ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА Том 144, № 1 июль, 2005
© 2005 г. Ф. Розенхаус*
О СУЩЕСТВЕННЫХ ЗАКОНАХ СОХРАНЕНИЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С БЕСКОНЕЧНЫМИ СИММЕТРИЯМИ
Рассматриваются дифференциальные уравнения в частных производных для вариационной задачи с бесконечной группой симметрии. Исследуются локальные законы сохранения, связанные с произвольными функциями одной переменной от генераторов группы. Показано, что только симметрии с произвольными функциями зависимых переменных приводят к бесконечному числу законов сохранения. Вычислены локальные законы сохранения для потенциального уравнения Заболоцкой-Хохлова для одной из его бесконечных подгрупп.
Ключевые слова: бесконечные симметрии, законы сохранения.
1. ВВЕДЕНИЕ
Вопрос о взаимоотношении симметрий и законов сохранения имеет давнюю историю, восходящую к знаменитой работе Нётер [1]. Первая теорема Нётер устанавливает соответствие между r-параметрической группой Ли симметрий функционала действия и г локальными законами сохранения. Согласно второй теореме Нётер бесконечные вариационные симметрии (с произвольными функциями всех независимых переменных, см., например, [2]) приводят к соотношениям между уравнениями исходной дифференциальной системы, а не к законам сохранения. Общий случай бесконечных симметрий с произвольными функциями от к < п независимых переменных в Жп был исследован в [2]. В настоящей работе мы рассмотрим лагранжевы дифференциальные уравнения, допускающие бесконечную алгебру симметрий с операторами, зависящими от произвольной функции независимых и зависимых переменных и их производных. Используя развитый в [2] подход, мы вычисляем некоторые локальные сохраняющиеся величины для трехмерного потенциального уравнения Заболоцкой-Хохлова и обсуждаем роль граничных условий. Будет показано, что только произвольные функции зависимых переменных от генераторов группы симметрии могут приводить к бесконечному числу законов сохранения.
*Department of Mathematics and Statistics, California State University, Chico, CA 95929, USA. E-mail: vrosenhaus@csuchico.edu
10Л
2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ НЁТЕР
Под законом сохранения для заданного дифференциального уравнения
ш(х, и, щ,...) — О
(1)
понимается уравнение непрерывности
/1 = 1,...
А* А*
(2)
выполненное для любых решений уравнения (1). Каждый закон сохранения определен с точностью до преобразования эквивалентности Кц —>■ К^ + Р^, Р>р.Рр. - 0. Следующие случаи приводят к тривиальным законам сохранения [3]:
1) БцКц — 0: уравнение непрерывности выполнено во всем пространстве;
2) К^ =0 (/1 = 1,..., п): на решениях уравнения (1) компоненты вектора К^ обращаются в нуль.
Под существенным законом сохранения мы будем понимать такой нетривиальный закон сохранения И^К^ = 0, который приводит к ненулевой сохраняющейся величине
(3)
Пусть
- функционал действия, хг = (х, у,..., £) - независимые переменные и щ = ди(х)/дхг, г — 1,..., п. Уравнения движения имеют вид
Е(Ь) = ш(х,..) = 0,
(4)
где Е - оператор Эйлера-Лагранжа,
(5)
Рассмотрим инфинитезимальное преобразование [4], связанное с оператором
(6)
и с соответствующим каноническим оператором
Ха = а —
г г^у •>
i,j = l,...,n, (7)
где а = г) - £ггч.
Используем тождество Нётер [2]
г=1
где
4 >1 » 7
О)
Вариация функционала 5 задается формулой
<55 = 1[хаь + о^сь))апх. Пусть преобразование Ха есть вариационная (нётеровская) симметрия,
ХаЬ = ИгМг. (10)
Применение тождества Нётер (8) к Ь дает
ХаЬ = аи) + Ог(11агЬ). (И)
Сравнивая два последних равенства, приходим к соотношению
Пг(Мг-ЯыЬ) = аш, (12)
т.е. к уравнению непрерывности на многообразии решений (ш = 0, Б%и> — 0,...)
Ог(М{ - Ro.iL) = 0.
