ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 6, с. 1039-1057
УДК 519.633.9
РАЗРЕШИМОСТИ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ РАССЕЯНИЯ ДВУМЕРНЫХ СЛОИСТЫХ СРЕДАХ
© 2015 г. А. В. Баев
(119992 Москва, Ленинские горы, МГУ) e-mail: drbaev@mail.ru Поступила в редакцию 16.06.2014 г. Переработанный вариант 02.12.2014 г.
Рассмотрены вопросы разрешимости обратных двумерных задач рассеяния для уравнения Клейна—Гордона и системы Дирака в локальной по времени постановке в рамках метода Га-леркина. Получено необходимое и достаточное условие однозначной разрешимости этих задач в форме закона сохранения энергии. Установлено, что обратные задачи разрешимы только в классе таких потенциалов, что для них разрешимо стационарное уравнение Навье— Стокса. Библ. 19.
О i-ЛОКАЛЬНОЙ В
Ключевые слова: уравнения — акустическое, Клейна—Гордона, Шрёдингера, Риккати, На-вье—Стокса, Гельфанда—Левитана, Вольтерра, система Дирака, разрешимость обратных задач рассеяния.
Б01: 10.7868/80044466915060046
ВВЕДЕНИЕ
В работе рассматриваются обратные задачи, связанные с уравнением акустики р„ = ^ё1у(1/р§гаёр), где р(г, 0 — малые отклонения давления от равновесного значения, р(г) и Х(г) — плотность и коэффициент объемного сжатия среды — гладкие функции текущей точки г, ? — физическое время.
Введением переменных параметров среды — скорости звука а(г) = /р и акустического импеданса к(г) = „/Хр — исходное уравнение приводится к видурп = акё^а/^гаёр). Это уравнение нередко используется в геофизике при моделировании процессов распространения упругих волн сжатия (Р-волн).
Известно (см. [1]—[4]), что в общем случае по данным рассеяния скорость распространения волн в среде не восстанавливается. Этот факт, с одной стороны, затрудняет интерпретацию данных рассеяния, в частности при решении обратной динамической задачи сейсмики в акустической постановке. С другой стороны, это обстоятельство позволяет качественно оценить строение неоднородной среды при априорном задании скорости, определение которой является самостоятельной задачей. Так, в разведочной геофизике априорная скоростная модель формируется на основе решения обратной кинематической задачи сейсмики, а также на основе данных, получаемых при бурении исследовательских скважин.
Пусть в обратной задаче физической среды априори назначена скорость а (г), а определению подлежит акустический импеданс к(г). Поскольку в работе рассматриваются слоистые среды, то полагаем, что скорость зависит лишь от одной переменной т.е. а = а(£,). В геофизике такой переменной, как правило, является глубина. В то же время для функции к(£,, п), где (£,, п) — декартовы координаты, справедливо неравенство |дк/дп| ^ |дк/д£,|, что является проявлением слоистости среды. Считаем также, что к(0, п) известно.
Введем, далее, эйконал х(%) = Г и положим а(0) = 1, у = п. Тогда уравнение (1) с по-
■'0
мощью замены Лиувилля приводится к виду
= ™хх + е2(х)- д(х, у)п, (1)
где с(х) = а(£,(х)) (функции £,(х) и х(%) взаимно обратны), а потенциал q(x, у) выражается через импеданс ст(х, у) = к(£,(х), у):
Я = V2у + |Усу|2, у(х, у) = - 1пл/ст, Ус = {дх, с(х)ду}.
Очевидно, что уравнение (1) можно рассматривать и для произвольного непрерывного коэффициента q(x, у), т.е. не представимого в указанном виде.
В случае с(х) = 1 рассматривается также "укороченное" уравнение акустики
= Кхх + 2z(x, уК + wyy, (2)
где г = ух(х, у) — коэффициент рассеяния вдоль оси x. Если, кроме того, зависимости от у нет, то (1) и (2) эквивалентны, а их коэффициенты связаны уравнением Риккати: г' + г2 = q(x).
Как отмечено выше, одним из возможных подходов к решению обратной задачи рассеяния является априорное задание скоростной модели среды. Восстановленный по данным рассеяния и заданной скорости импеданс к(%, п) в геофизике называется глубинным разрезом. Если же положить с(х) = 1, то ст(х, у) определяет так называемый временной разрез, что объясняется физическим смыслом переменной эйконал.
Основной трудностью при обосновании подобного подхода к решению обратной задачи рассеяния является разрешимость. Конкретно вопрос ставится так: каким образом изменение скоростной модели среды влияет на существование решения обратной задачи, т.е. на возможность определения упругих параметров среды. Решение этой проблемы во многом определяет значимость результатов, получаемых в ряде важных практических приложений обратных задач теории рассеяния, в частности в наземной и скважинной сейсморазведке.
