МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА < 6 • 2008
УДК 539.3.01
© 2008 г. П.В. ГАЛПЧЯН
О СУЩЕСТВОВАНИИ КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ В НАГРУЖЕННЫХ ТЕЛАХ ИЗ ПОЛИКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛОВ
Исследован характер распределения напряжений в окрестности угловой точки поверхности соединения двух кристаллов. Поверхность соединения образует двугранный угол. Соединенные кристаллы имеют кубическую симметрию и состоят из одного и того же материала. Они имеют одно общее главное направление упругости, параллельное к ребру двугранного угла. Остальные главные направления не совпадают и ориентированы произвольно.
В рамках линейной теории упругости рассматриваются задачи антиплоской и плоской деформаций двукристалла. Показано, что в случае продольного сдвига по направлению общей главной оси упругости, в окрестности угловой точки поверхности соединения кристаллов, концентрации напряжений нет.
В случае плоской деформации, когда все перемещения и деформации происходят исключительно в плоскостях, перпендикулярных к общему главному направлению, методом разделения переменных построено характеристическое уравнение, определяющее степень концентрации напряжений. Найдены корни этого уравнения, определяющие порядок особенностей напряжений.
1. Введение. Имеются многочисленные поликристаллические материалы, в том числе и поликристаллы, в которых кристаллы имеют кубическую симметрию. К поликристаллам кубической симметрии относятся такие минералы и металлы, как кубические пириты (FeS2), плавиковый шпат (CaF2), каменная соль (NaCl), сильвин (KCl), железо (Fe), алюминий (Al), медь (Cu), вольфрам (W) [1, 2].
Считается, что многие материалы можно рассматривать как однородную и изотропную среду, независимо от особенности их микроструктуры. Ясно, что в действительности, уже в силу молекулярного строения, материал не может быть таким. Например, металлы имеющие поликристаллическую структуру, состоящие из множества хаотически расположенных кристалликов разных размеров и разной ориентации, строго говоря не являются однородными и изотропными. Отдельно взятый кристалл металла является анизотропным. Но если в объеме содержится весьма большое число хаотически расположенных кристалликов, то материал в целом можно считать, как изотропным. Точно так же, пока геометрические размеры тела достаточно велики по сравнению с размерами одного кристаллика, то с высокой степени точностью можно предположить, что его материал однороден [3, 4].
С другой точки зрения, если более точно подходить к вопросу, следует учитывать как неоднородность материала, так и анизотропию отдельных кристалликов. Для тела, находящегося под действием внешних сил, теоретически определить напряженно-деформированное состояние с учетом его поликристаллической структуры невозможно.
Пусть тело состоит из кристаллов одного и того же вещества. Причем, главные направления упругости соседних кристаллов вообще говоря не совпадают и ориентированы произвольно. Возникает вопрос: может ли иметь место концентрация напряжений в окрестности угловой точки поверхности соединения соседних кристаллов и в окрестности края поверхности соединения?
Для ответа на этот вопрос, удобно рассматриваемую задачу заменить рядом упрощенных задач, каждая из которых может отражать отдельные ситуации, в которых могут находиться несколько соседних кристаллов.
Подобная задача для двух ортотропных кристаллов в виде клиньев, жестко соединенных между собой по плоскости их соприкосновения, рассмотрено в [5]. Они имеют общую вершину, а их внешние грани свободны. Оба клина состоят из одного и того же материала. Клинья имеют общее одноименное главное направление упругости, а остальные упругоэквивалентные главные направления составляют между собой некоторый отличный от нуля угол. Рассматривается продольный сдвиг (антиплоская деформация) по общему главному направлению.
В работе [5] показано, что, если соединяемые клинья состоят из одинакового орто-тропного материала, но имеют разные ориентации главных направлений упругости относительно плоскости их соединения, то составной клин ведет себя как однородный.
Поведение поля напряжений около угловой точки контура поперечного сечения составного тела, образованного из двух спаянных между собой по боковым поверхностям призматических тел с различными характеристиками упругости, в случае плоской деформации исследовано в [6]. В этой работе принимается, что составные части тела являются однородными и изотропными, а угловая точка контура поперечного сечения призмы находится на краю поверхности контакта двух тел.
В [6, 7] исследуется также характер распределения напряжений в окрестности угловой точки поверхности контакта двух призматических тел, спаянных между собой по части боковых поверхностей. Составные части тела соответствуют различным однородным изотропным материалам. Рассматривается плоская деформация составной призмы.
Имеются многочисленные работы, посвященные механике контактного взаимодействия деформируемых твердых тел. Контактные задачи теории упругости рассматриваются в монографиях [8, 9]. В [8] получены точные либо приближенные аналитические решения в виде, удобном для непосредственного использования при проверке контактной прочности и жесткости элементов машин. В монографии [9] излагаются численно-аналитические методы и результаты решения многих неклассических пространственных задач механики контактного взаимодействия упругих тел. Рассмотрены изотропные тела полуограниченных размеров (в том числе клин, конус), а также тела ограниченных размеров. Монография охватывает огромный материал, разработанный по многочисленным публикациям. Имеется также много исследований в этой области, опубликованных в последние годы [10-23].