В соответствии с этим уравнением любая вариационная симметрия а в случае конечной группы Ли приводит к соответствующему закону сохранения (первая теорема Нётер [1]). Вторая теорема Нётер [1] имеет дело со случаем бесконечной группы вариационных симметрии, где вектор симметрии а имеет вид
а = ар{х) + 6,£>гр(х) + CijDiDjp(x) -I----, (13)
и р(х) является произвольной функцией всех базисных пространственных переменных. В отличие от первой теоремы Нётер, следствием бесконечной симметрии функционала ш в уравнении (1) является не закон сохранения, а некоторое соотношение между исходными дифференциальными уравнениями [1]:
аъиъ - £>г(Ь^ь) + + ••• = (), (14)
где ... - компоненты вектора симметрии а (13). Общий случай, когда р(х)
есть произвольная функция не всех базисных переменных, был исследован в работе [2]. В настоящей работе нас интересует случай произвольных функций одной переменной.
(9)
(10)
(П) (12)
о,...)
конечной Нётер [1]). онныхсим-
(13)
переменных, нкционала и> -Лу исходны-
(14)
; когда р(х) г работе [2]. временной.
3. НЁТЕРОВСКИЕ И СТРОГИЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
Рассмотрим функции и = и{х), определенные на области £> С П£т+1. Пусть симметрия а дифференциального уравнения с функцией Лагранжа Ь = Ь{хг ,и,щ) имеет вид
а = а^{в)+1П'(в)+с'у"(в) + --- + Н^1){в), в = в(х,и,щ). (15)
Для нётеровского преобразования симметрии Ха имеем
¿5 = ! ■■■! 8Ь(Г+1х = ! ■■■! ХаЬ(Г+1х = ! ■■■! В^йт+1х = 0.
Поэтому должны быть выполнены следующие условия на Мг (нётеровские граничные условия) [2], [5]:
Мг(х,и,...)\^^дп = 0 Уг = 1,..., ш + 1. (16)
Эти условия обычно выполнены в случае "регулярного" асимптотического поведения, и,щ -> 0 при х -» ±ос, или для периодических решений. Мы рассмотрим граничные условия другого типа, связанные с существованием локально сохраняющихся величин. Интегрируя уравнение (12) по пространству переменных х1, х2,..., хт и ограничиваясь многообразием решений, получаем
I •■■I ¿X1 ...¿хт £>4(М4-Ло4£) = I ■■■ I (IX1 ...(1хт ¿^(Д^-М*). (17)
Применяя нётеровское граничное условие (16) и требуя, чтобы левая часть последнего уравнения обращалась в нуль на многообразии решений, получаем "строгие" граничные условия [2], [5]
~ Ка2Цх2^>дО = • • • = 11атЦхт-*дВ = 0. (18)
В случае Ь = Ь(х, и, и^) строгие граничные условия (18) принимают простой вид
= 0 Уг = 1,... ,т. (19)
Для того чтобы система обладала локальными сохраняющимися величинами, должны быть выполнены и нётеровские (16), и строгие (18) граничные условия. В этом случае можно найти соответствующий нётеровский закон сохранения
У • • • У Аг1... <£гт - ЯагЬ) = 0. (20)
Записывал М^ в виде
Мг = А1(в) + В1'(в) + С1"(в) + --- + Н^1\в), 6 = 6(х), (21)
и используя уравнения (21) и (15), получаем
А у... 1<1х1...с1хт [7(0)оо + Уф)** + ' •' + 7(О(0Ы = 0, (22)
где
л 91 п идЬ и идЬ ■ п ;
а0 = А- а—, а\ = В — о——, ..., аг = Я - Л—, г = 0,...,/.
