АКУСТИЧЕСКИМ ЖУРНАЛ, 2008, том 54, № 1, с. 18-19
КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКИ И ТЕОРИИ ВОЛН
УДК 534.26
о свойствах круговых и спирально-винтовых волн цилиндрического волновода
© 2008 г. В. В. Тштекин
Акустический институт им. H.H. Андреева РАН E-mail: Tyutekin@akin.ru Поступила в редакцию 9.01.07 г.
PACS: 43.20.Mv, 43.35.Cg, 46.40.Cd
Круговые и спирально-винтовые нормальные волны цилиндрических волноводов были рассмотрены в работе автора [1]. Настоящее сообщение является дополнением к этой работе, устанавливающим область физически возможного существования нормальных волн подобного типа.
Звуковое давление в таких волнах было представлено в следующем виде
р(г,в, г) = р(г)exp(¿кг ± ¿Ув), (1)
где р(г) удовлетворяет уравнению Бесселя, частное решение которого имеет вид
ру( г) = ау Jv( дг). (2)
Здесь д = Jk[—k2, к0 - волновое число акустической среды, ау - произвольный коэффициент.
В [1] предполагалось, что величина кругового волнового числа V удовлетворяет условию V > 0. Однако радиальная колебательная скорость
1 dpv( г)
(ur)v = -
р0 ю dr
(3)
(ur )v = -
gv РоЮ
gJv + 1 (gr) -- Jv(qr)
(4)
( ur )v
• v r
v-1
(5)
ния V = 1 должны играть роль критической частоты для круговых и винтовых волн, описанных в [1].
V
Эти волны были введены соотношениями кк =--
волновое число круговых волн и kh = ^/k2 + к2к -волновое число винтовых волн (a - радиус волновода). Связь между ними задается соотношениями кк = kh sin а и к = kh cos а, где а - угол между волновым вектором kh и осью г. В дальнейшем изложении а является углом "выхода" волны на поверхность волновода.
Введя безразмерную частоту Y = k0a и г =
ГлА 2.2
= *JY - v ctg а, дисперсионные уравнения для нормальных волн целесообразно записать в виде
- для граничного условия Дирихле
J J Y2- v2ctg2 а = 0; (6)
- для граничного условия Неймана
zJv + 1 (z) - v J v( z) = 0. (7)
Здесь неизвестной величиной является v = кка в зависимости от Y; угол а является свободным параметром [1]. Отметим, что при таком подходе круговую волну можно рассматривать в качестве винтовой волны для а = 90°. Наиболее представительной величиной в рассматриваемой задаче является безразмерная фазовая скорость винтовых
волн C = — , которую можно выразить формулой
на оси волновода (г = 0) остается конечной (что является условием физического существования нормальной волны) не при всех указанных значениях V.
Используя выражения (2) и (3), эту скорость можно представить в виде
Поскольку при г —► 0, функция ~ (дг^ [2], то определяющим членом в выражении (4) будет
C =
Y sin а
(8)
откуда следует, что колебательная скорость на оси волновода будет конечной только при V = 0 и V > 1.
Первое значение соответствует известным осесимметричным нормальным волнам. Значе-
Критические частоты винтовых волн 7СГ (V = 1) в соответствии с формулами (6) и (7) должны определяться уравнениями
I 2 2 J 1д/ Ycr- ctg а = 0,
0
О СВОЙСТВАХ КРУГОВЫХ И СПИРАЛЬНО-ВИНТОВЫХ волн
19
C 12
10
8 6 4 2
12 Y
Рис. 1. Фазовые скорости круговых нормальных волн (а = 90°) в зависимости от безразмерной частоты. 1 -для граничного условия Неймана, 2 - для граничного условия Дирихле.
C 10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
12 Y
Рис. 2. То же, что на рис. 1, но для винтовых нормальных волн с а = 45°. Обозначения те же.
Y2a - ctg2 a J 2( л/ Y2a - ctg2 а) -
- Ji (J Y2 - ctg2 а) = 0. Уравнение (9) имеет решение
Ycr = Sin + ctg а,
где ß1n - n-й корень функции Бесселя J1(x). При этом из формулы (8) значение
Ccr = Y crsin а
(10)
(11)
(12)
Из формулы (12) следует, что в координатной плоскости (С, У) пары значений Ссг, Усг лежат на прямой
C = Y sin а.
(12')
Это же относится и к решению уравнения (10).
Решения уравнений (6) и (7) в виде зависимости С(У) представлены в качестве примера на рис. 1 и
2 для углов а = 90° (круговые волны) и а = 45° (пример винтовой волны), соответственно. Все кривые исходят из точек (11) и (12), лежащих на прямых (12'); при У —- С —» 1, т.е. фазовая скорость всех винтовых волн стремится к скорости звука в среде, как и у других его нормальных волн.
В заключение отметим, что условие V = кка > 1, или 2па > Хк означает, что для существования винтовых волн необходимо, чтобы по круговой границе волновода укладывалась хотя бы одна такая волна.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Тютекин В В. Круговые и спирально-винтовые нормальные волны цилиндрического волновода. Спиральные волны в свободном пространстве // Акуст. журн. 2006. Т. 52. № 4. С. 549-555.
2. Справочник по специальным функциям. М. "Наука", 1979. С. 830.
Specific Features of Quasi-Rayleigh Waves Caused by a Two-Component Impedance Load
V. V. Tyutekin
Andreev Acoustics Institute, Russian Academy of Sciences, ul. Shvernika 4, Moscow, 117036 Russia
e-mail: Tyutekin@akin.ru
АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 54 < 1 2008
2*
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.