В настоящей работе исследуется вопрос о существовании концентрации напряжений в окрестности угловой точки поверхности соединения двух кристаллов кубической симметрии одного и того же материала.
2. Постановка задачи. Пусть два кристалла, обладающие прямолинейной анизотропией и имеющие кубическую симметрию, жестко соединены по поверхности их соприкосновения (фиг. 1). Поверхность контакта кристаллов образует двугранный угол с линейным углом а, след которого показан на плоскости чертежа. Ребро поверхности контакта проходит через точку О. Ось г цилиндрической системы координат (г, ф, г) совпадает с ребром двугранного угла. Координатные поверхности ф = 0 и ф = а (ф = а - 2п) совпадают с гранями двугранного угла. Таким образом, первый кристалл (1) занимает область ф е [0; а], а второй (2) - ф б [а - 2п; 0]. При этом 0 < а < 2п, 0 < г <
Для простоты примем, что кристаллы имеют одно общее главное направление упругости, совпадающее с осью г. Два остальных главных направления х1 и у1 первого кристалла составляют с главными направлениями х2 и у2 второго кристалла некоторые, отличные от нуля, углы. Обозначим угол между х1 и полярной осью ф = 0 через 01, а угол между х2 и осью ф = 0 через 02. При этом 01, 02 е [а - 2п, а]. Когда 01 = 02 = 0, имеем однородную среду, т.е. монокристалл кубической симметрии, для которого одно главное
е х = «11 gx + au(Oy + az), fyz ~ a44Tyz
ey = «11 Gy + «12(°г + ), !Zx = «44 Tzx
ez = anaz + «12 (Gx + Gy ), 1 xy = «44 Txy
направление х1 = х2 = х совпадает с полярной осью ф = 0. В этом случае, уравнения обобщенного закона Гука, записанные в главных осях упругости х, у, г, имеют вид
(2.1)
где ех, еу, ..., е - составляющие деформации, ох, оу, ..., т - составляющие напряжений, ап, а12, а44 - коэффициенты деформации.
Уравнения (2.1) можно получить из уравнений обобщенного закона Гука для орто-тропного тела, записанных в главных осях упругости х, у, г, согласно методу, описанному в работе [24].
Совершив поворот координатной системы (х, у, г) вокруг общей оси г = г' на угол ф = 90°, приходим к симметричной системе координат (х', у', г'). Так как направления осей х, у, г и х', у', г' одинакового наименования являются направлениями, эквивалентными в отношении упругих свойств, то уравнения обобщенного закона Гука для этих систем координат запишутся одинаково. При этом, значения коэффициентов деформации
в обоих системах одинаковы: а11 = а11, а12 = а12, а'13 = а13, ..., а66 = а66. Использовав формулы преобразования коэффициентов деформации при повороте координатной системы вокруг оси г = г' [24], получим их новые значения, выраженные через старые (до поворота координатной системы (х, у, г)).
Сравнивая коэффициенты деформации в одной и той же системе координат (х', у', г'), получим: а11 = а12, а44 = а55, а13 = а23, а16 = а45 = а26 = а36 = 0.
Поочередно совершив также поворот координатной системы (х, у, г) вокруг осей х и у на угол в 90° и повторив ту же процедуру, окончательно приходим к (2.1).
Формулы преобразования коэффициентов деформации при повороте координатной системы вокруг осей х и у можно получить также из формул преобразования коэффициентов деформации при повороте координатной системы вокруг оси г, в случае анизотропии общего вида.
Например, для получения формул преобразования при повороте координатной системы вокруг оси х, нужно переименовать главные направления упругости: ось х назвать осью г, ось у - осью х, а ось г - осью у. При этом в уравнениях обобщенного закона
Гука, отнесенных к системе координат (х, у, г), в роли а11 будет выступать а22, в роли а12 - а23, а в роли а16 - а24. Точно так же, в уравнениях обобщенного закона Гука, отнесенных к системе координат (х', у', г'), в роли а11 будет выступать а22, в роли а'12 - а23,
а в роли а'16 - а24. Из сказанного следует, что в случае ортотропного тела а24 = 0 при
повороте координатной системы вокруг оси х, но, в отличие от поворота координатной
системы вокруг оси г, а24, вообще говоря, не равно нулю.
В случае 01 Ф 02 уравнения обобщенного закона Гука в цилиндрической системе координат (г, ф, г) запишутся так:
( ' ) р г = аи ог / (0 + а 12 (оф + о^')) - а[(о(г') - оф' )) 8т22а ; + т(г'ф8ш4а ¡_
( ' ) р ф (') = а11 Оф / (0 + а12(ог; + о^)) + а [(о(г') - оф' )) 8ш22а ; + т(г'ф8ш4а ;
( ' ) рг „ О(') = а11 Ог + аиф' ( <К + Оф 0
( ') Уфг (') = а44т фг = 2( а 11 - -а12 )тф'г-4 ат ф'г
( ') У гг (0 = а44т
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.