научная статья по теме О СУЩЕСТВОВАНИИ РЕШЕНИЙ РАЗРЫВНЫХ АЛГЕБР О-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Автоматика. Вычислительная техника

Текст научной статьи на тему «О СУЩЕСТВОВАНИИ РЕШЕНИЙ РАЗРЫВНЫХ АЛГЕБР О-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ»

Автоматика и телемеханика, Л- 9, 2006

PACS 02.30 Yy

© 2006 г. И.В. МАТРОСОВ, канд. физ.-мат. наук (Центр исследования устойчивости и нелинейной динамики при Институте машиноведения им. A.A. Благонравова РАН, Москва)

О СУЩЕСТВОВАНИИ РЕШЕНИЙ РАЗРЫВНЫХ АЛГЕБРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ1

Рассматривается конечномерная система алгебро-дифференциальных уравнений с разрывами. Дается общее определение решения и доказывается теорема существования в невырожденном случае.

1. Введение

Ставшая классической теория обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывной правой частью, разработанная в трудах А.Ф. Филиппова [1] и многих других авторов (см. [2 4]) находит многочисленные применения в современной теории управления и механике. Объектом изучения этой теории является система уравнений вида

Ж = 7 (М)'

где функция / : Дп+1 ^ Яп имеет разрывы.

Однако в некоторых задачах анализа динамики и синтеза систем управления приходится иметь дело с более сложным математическим объектом, который в литературе часто называют системой алгебро-дифференциальных уравнений

(1) = / (х>уЛ

(2) 0(х,у,г) = 0,

где векторные функции / и О или их производные могут претерпевать разрывы.

Например, некоторые задачи синтеза управления механической системой с сухим трением часто удается свести к виду

¿д ¿V

(3) А = А = а

а дТ дТ д2Т. , д2Т дТ

(4) ¿г^ - -дд = (д,v)а + ддд*(д'v) v - = v'иг)

(5) Ф(д, V, а, и, г) = 0,

1 Работа выполнена при поддержке программы .N-" 18 ОЭММ11У РАН "Динамика и устойчивость

многокомпонентных машиностроительных систем с учетом техногенной безопасности".

где д - вектор координат, V - вектор скорости, а - вектор ускорения, и - искомый вектор управления, Т (д, V) - кинетическая энергия, ^ - обобщенная с ила, Ф — цель управления. Здесь х = у = (а,и)т, определения векторов скорости и

ускорения (3) играют роль системы дифференциальных уравнений (1), а уравнения Лагранжа второго рода (4) вместе с целыо управления (5) образуют алгебраическую систему уравнений (2). Системы вида (1), (2) с гладкими функциями / и О рассматриваются, например, в [5], где приведен более подробный список литературы.

В [6, 7] и многих других рассмотрена задача анализа динамики механической системы с трением. В такой задаче неизбежно присутствуют разрывные функции, но пет управления, а кинетическая энергия Т предполагается кватратичной формой по скоростям.

Рассмотрение задачи управления для такой системы, содержащей уравнения цели (5), обычно приводит к невозможности записи всей задачи в чисто лагранжевой форме (4) или отсутствию квадратичпости и невырожденности Т по и.

В данной работе рассматривается вопрос существования решения для достаточно широкого класса систем (1), (2), допускающей наличие разрывов и пригодной для применения в том число в задачах синтеза управления.

2. Формальное определение понятия решения

Будем считать, что заданы две векторные функции / : Кп х Кт х К ^ К", О : Кп х Кт х К ^ Кт, удовлетворяющие условиям гладкости

(6) / : К" х Кт х К ^ Кп, / е С(Кп\Б х Кт х К),

(7) О : Кп х Кт х К ^ Кт, О е С(Кп\Б х Кт х К),

где множество точек разрыва 5 является конечным объединением гладких гиперповерхностей коразмерности к > 1 в пространстве К" Э х.

