Автоматика и телемеханика, № 10, 2009
PACS 02.30.Ks, 02.30.Yy
© 2009 г. А.В. МЕТЕЛЬСКИЙ, д-р физ.-мат. наук, В.В. КАРПУК, канд. физ.-мат. наук (Белорусский национальный технический университет, Минск)
О СВОЙСТВАХ ТОЧЕЧНО ВЫРОЖДЕННЫХ ЛИНЕЙНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ. I
Изучаются свойства точечно вырожденных систем управления. Рассматривается задача полной управляемости линейной автономной системы. Предлагается процедура замыкания этой системы регулятором с запаздыванием так, что замкнутая система становится точечно вырожденной в направлениях, соответствующих фазовым переменным исходной системы. При этом корни характеристического полинома замкнутой системы могут выбираться отрицательными, т.е. замкнутая система оказывается асимптотически устойчивой.
1. Введение. О точечной вырожденности систем с запаздыванием
Пусть движение объекта управления описывается системой
т
(1) х(г) = Ах(г)+^ Агх (г — Ьг) + Ви(г), г> о,
¿=1
(2) х(г)= 'п(т), г е н- = [—Ь, о],
с выходом
(3) у(г) = Сх(г), г е Т = [о,*!], ¿1 > о.
Здесь А, Аг, В, С - постоянные матрицы соответствующих размеров, причем Ат = 0 (то ^ 1); решение х(г) е К™ (п ^ 2); начальная функция п е С = С (Н-, К") - пространство непрерывных функций; управление (или возмущение) и(г) е К (г ^ 1), и е С = С (Т, К) - пространство кусочно-непрерывных функций; выход у (г) е К (г ^ 1); о < ш = < ... < кт = Ь - числа; > о - фиксированный момент времени.
Используя формулу Коши [1], всякое решение векторного уравнения (1) запишем в виде
(4) х(г) = х^(г)+ хи(г), г ^ о,
т О
где хп(г) = ^(г)п(о) + / ^ (г — — т) Агп(т~- невозмущенное движение
¿=1 -нг
г
(и = о) системы (1), (2); хи(г) = § ^(г — г)Ви(т- возмущенное движение сис-
О
темы (1), (2) с нулевой начальной функцией: п = о. Фундаментальная матрица
F(t) € R"x" удовлетворяет [1] уравнению
m
(5) F(t) = F(t)A + ^ F (t - hi) A, t> 0,
i= 1
и начальным условиям:
(6) F(t) = 0, t < 0; F(0) = E,
E - единичная матрица.
Множества Xp = {x^ (t1 )|V^ € С}, Xd = {xu (t1)|Vw € С} при фиксированном t1 -подпространства в R".
Свойство точечной полноты связано с решениями невозмущенной системы (1), (2), поэтому будем считать, что и = 0. Известно, что в случае системы (1) обыкновенных (без запаздывания) дифференциальных уравнений (Ai = 0, г = 1, то)
(7) X р = R"
при каждом ti > 0. Другими словами, для любых x1 € R" и ti > 0 найдется начальное состояние ж(0) = x0, x0 € R", такое, что ж (t1,x0) = x1. Последнее означает, что концы всех собственных движений обыкновенного векторного уравнения (1) заполняют все пространство R". Динамические системы, обладающие таким свойством при любом t1 > 0, Л. Вейс предложил [2] называть точечно полными. Отдельные случаи точечно полных систем (1), (2) с одним запаздыванием были описаны авторами работ [3,4].
Л. Вейс, первым исследовавший проблему точечной полноты, установил [2], что линейная неавтономная система с последействием может не быть точечно полной. В.М. Попов [5] и А.М. Зверкин [6] указали примеры автономных систем вида (1), (2), для которых, начиная с некоторого t1 > 0, значения x(t), t ^ t1, всех решений принадлежат собственному подпространству R". Такие системы были названы точечно вырожденными.
Определение 1. Система (1), (2) (м = 0) называется точечно вырожденной в момент времени t1 > 0, если существует ненулевой вектор g € R" такой, что
(8) g'x^ (t1 ) = 0 VV € С
для всех начальных функций (2). Вектор g называют вектором (направлением) вырождения системы (1), (2). Если такого вектора g не существует, то систему (1), (2) называют точечно полной в момент времени t1.
