемости экрана. Предложенный В.А. Бучиным [7] способ построения точного решения без линеаризации можно назвать "методом производной аналитической функции", он позволяет находить точное решение при любом коэффициенте проницаемости пластины. Результат получается в параметрическом виде, содержащем интеграл Шварца. Этот метод применялся [10, 11] при решении сложных задач о взаимодействии плоской струи идеальной жидкости с неограниченным проницаемым экраном. В некоторых более простых случаях идея введения изобарической завихренной струи с прямолинейными линиями тока в схему взаимодействия жидкости с проницаемыми границами позволяет строить полное решение задачи в элементарных функциях [12].
1. Постановка задачи. Рассматривается плоское установившееся обтекание идеальной несжимаемой жидкостью проницаемой пластины, расположенной симметрично поперек бесконечного плоскопараллельного канала, фиг. 1. Течение жидкости постоянной плотности р описывается системой уравнений неразрывности и Эйлера. Проницаемая пластина моделируется поверхностью гидродинамического разрыва с граничными условиями, выражающими закон сохранения массы, линейный закон Дарси и условие полной потери касательного импульса фильтрующейся среды [3]:
ы+ = и_, р+ - р_ = -кы_, и+ = 0 (1.1)
Здесь и и и — нормальная и касательная составляющие вектора скорости V на разрыве, р — давление, индексы минус и плюс выделяют наветренную и подветренную стороны
И
Б
разрыва, к — обобщенный физический параметр, пропорциональный динамическому коэффициенту вязкости среды ц и обратно пропорциональный некоторому эффективному линейному размеру Ь строения пористости пластины: к = ц/Ь (связь Ь с применяемой на практике расходной характеристикой воздухопроницаемости реальных тканей и иных пористых материалов рассмотрена ниже в разд. 4).
Скорость невозмущенного потока в канале на бесконечности перед пластиной постоянна и равна Уау Килевая область течения за пластиной простирается в канале до бесконечности, давлениер0 в ней постоянное (без нарушения общности примемр0 = 0), а структура поля скорости представляет собой завихренную струю просочившейся жидкости с прямолинейными линиями тока, распространяющуюся по зоне застоя. От основного потока в канале килевая область отделена тангенциальными разрывами ВС и В1С1, фиг. 1. Вне килевой области все линии тока приходят из бесконечности, не пересекая проницаемую пластину, поэтому течение там безвихревое и существует первый интеграл уравнений движения (интеграл Бернулли)
рУ + 2р = р V (1.2)
где У0 — постоянное значение скорости потока на струях ВС и В1С1.
Безразмерными определяющими параметрами задачи являются относительная ширина пластины h = H/L и локальное число Рейнольдса для фильтрующейся жидкости
Я = р к» / к = р ЬУ» / ц (1.3)
Введем декартову систему координат x, ус началом отсчета в центре пластины (в точке A в верхней части фиг. 1), ось x направим в ту же сторону, куда направлено течение жидкости. Учитывая симметрию относительно оси x, далее будем рассматривать течение лишь в верхней части канала 0 < у < L. Граничные условия на прямых у = 0 и у = L для V = {и, и} — условия непротекания и = 0. Из соотношений (1.1) и (1.2) при учете равенства р+ = p0 = 0, получается кинематическое граничное условие для наветренной стороны пластины
х =-0, 0 < у < Н: р(и2 + и2) + 2ки = рУ0 (1.4)
Таким образом, задача о течении жидкости в канале с областями ненулевой завихренности расщепляется: безвихревую часть поля скорости можно строить независимо от обтекания пластины в целом. По результатам решения этой основной задачи и с помощью граничных условий (1.1) определяются два важных для практических приложений параметра
5(Я, к) = ^—У-, сх(Я, к) = -2- \p_dy (1.5)
1 - Н Р ну11
а также сдвиговый профиль скорости u(x, у) = u+(y) в завихренной части килевой области x > 0, 0 < у < Hпозади пластины. Здесь 8 — коэффициент поджатия струи жидкости при свободном истечении в затопленное пространство через щель с проницаемыми кромками, cx — коэффициент аэродинамического сопротивления проницаемой
Н
х
пластины в канале.
Примем в качестве характерных масштабов длины и скорости полуширину канала L и скорость У0 на свободной линии тока и перейдем к безразмерным величинам
х у и и У» к
х* = -, у* = =-, и* = —, и* = —, ъ = —, 6 = —
* V V * у; * У; У/ ру
(в дальнейшем звездочка в обозначении безразмерных переменных опускается). Обозначим: г = х + гу — комплексная координата точки в физической плоскости, У = и — г и — величина комплексно-сопряженной скорости жидкости в точке г. Для отыскания аналитической функции У (г) в области, ограниченной контуром АБСБМИА (левая нижняя часть фиг. 1), при 0 < h < 1, 0 < е < да используются следующие краевые условия:
АВ: и2 + и2 + 2би = 1; ВС: и2 + и2 = 1; DM,
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.