Следуя [1], многозначную функцию ф(г) будем называть ^-непрерывной на отрезке [¿о,¿1] (полунепрерывной сверху относительно метрики Xаусдорфа), если (Ш* е

е [¿о,¿1 ], Ше > 0 Зт > о : шг е (г* - т,г* + т))

вир р(х, ф(г*)) ^ е. хеф(г)

Как показано в [1], это определение эквивалентно замкнутости графика многозначной функции ф(г).

Для системы (1), (2) введем определение решения, являющееся, по сути, обобщениями определения А) А.Ф. Филиппова из [1] на рассматриваемый класс систем.

Приведенное определение носит абстрактный характер, оно позволяет лишь определить, является ли предъявленная пара функций х(г), у (г) решением системы (1). (2).

Пусть задана некоторая функция у(г), тогда предполагая, что все элементы каждой из последовательностей ук, хк и гк лежат вне поверхностей разрыва 5, построим многозначную функцию М(1)(х,у,г) в виде

{Зри ^ р : Зхи ^ х, Зуи ^ у (г), зги ^ г : р е Кп : ри = /(хи,Ук,гк); >,

О(хи ,ук ,ги)=0 )

т.е. в качестве множества М(1)(х, у(г), г) берется множество предельных значений —, удовлетворяющих системе (1) при заданных х,у,г.

Замечание 1. В определении множества M(1)(x, у, t) содержится n + m уравнений с n неизвестными p^ поэтому M(i)(x,y,t) непусто лишь при некоторых у, такие тройки (x, у, t) будут в дальнейшем называться допустимыми.

Определение 1. Пара x(t) : R ^ Rn, y(t) : R ^ Rm называется решением системы (1), (2) если:

1) функц ия x(t) абсолютно непреры вна not и, следовательно, имеет измеримую

x(t)

2) y(t) t

3) для почти всех t выполнено дифференциальное включение

— е со{М(1)(х,у(г),г)},

где со{ } означает взятие выпуклой оболочки, а черта сверху - замыкание графика функции в пространстве {х,у,г}.

однозначно разрешить относительно переменных у, это определение совпадают с классическим определением решения системы, получающейся из (2) разрешением относительно у и подстановкой полученного выражения в (1).

Как обычно в теории алгебро-дифференциальных уравнений (см.. например. [5]). для существования решения системы (1). (2) условий гладкости (6). (7) совершенно недостаточно, необходимо требовать выполнения дополнительных условий. Даже с

часто.

3. Строго кусочно-гладкие функции

О

в точке у0 (непрерывная днфференцнруемость) понимается как возможность локально аппроксимировать функцию О(у) некоторой линейной функцией (элементом касательного пространства) с точностью о(\\у — у0У).

В данном разделе вводится класс строго кусочно-линейных функций, необходимый в дальнейшем для определения понятия строгой кусочной гладкости, формально определяется класс непрерывных строго кусочно-гладких векторных функций. Рассмотрим некоторую точку у0 е Кт.

Определение 2. Функция Ь : Кт ^ Кт называется строго кусочно-линейной в точке у0, если Ь е С(Кт) и существует конечный набор гиперплоскостей, перпендикулярных векторам М1,...Мк, проходящих через точку у0, разделяющий пространство Кт на конечное число подмножеств В1,... ,Вр таких, что

( I+Ь1(у — У0) У е В1 = {у | ап(у — У0,т) > 0,...,аи1(у—У0,^и) > 0,

(8) Ь(у) = \ ....................................................................

I I+Ьр(у—У0) У е Вр = {у I (Г1Р(у — У0,^) > 0,.. .,акр(у — У0,^к) > 0,

здесь вектор I е Кт, Ь1,... ,Ьр т х т-матрицы, а каждое из множеств В1,... ..., Вр определяется заданием набора чисел е { — 1,1},..., а^к е { — 1,1}. Множества В2 будем называть гранями функции Ь.

Ь1 , . . . , Ьр

рожденными.