Из автономности системы (1), (2) следует [5,6], что если она вырождена в направлении g в момент времени t1 , то она точечно вырождена при всех t > t1 , т.е. множеством моментов вырождения в заданном направлении g является полуинтервал [ti,+oo). При фиксированных матрицах A, Ai, г = 1,то, система (1), (2) может вырождаться при не более чем счетном наборе значений h > 0 [6].
В.М. Попов сформулировал [5] алгебраический критерий точечной вырожденности системы (1) (то = 1), в котором проблема точечной вырожденности заменяется проблемой существования решения системы матричных уравнений. Р.Б. Змуд и Н. Маккламрох получили [7] ранговый критерий точечной полноты системы (1) (то = 1), содержащий матричную экспоненту от матриц больших размеров, нежели порядок исходной системы. А.М. Зверкин доказал [6] следующий важный результат (теорема Зверкина): если система (1), (2) (то = 1) точечно вырождена, то ее характеристический квазиполином либо полином, либо содержит полиномиальный множитель. В дальнейшем Ф. Каппел доказал [8], что в случае такой факторизации
в системе (1), (2) с соизмеримыми запаздываниями (Ьг = гш) может быть выделена подсистема с конечным спектром.
Точечная вырожденность системы (1), (2) в момент времени г1 > о равносильна линейной зависимости строк фундаментальной матрицы ^(г), г ^ г1.
Теорема 1 [9]. Система (1), (2) точечно вырождена в момент времени г1 > о в направлении д тогда и только тогда, когда
(9) д'^(г) = о, г > г1.
Заме чание 1. Условие (9) влечет вырожденность матрицы ^(г) для всех г^г1. В изолированные моменты времени фундаментальная матрица системы с запаздыванием (1), (2) может вырождаться и для точечно полных систем.
Пример 1. Возьмем уравнение
х(г) = —х(г — Ь), ь ^ 1.
Вычисляем фундаментальную матрицу
^(г) = —г + Ь + 1, г е [Ь,2Ь].
Отсюда ^(Ь + 1) = о, хотя данное уравнение точечно полное, так как п = 1 [6].
2. Спектральные критерии точечной вырожденности
Пусть Ь(р) - изображение матричной функции ^(г) по Лапласу, р е С, С -множество комплексных чисел. Тождество (9) означает финитность функции д'^(г), отсюда и из теоремы Винера-Пэли [10] вытекает спектральный критерий точечной вырожденности.
т
Обозначим через Ш (р) = р^ — А — ^ Аг е-^' - характеристическую матрицу
¿=1
уравнения (1) и через V (р) - матрицу, присоединенную к Ш (р), тогда Ш (р)V (р) = V (р)Ш (р) = ¿(р)£, ¿(р) = det Ш (р). Теорема 2 [6,9]. Система (1), (2) точечно вырождена в направлении д на полу-
т I-1
р^ — А — £ Аге-^'
¿=1
интервале [г1, те) тогда и только тогда, когда д'Ь(р) = д
целая функция степени г1.
Замечание 2. Аналоги теорем 1 и 2 справедливы [11,12] и для более общих классов систем, например для линейных автономных с распределенным запаздыванием и нейтрального типа.
Пусть р1, рг,..., рг,... - корни уравнения
(10) ¿(р) = о
с кратностями ,^2,... , №,... соответственно. Множество корней уравнения (10), называемое спектром системы (1), (2), обозначим Л. Из теоремы 2 имеем следствие 1.
Следствие 1. Если система (1), (2) точечно вырождена в направлении д, то для любого рг е Л
(11) rank
W (p
9'
< п.
Пусть А(р) =<1еЦрЕ-А),АА = {р{ € Л|Д(р<) = 0,г = 1,1}ис11(р) = 1\(р-р^.
¿=1
Если А а = 0, то (р) = 1. Из теоремы Зверкина [6, теорема 4] и простейших свойств целых функций получается следующий критерий точечной вырожденности системы (1), (2), не требующий вычисления всех корней уравнения (10).