дщ дщ дщ
4. НЕСИНГУЛЯРНОЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ в = в(х)
Введем новые переменные интегрирования, совершив замену (х1,!2,... ,хт) (х1, - - ■, хр~1, в, хр+1,..., хт). В случае несингулярного преобразования ф можно обратить соотношение в = в(х1, х2,..., хт, как
и на основании равенства (22) получить, что
Dt [ ••• f d9 dx1... dxp~l dxp+1... dxm ^ ai7(i)(0) = 0, (23)
3 t=0
где
и J — dip1'Iдв - якобиан преобразования ф. Возьмем интеграл (23) по частям и выберем произвольно функцию 7(0), обращающуюся в нуль на границе вместе со своими производными всех порядков до I — 1:
7(0)1 O^BD = l'(O)\0->BD = T"(O)\0->BD =■■■ = 7(,_1)l 0->BD = 0. (25)
Тогда получим
[ [ dвdx1... dxp-1 dxp+1 ... <*гт 7(6>) = 0. (26)
Поскольку функция 7(0) произвольна, можно на основе известной теоремы анализа [6] прийти к выводу, что
А/---Jdx1... йх"-1 ¿хр+1 ... <&т [й0 - два! + д2ва2 + • • • + (-1 = 0. (27)
Это уравнение дает выражение для сохраняющейся величины, соответствующей бесконечной симметрии а вида (15) при условии, что выполнены граничные условия (16), (19) и (25). Таким образом, бесконечная алгебра симметрий (15) с произвольной функцией независимых переменных в случае несингулярного преобразования приводит в точности к одному закону сохранения (27).
5. ПРОИЗВОЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ ВРЕМЕНИ
Если дв/дхр = 0 для любого р € (1,. • • ,т), то в = Аналогично уравнению (22) получаем
Иг ] ■■■ ] ¿х1...1Ьт [7(«М0 + 7'(0аг(<) + ' ■ • + 7(,)(<М«)] = 0. (28) Поскольку 7(£) - произвольная функция, имеем
¿х1 ...¿хта0(г) = /•••/вЬ;1...«Ь;та1(«) = •••
• • • = J J ёх1... (1хт аг(*) = 0. (29)
Уравнения (29), вообще говоря, определяют систему не законов сохранения, а дополнительных связей. Существуют три возможности.
1. Строгие и нётеровские граничные условия (18), (16) могут быть выполнены для произвольной функции 7(£). Никакие законы сохранения не связанны с такой симметрией.
2. Строгие и нётеровские граничные условия могут быть выполнены для некоторых конкретных функций 7(<). Каждый выбор функции 7(£) приводит к соответствующей сохраняющейся величине (20).
3. Строгие граничные условия не могут быть выполнены ни для каких функций 7(4). В таком случае следствием бесконечной симметрии является тот факт, что решений исходного дифференциального уравнения с граничными условиями (18), (16) не существует.
Применим изложенный выше подход к поиску существенных законов сохранения для потенциального уравнения Заболоцкой-Хохлова [7]
«х* ~ ихихх - иуу - игг = 0. (30)
Функция Лагранжа этого уравнения имеет вид
и-гП+ гЛ и2 и? , ,
Рассмотрим бесконечную подгруппу точечной группы Ли симметрий уравнения (30), связанную с оператором
д_ ' дх
*7 = -7(0«Г +
7'(Ф + 7"(*)2/2 + 221
4
где 7(<) - произвольная функция (свойства симметрии уравнения Заболоцкой-Хохлова изучались в работах [8]). Имеем
2 2 /
хи-у" „,у2 + г2 ,, уиУ гиу"
Мх = уЬ-----И7 —-—, Му = ——-, Мг = ——, (33)
2 1 8 2 ' * 2
и 2'
У Ч" 2 И
а = их, Ь = х, с=—-—, А = С = 0, В — — — .
Нётеровские и строгие граничные условия зависят от функции 7(f).
Случай А. Пусть функция 7(t) произвольна. Нётеровские условия (16) для Ха имеют вил
щ —> 0, хи —► 0, уи —> 0, zu —> 0, и —> 0. (34)
х—>±оо х—>±оо у—>±оо z—>±оо t—>±00
Строгие условия (19) принимают вид
хщ,хи2 —> 0, у2иу —> 0, z2uz —> 0. (35)
х-+±оо j/-*±oo у—v±oo
Никакие локальные законы сохранения не связаны с нётеровским преобразованием Ха (32) для произвольной j{t). Дополнительные связи (29) приводят только к тривиальному решению. Существование бесконечн
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.