График строго кусочно-линейной функции есть конический многогранник, вообще говоря, не выпуклый.

Вводом также норму для строго кусочно-гладкой функции:

\\L(y)\\ = max \\Lk ||. k=0,...,р

В литературе (см.. например. [8]) существует несколько различных понятий кусочной гладкости. Функцию G называют кусочно-гладкой в открытой области D £ Rn, если существует некоторое "малое" множество S, такое что G £ C 1(D\S), часто в качестве множества S берется объединение конечного числа гладких ги-

S

произвольное множество меры 0 (например, в смысле Лебега). Однако в этом определении ничего не сказано о поведении функции вблизи точки разрыва производной. Следующее определение выделяет необходимый для дальнейшего более узкий класс функций.

Пусть в некоторой области V С Rn задана непрерывная векторная функция G : V ^ Rn, G £ C(V) и точка y0 £ V.

Определение 3. Будем называть G(x,y,t) строго кусочно-гладкой no y y0 L

го положительного с существует открытая окрестность U С V точки y0 такая, что для любой пары точек y\, y2 из U выполнено неравенство

(9) \\G(x,yut) - L(yi)\\ + \\G(x,y2,t) - L(y2)\\ < e\\yl - y2\\.

LG

y0

Пример 1. Функция в законе трения Кулона G(y) = -f \y\sign v

y

С другой стороны, функция G(y) = y sin(1/y), y £ R не является строго кусочно-гладкой в точке y = 0.

4. Обратимость строго кусочно-линейных функций

В данном разделе даются условия обратимости для строго кусочно-линейной системы алгебраических уравнений.

В определении 2 без ограничения общности будем считать у0 = 0 Ь(уо) = 0, чего всегда можно добиться при помощи аффинного преобразования координат.

Для начала рассмотрим вопрос о построении обратной для простейшей кусочно-линейной функции, состоящей из двух невырожденных граней.

Лемма 1. Пусть х £ Еп, у £ Кп и функция Ь : Кп ^ непрерывная

векторная функция вида

Ь1х (х, N) > 0,

(10) у = Ь(х) -1 Ь2Х (ххN) < 0,

где N есть вектор из Яп, Ь1 и Ь2 - п х п-матрицы, причем ёе! Ь1 = 0 и ёе! Ь2 = 0. Тогда для того, чтобы существовала обратная функция Ь-1 : Кп ^ Кп, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

(11) (Ь-1Т ^Ь-1Т 0.

Ь

Замечание 3. Лемма позволяет проанализировать все грани любой строго кусочно-линейной функции и выписать необходимые и достаточные условия существования обратного отображения.

Доказательство приведено в Приложении.

Сформулируем простое достаточное условие обратимости произвольной нопро-

Ь

Ь*

лочке матриц Ь-1,..., Ь-1, выполнено уеловие det Ь* = 0, т.е. Ш/1 > 0,..., Ш/р > 0 таких, что /1 + ... + /р = 1, имеем

det {/1Ь-1 + ... + /рЬ-1) = 0. Тогда функция Ь(х), определенная соотношением (8), обратима.

5. Теорема о существовании решения

Используя принцип сжатых отображений, докажем теорему об обратимости для строго кусочно-линейной функции и на ее базе теорему о существовании решения для исходной алгебро-дифференциальной системы уравнений.

Пусть функция О(у, х) строго кусочно-гладкая по переменной у в точке х0, у0 -векторная функция, тогда в соответствии с определением 3 для нее в этой точке существует непрерывное кусочно-линейное производное отображение ЬУ0 (у,х).

О

денной в точке у0, если ее производное отображение Ь является обратимым.

Сформулируем теперь обобщение теоремы о неявной функции на случай строго кусочно-гладких функций. Так же. как и в классической теореме о неявной функции (см.. например. [9]). условия носят достаточный характер.

Теорема 1. Пусть в некоторой области V заданы в-непрерывная

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком