ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2010, том 50, № 9, с. 1587-1597
УДК 519.634
О СУЩЕСТВОВАНИИ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЙ
ОБРАТНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ МАТЕРИАЛОВ^
© 2010 г. Д. А. Миронов, Ю. Г. Смирнов
(440026 Пенза, ул. Красная, 40, Пензенский гос. ун-т) e-mail: mmm@pnzgu.ru Поступила в редакцию 02.03.2010 г.
Исследуется задача определения диэлектрической проницаемости образцов материалов произвольной геометрической формы, помещенных в прямоугольный волновод с идеально проводящими стенками. Задача сводится к решению нелинейного объемного сингулярного интегрального уравнения. Доказана теорема о существовании и единственности решений нелинейного объемного сингулярного интегрального уравнения и обратной краевой задачи для определения диэлектрической проницаемости материала. Библ. 12. Фиг. 4.
Ключевые слова: диэлектрическая проницаемость, уравнения Максвелла, обратная краевая задача, объемное сингулярное интегральное уравнение, метод сжимающих отображений, вычислительный алгоритм.
ВВЕДЕНИЕ
Работа посвящена исследованию вопросов существования и единственности решений в задаче определения диэлектрической проницаемости образцов материалов произвольной геометрической формы, помещенных в прямоугольный волновод с идеально проводящими стенками, а также разработке численного метода определения диэлектрической проницаемости.
Определение диэлектрических параметров образцов композитных материалов (в частности, наноматериалов) различной геометрической формы является актуальной задачей при использовании их на практике. Однако эти параметры часто не могут быть измерены экспериментально. Это приводит к необходимости применять методы математического моделирования и решать задачи численно. При этом приходится решать трехмерные векторные задачи в полной электродинамической постановке. Решение таких задач является в настоящее время одной из самых актуальных проблем в электродинамике. Решение этих задач с приемлемой для практики точностью на электродинамическом уровне строгости математическими методами часто требует большого объема вычислений и привлечения вычислительных кластеров (суперкомпьютеров). Особенно остро стоит проблема решения обратных электродинамических задач на сложной системе тел в резонансном диапазоне частот, возникающая при определении параметров нанокомпозитных материалов и наноструктур (см. [1]).
Таким образом, возникает необходимость в разработке новых методов решения указанного круга задач. Одним из перспективных является метод объемных сингулярных интегральных уравнений (см. [2]—[10]). Здесь оператор задачи получается эллиптическим, а интегральное уравнение решается только внутри тела (в области неоднородности). Для решения обратной задачи исходная краевая задача сводится к решению нелинейного объемного сингулярного интегрального уравнения. На этом пути удается доказать теорему о существовании и единственности решений в L2 нелинейного интегрального уравнения, в также теорему о существовании и единственности решений обратной краевой задачи для определения диэлектрической проницаемости материала.
Работа выполнена в рамках ФЦП Минобрнауки РФ "Развитие научного потенциала высшей школы (2009—2010 годы)" (грант 2.1.1/1647 "Разработка методов суперкомпьютерного моделирования и ОКГО-технологий для определения диэлектрической и магнитной проницаемости нанокомпозитных материалов и наноструктур различной геометрической формы") и при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 06-07-89063а).
1587
4*
1. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДИФРАКЦИИ ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА
Рассмотрим следующую задачу дифракции. Пусть в декартовой системе координат имеется волновод Р = {x : 0 < x1 < a, 0 < x2 < b, —да < x3 < да} с идеально проводящей поверхностью дР. В волноводе расположено объемное тело Q (Q с Р — область), характеризующееся постоянной магнитной проницаемостью и положительной 3 х 3-матрицей-функцией (тензором) диэлектрической проницаемости s (x). Компоненты s (x) являются ограниченными функциями в области Q, s е LX(Q). Предположим также, что обратный тензор е-1 (x) существует в области Q, а компоненты его являются ограниченными функциями, е-1 е LM(Q).
Граница dQ области Q кусочно-гладкая (см. [3]). Будем также предполагать, что тело Q не касается стенок волновода, dQ п дР = 0. В Р\Q среда изотропна и однородна с постоянными So(>0), к,(>0).
Требуется определить электромагнитное поле E, H е L2, ioc(P), возбуждаемое в волноводе сторонним полем с временной зависимостью вида e-mt. Источник стороннего поля — электрический
ток j0 е L2, loc(P). В области Р с [3 стандартные дифференциальные операторы grad, div, rot понимаются в смысле обобщенных функций.
Будем искать "слабые" (обобщенные) решения системы уравнений Максвелла (см. [3]—[5]):
rotH = - i©sE + j0,
ль (1.1)
rot E = гюц0Н.
Эти решения должны удовлетворять условиям на бесконечности (см. [4]—[7]): поля E и H при |x3| > C для достаточно большого C > 0 имеют представление (знак "+" соответствует +да, знак "—" соответствует —да)
(
Ej = ^R(p±}eiY"N К През - iYp V2np + YQ p у -i©So(V2Пр) х 63 j
■ (2)1 1 (±)jip hi
p e
(
i®^o(V2Vp) х ез ^2)^з - iyl2) V2^р j
(1.2)
где уР/) = Jk^), Im> 0 или Imyj = 0, kyf > 0 и ^ , П^, x) и , ^p(x1, x) (tf = ю^) -полная система собственных значений и ортонормированных в L2(n) собственных функций двумерного оператора Лапласа —А в прямоугольнике П := {(x1, x2) : 0 < x1 < a, 0 < x2 < b} с условиями Дирихле и Неймана соответственно и V2 = e1d/dx1 + e2d/dx2. Для коэффициентов разложений (1.2) имеют место оценки
= ор), р да, (1.3)
для всех m е N.