Теорема 3. Система (1), (2) точечно вырождена в направлении д тогда и только тогда, когда д'У (р)/^(р) = д' VI (р)/^ (р), где элементы д'^ (р) - квазиполиномы и функция д'^(р)/^(р) - целая.
Если система (1), (2) вырождается в направлении д, то выбрав ее выход (3) с матрицей С = д', получим систему наблюдения с финитным выходом: ^(¿) = 0, 4 ^ ¿1. Каким свойством будет обладать двойственная к (1)-(3) система управления? Это будет свойство инвариантности: система управления, находившаяся в состоянии покоя, а затем подвергнутая внешнему воздействию «(¿), 4 € Т («(¿) = 0, 4 > ¿1), к моменту времени ¿2 = ¿1 + ^ опять вернется в состояние покоя (ж(4) = 0, 4 ^ ¿2 —
3. Инвариантные поточечно управляемые системы
Пусть х^), ¿ € Т, - решение системы (1), (2) с начальной функцией ^ и воздействием м. Под состоянием системы (1), (2) в момент времени ¿ ^ 0 будем понимать [1] функцию Х( = ж4(т) = х^ + г), г € Н
Наряду с системой (1), (2) рассмотрим [13,14] сопряженную систему (далее звездочка * помечает вектор-строку или векторное пространство, элементы которого записываются в строку)
т
(12) ¿*(т) = -г*(т)А - ^ 2*(т + , г < ¿,
¿=1
(13) + г )= е* (г), г € Н+ = [0,Л], е* € С * = С *(Н+, М™*), с выходом
(14) ™*(т) = 2*(г)В, г < ¿.
Рассмотрим [13,14] билинейную форму Шиманова
т ^
(15) (^*,<р) = (0)^(0) ^у ^*(т^(т - ^ € С, € С*.
¿=1 о
Справедливо [13,14] равенство
а
(16) (2а*,Ха) = (20*,Х0)^У 2*(г)Вм(г)^Т, 0 < СТ < ¿,
о
где 2а* = 2а*(в) = 2*(ст + в), в € Н +, - состояние сопряженной системы (12)-(14), ха - состояние исходной системы (1), (2) в момент времени ст ^ 0.
Задача инвариантности обыкновенной системы (1): А; = 0, г = 1,то, с позиций теории управления подробно исследована в [1].
Считаем, что до момента ¿ = 0 система (1), (2) находится в состоянии покоя: х0 (¿) = ^(¿) = 0, ¿ € Н", и что «(¿) = 0, ¿ ^ ¿1. Тогда в силу (13), (16)
ч
(17) (е * ,Х( 2*(г )Вм(г ¿ ^ ¿1 ^ 0.
Введем определение.
Определение 2. Система (1), (2) называется инвариантной в направлении £* е С *, если для любых воздействий и е С выполняется равенство
(18)
(£* ,xt) = 0, t > i2,
начиная с некоторого г2 > г1. Система (1), (2) называется инвариантной, если она инвариантна в любом направлении £* е С *.
Замечание 3. Система (12), (13) интегрируется справа-налево, поэтому точечная вырожденность системы (12), (13) в момент 71 > о в направлении д = о означает тождество г* (г)д = о, 7 ^ 71.
Пусть Вг, г = 1, г, - столбцы матрицы В.
Теорема 4. Система (1), (2) инвариантна тогда и только тогда, когда сопряженная система (12)—(14) точечно вырождена в направлениях д = Вг = 1,г.
Доказательство. Из (17) получаем, что (18) равносильно г*(т)Ви(т) = о, г е Т, при любом начальном состоянии £ * е С * и любом и е С. Последнее возможно тогда и только тогда, когда г*(т)В = о, 7 е Т, при любом начальном состоянии
€ С*. Таким образом, система (12)—(14) должна быть точечно вырождена в направлениях д = В{, г = 1,г, в момент т\ = ¿1. Следовательно, в определении 2 момент времени гг ^ г1 + (п — 1)Ь. Теорема доказана.
Каковы возможности системы (1),
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.