М ЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 2 • 2015
УДК 532.546.013.4:536.24
О СУЩЕСТВОВАНИИ СТАЦИОНАРНОГО ФРОНТА ИСПАРЕНИЯ ВОДЫ
В ГОРИЗОНТАЛЬНО-ПРОТЯЖЕННОЙ НИЗКОПРОНИЦАЕМОЙ ОБЛАСТИ
© 2015 г. С. А. ГУБИН, А. В. КРИВОШЕЕВ, В. А. ШАРГАТОВ
Национальный исследовательский ядерный университет "МИФИ", Москва e-mail: shargatov@mail.ru
Поступила в редакцию 25.12.2013 г.
Рассматривается течение с поверхностью фазового перехода в горизонтально-протяженной пористой среде, когда более тяжелая фаза (вода) находится над более легкой (смесью воздуха с паром). Показано, что если стационарное течение с плоской поверхностью раздела фаз существует и устойчиво по отношению к бесконечно малым гармоническим возмущениям поверхности, то только локализованное конечное возмущение верхней или нижней границы низко-проводящего слоя, направленное вверх, приводит к исчезновению стационарного решения. Такая перестройка течения возможна исключительно в случае несмачиваемой пористой среды. Путем численного эксперимента показано, что существует пороговое значение абсолютной величины амплитуды, при превышении которого стационарное течение перестает существовать. Это пороговое значение уменьшается с увеличением "эффективной" ширины локализованного возмущения и асимптотически приближается к величине, соответствующей бесконечно большой эффективной ширине локализованного возмущения. Найдено аналитическое выражение для этой величины.
Ключевые слова: численный метод, устойчивость, фильтрация, фазовый переход, диффузия пара, фильтрационные течения с фазовым переходом.
Подземные сооружения (шахты, туннели и другие конструкции) окружены породами, в которых происходит фильтрация подземных вод. При искусственной вентиляции температура воздуха и парциальная плотность пара в подземном сооружении могут поддерживаться постоянными. При достаточно низкой проницаемости окружающих горных пород вода поступает в подземное сооружение в виде пара. В этом случае вода проникает из водоносного горизонта в окружающую породу в жидком состоянии, а в породе образуется область, насыщенная смесью пара и воздуха. Эта область расположена ниже водонасыщенной области и отделена от нее поверхностью фазового перехода.
Такая задача рассматривалась в работах [1, 2] для горизонтально-неограниченных слоев пористой среды с плоской верхней границей между низкопроводящим слоем и водоносным горизонтом и с плоской границей между подземным сооружением и окружающей породой. Там же показано, что стационарное положение плоской поверхности фазового перехода для несмачиваемой среды может быть не единственно или отсутствовать вовсе. В несмачиваемой пористой среде плоская поверхность раздела фаз может быть как устойчива, так и неустойчива [1, 2]. При этом существуют два сценария потери устойчивости, соответствующие возникновению наиболее неустойчивого волнового числа в нуле и на бесконечности, а достижение границы устойчивости при нулевом волновом числе происходит одновременно с исчезновением решения стационарной задачи. В работе [1] получено уравнение Колмогорова—Петровского—
г = Хо(х)
г = s(x, ^
г = Ь(х)
Фиг. 1. Геометрия задачи: I — область, заполненная водой (водоем) {% < 0,-« < х < да}, — вода в области фильтрации {Ь0(х) < % < s(x, t< х < ад}, — смесь воздуха с парами воды в области диффузии {х, t) < % < Ь( х), -да < х <да}, II — область, заполненная воздухом с постоянной влажностью (туннель) {% > Ь(х), - да < х < да}
Пискунова для докритических структур в окрестности перехода к неустойчивости. При этом уравнение Колмогорова—Петровского—Пискунова впервые возникло в теории гидродинамической неустойчивости в качестве амплитудного уравнения. В используемой авторами [1, 2] модели предполагается, что существует поверхность, разделяющая воду и смесь воздуха с парами воды. Такая модель применялась также и в других работах для исследования течений в пористой среде [3, 4]. Разработаны более сложные модели, которые допускают существование двухфазных областей, занятых смесью жидкости и пара [5—7].
Рассматриваемая модель среды относительна проста, но соответствует физически реальному случаю и была выбрана авторами [1, 2], чтобы на простом примере проиллюстрировать переход к неустойчивости в случае, когда мода с нулевым волновым числом наиболее неустойчива. Эта модель позволяет исследовать основные свойства решения, связанные с фундаментальными физическими свойствами, определяющими устойчивость течения.
Данная работа использует ту же модель среды, что применяется в [1], но отличается как постановкой граничных условий, так и методикой исследования. В отличие от работы [1] рассматривается не эволюция стационарного решения при возмущении поверхности фазового перехода, а сама возможность существования стационарного решения при возмущении поверхности, отделяющей горную породу от подземного сооружения или от высокопроницаемого водоносного горизонта (или водоема). Такое исследование невозможно провести методом нормальных мод, как это сделано в [1], поскольку, как показано ниже, исчезновение стационарного решения происходит только при возмущениях, имеющих конечную амплитуду. Для решения задачи использовался численный эксперимент.
Цель исследования этой задачи — изучение свойств решения, связанных с влиянием локализованных возмущений границы низкопроводящего слоя на существование устойчивого стационарного решения. Задача решалась аналитически и путем численного эксперимента с помощью специально разработанного метода решения.