С физической точки зрения условия (1.2) означают, что рассеянное поле является суперпозицией нормальных волн, расходящихся от тела. Условия (1.3) обеспечивают экспоненциальную сходимость рядов (1.2), а также возможность их почленного дифференцирования по xj любое число раз.
Для E, H должны выполняться краевые условия на стенках волновода:
ET|sp = 0, Hv|sp = 0. (1.4)
Здесь индексы т и v означают взятие касательных и нормальных к поверхности компонент полей. Почти везде на дP определен вектор нормали. Если выполняются уравнения Максвелла, то второе условие в (1.4) следует из первого и его можно опустить. Но если рассматривать оператор Максвелла, порождаемый левой частью системы (1.1), то надо ставить оба условия. Краевые условия понимаются в смысле теории следов (более подробно см. [3]—[5]).
Пусть также E0 и H0 — решения рассматриваемой краевой задачи в отсутствие неоднородного тела Q, е (x) = s0/, x е Р (/ — единичный тензор):
rotН0 = - i©s0E0 + j0, rotE° = гю^оH° (1.5)
с краевыми условиями
ET0| sp = 0, H°| sp = 0. (1.6)
Эти решения могут быть выражены аналитически через ]0 с помощью введенного ниже тензора
Грина. Решения не обязаны удовлетворять условиям на бесконечности. Например, E0 и № могут быть ТМ- или ТЕ-модой этого волновода.
Имеют место результаты о гладкости решений задач (1.1)—(1.4) и (1.5)—(1.6) при более гладких данных. Сформулируем один из таких результатов (см. [4]—[7]).
Утверждение 1. Пусть ^ е нОс(Р). Тогда E0, H0 е нОс(Р). Пусть, кроме того, д0 е С2, б е
е С1(О). Тогда сужения E |е, е Н1(0) и E |Р\е, H |Р\е е нОс (Р\О). Кроме того, справедливы условия сопряжения на д0:
[ ет ] = 0, [ н ]| ае = о,
где [•] означает разность следов с разных сторон д0.
В предположениях утверждения 1, краевые условия на дР и условия сопряжения на д0 понимаются в смысле равенства следов элементов из Но2(дР) и Н1/2(д0 соответственно (см. [3]—[5]).
Ясно, что при первоначальных общих предположениях о тензоре б такие условия сопряжения не имеют смысла.
2. ТЕНЗОРНАЯ ФУНКЦИЯ ГРИНА ПРЯМОУГОЛЬНОГО ВОЛНОВОДА
" 12 3
Построим диагональный тензор Грина Ge = diag(GE , GE , GE), компоненты которого являются фундаментальными решениями уравнения Гельмгольца в P с коэффициентом k0 = ю2б0ц0 и удовлетворяют краевым условиям I или II рода на дР, обеспечивающим обращение в нуль тангенциальных составляющих напряженности электрического поля на стенках волновода. Его компоненты имеют вид (см. [4]—[7])
т " " -ушль- Уз\
„1 2 v V e nn . nm nn ■ nm
Ge = — > > -cos— x,sin— x2cos— y, sin—y2,
E abLL ynm{ 1 + Son) a b 2 a'1 b Уъ
n = 0 m = 1 0 m m -ynm|x3- Уз|
„2 2 ^ e ■ nn n m . nn n m
Ge = — у у -sin— x1cos— x2sin— y1cos— y2,
ab, ,Jnm( 1 + §0m) a b a b
n = 1 m = 0
0 m m -y„m|x3- Уз|
„з 2 v e ■ nn ■ nm ■ nn ■ nm Ge = — у у -sin—x1sin—x2sin— y1sin—y2.
ab ^ Ynm a b a b
n = 1 m = 1
В этих выражениях упт = ^ —^ + ^- кО , при этом ветвь квадратного корня выбирается так, чтобы 1ту„т > 0.
Запишем G'm с выделенной особенностью при х = у:
гко |ж - у|
„т 1 е т, ч „
GE = — ---г + ё (х, у), ж, у е Р,
4я |х - у|
где функция е С(О х Р) (см. [11, с. 132]). Отсюда и в силу симметрии функций Грина G'm (х, у) = = G'm (у, х), т = 1, 2, 3, имеем
Утверждение 2. Тензор Грина GE допускает представление
л 1 >к0\х - у| л
Ье = — 7--I + g(x, у), X, у е Р,
4я |х - у
где матрица-функция (тензор) g е С(0 х Р) и g е С"(Р х Q).
Такое представление тензора Грина удобно для теоретического исследования задачи дифракции, но непригодно для численных расчетов, так как не содержит алгоритма вычисления g. В [9] посредством суммирования медленно сходящихся рядов выделена особенность в компонентах тензора Грина, что позволяет корректно вычислять значения компонент численно.
1 ¡х - у|
Отметим, что функции Грина имеют единственную особенность вида — --- и не имеют
4 я \х - у\
других особенностей в силу сделанного нами предположения о том, что тело не касается поверхности волновода.
3. ОБЪЕМНОЕ СИНГУЛЯРНОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ
Наша ближайшая цель — свести краевую задачу к объемному сингулярному интегральному уравнению.
Пусть решения краевых задач (1.1)—(1.4) и (1.5)—(1.6) существуют и единственны. Перепишем (1.1) в эквивалентной форме
го!Н = - /юб0Е + ¿Е, го!Е = /ю^оН,
где
. _ .0 .р
¿Е = ¿Е + ¿Е.
В последнем равенстве ¿Е = —/ю(6 (х) — б01)Е — электрический ток поляризации. Нетрудно проверить, что решение краевой задачи (3.1), (1.4) имеет вид
1
Е = / юц0ЛЕ--gгadd
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.