1. Постановка задачи, основное течение. Воспользуемся той же формулировкой, что и в работе [1]. Геометрия задачи представлена на фиг. 1.
г
х
Будем использовать декартову систему координат хуг, с осью г, направленной вниз. Рассмотрим область, которая представляет из себя полосу Ц0(х) < г < Ц(х), -ж < х < ж. Эта полоса состоит из двух областей — и О. В области находится вода, а в области П2 — смесь воздуха с водяным паром. На верхней границе области О! при г = Ц.(х) находится вода при давлении Ри = Р0 + Ц,(х)р^, где Р0 — давление на верхней границе низкопроводящего слоя ("дне водоема"), если дно является плоским (т.е. Ц0(х) = 0). На нижней границе области О при г = Ц(х) находится воздух постоянной влажности va и постоянной температуры Т. Влажность воздуха va меньше, чем влажность насыщенного пара при температуре Т. Предполагается, что внутри полосы влажный воздух и вода разделены не обязательно односвязной поверхностью фазового перехода Я(х, г, г) = 0, которая локально может быть записана в виде г = 5(х, г).
Таким образом, в области на фиг. 1 при Ц0(х) < г < х, г) находится вода, а в области О при s(x, г) < г < Ц(х) — воздух. В области движение воды описывается уравнением неразрывности и законом Дарси с учетом силы тяжести
Шу и„ = 0, и„ =--— §гаё(Р-р (1.1)
т ц „
Здесь и„ — скорость фильтрации воды, т — пористость, к — проницаемость, ц „ — вязкость воды, g — ускорение свободного падения, р„ — плотность воды. Система уравнений (1.1) эквивалентна уравнению Лапласа для давления
А Р = 0 (1.2)
Диффузия пара в области О2 описывается уравнением = й1у(Л • Егаёрц)
дг
где рц — плотность пара, Б — коэффициент диффузии.
Следуя [1], будем вместо уравнения диффузии для плотности пара использовать аналогичное уравнение для функции влажности V = ри/(ра + ри). При условии малости парциального давления пара по сравнению с атмосферным давлением изменение влажности воздуха при постоянном коэффициенте диффузии описывается уравнением
= Б -Ду (1.3)
дг
Аналогично [1] будем считать, что давление в области О, которая занята смесью воздуха с паром, постоянно и равно давлению воздуха Ра при г = Ц(х). Согласно [1], на поверхности фазового перехода существует скачок давления, величина которого равна капиллярному давлению Рс. Тогда
Р2 = Ра + Рс (1.4)
Условие (1.4) представляет собой граничное условие для уравнения (1.2) на нижней границе области, занятой водой. Для уравнения (1.3) граничное условие на верхней границе области ^ (^(х, г, г) = 0) ставится в предположении, что парциальное давление паров воды равно давлению насыщенного пара. Функция влажности в этом случае может быть вычислена по формуле [8]
V Р(Т)
V* - —
Ц а Ра
где Р(Т) — известная функция температуры, в данном случае, воздуха Т = Та.
Г(Га) = 105ехр
/
/
-7226.6
—--1— | + 8.21п
Та 373.16
а
373.16 '-0.0057(373.16-Та)
Температура воздуха в области П2 считается постоянной, поэтому V* также является
постоянной величиной.
Нормальная компонента скорости поверхности фазового перехода в соответствии с [1] может быть представлена в виде
у„ =--[£гаё(Р - р+ Б^(нгаё V)„2 (1.5)
т ц № Р «
Соотношение (1.5) является следствием условия сохранения массы и уравнений (1.1) и (1.3). Индексы „1 и „2 обозначают нормали, относящиеся к области воды и пара, соответственно.
Таким образом система уравнений, описывающих изучаемый процесс, может быть записана совместно с граничными условиями в следующем виде:
(х, у, г) еП1: АР = 0 г = А)(х): Р = Р0 + Ых)р^ (х, у, г) е 5: Р = Ра + Рс
(х, у, г) еО2: = Б Аv (1.6)
дг
(х, у, г) е 5: V = V * г = Х(х): V = V а
У„ =--— [§гаа(Р - р^г)]п1 + Б^(нгаё V)„2
т Ц № Р №
Если верхняя и нижняя границы низкопроводящего слоя плоские, тогда Х0(х) = 0, Х(х) = Ь1
В [1] показано, что существует равновесное положение плоской поверхности фазового перехода, г — координата которого Н определяется из соотношения
( (в-а-1) А(в-а-1)2 -4 -а)^
н„ , = и
Нх > Н, (1.7)
2 2 где используются две введенные в [1] безразмерные комбинации
а= рс + Ра - Р0 , в= Б (У* -Уа )
Р^А к Ри Ри^А
Параметр а равен отношению перепада давлений на нижней и верхней границах области, занятой водой в низкопроницаемом слое, к максимально возможному в условиях задачи перепаду гидростатического давления. Скорость поверхности фазового перехода зависит как от перепада давлений, так и от действия силы тяжести. Таким образом, параметр а характеризует степень влияния этих двух факторов на скорость поверхности фазового перехода. Параметр Р равен отношению скорости фронта, в случае, если бы имел место только процесс испарения и диффузии и весь низкопроницаемый
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.