При построении временного разреза среды будем использовать эквивалентную (2) ¿-гиперболическую (по Фридрихсу) систему
V, + Vx + 1(х, у)( V + и) - Ыу = 0, и, - Ых - г(х, у)( V + и) - Vy = 0, (3)
где
v(x, у, 0 = 0.5( Ых - к, + К у), и (х, у, 0 = 0.5 (к + к, - Ыу).
Уравнения (1) и (3) рассматриваются при х > 0, —да < у < да, I > 0 и нулевых начальных данных. Если зависимости от у в (3) нет, то римановы инварианты V, и имеют смысл падающих в направлении роста х и рассеянных в обратном направлении плоских волн. Заметим, что как (1), так и (3) являются математической моделью различных волновых процессов, в том числе и квантовоме-ханических.
Одним из основных результатов работы является необходимое и достаточное условие разрешимости обратной задачи рассеяний для задач (1) и (3). Показано, что таким условием является выполнение закона сохранения энергии. Это выражается в том, что поток энергии, посылаемой от границы произвольным источником колебаний, больше потока энергии рассеянных в обратном направлении волн. Впервые условие разрешимости в такой форме получено автором в [5], [6] для одномерной среды. Предложенный в настоящей работе подход допускает обобщение на случай слоистых сред в пространствах произвольной размерности и, тем самым, позволяет обосновать существующие методы интерпретации данных наземной и скважинной сейсморазведки.
Есть все основания полагать, что полученные в наблюдениях данные рассеяния удовлетворяют закону сохранения энергии. Тогда, приписывая эти данные другой модели среды — в нашем случае (1) или (3), — устанавливаем разрешимость соответствующих обратных задач рассеяния. Заметим, что подобный, причем далеко не очевидный, подход уже давно используется в разведочной сейсмике при построении глубинных и временнь1 х разрезов геологических сред (см. [7]).
В качестве основного способа исследования двумерных обратных задач в работе использован метод Галеркина, позволяющий свести многомерные обратные задачи к одномерным. Проекционный метод, впервые использованный в форме метода Фурье в [8], [9], впоследствии (наряду с ВС-методом, (см. [4]) стал основным способом исследования много мерных обратных задач (см. [10]—[12]). На базе подобного подхода в статье получен матричный аналог интегральных уравнений типа Гельфанда—Левитана и, тем самым, построена линейная схема решения обратной задачи рассеяния в локальной постановке, развитая в [1]—[6], [8]—[15].
1. ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ РАССЕЯНИЯ В РАМКАХ МЕТОДА ГАЛЕРКИНА
1.1. Начально-краевая задача для системы Дирака
Пусть г(х, у) е С(Б), где Б = {х, у\х > 0, —да < у < да}. Поставим для (3) в Б при I = 0 и на дБ = Б п п {х = 0} при I > 0 следующие начальные и краевые условия:
V(х, у, 0) = и(х, у, 0) = 0, v(0, у, 0 + и(0, у, ,) = ф(у, ,), (4)
где ф — непрерывно дифференцируемая функция. Предположим далее, что г и ф являются 2Ь-пе-риодическими по у функциями, и пусть они представимы конечными рядами Фурье:
г = X г»(х) ехр {'}, ф = X ф»(ехр {'}, = П». (5)
|»| < N |»| < N
Дальнейшее рассмотрение как прямой, так и обратной задачи для (3) проведем в рамках проекционного подхода, в качестве варианта которого взят метод Галеркина. Выбор координатной системы при этом во многом определяется свойствами исходной задачи. Поскольку в работе рассматриваются задачи рассеяния в горизонтально-слоистых неоднородных средах, то в качестве базиса использована соответствующая представлениям (5) тригонометрическая система в комплексной форме с фиксированными Ь, N.
Покажем, что в рамках метода Галеркина система (3) имеет решение, также представимое в виде конечного ряда, аналогичного (5):
V = X ^»(х, 0 ехр {Щ»у}, и = X и»(х, 0 ехр {/ц»у}.
|»| < N |»| < N
Из (3) и (4) находим, что ип при п е N где N = {0, ±1, ..., ±N1, являются при х, I > 0 комплексным решением следующей начально-краевой задачи для гиперболической системы 2(2N + 1) уравнений
д, V» + дхV» + X £„-/ (х)(V + и) -1^„и„ = 0,
/ < N
^ (6)
ди„- дхи„- X 1„-/(х)(V + и1) - = 0
/ < N
V»(х, 0) = и»(х, 0) = 0, V»(0, 0 + и„(0, 0 = ф„(0.
Докажем, что задача (6) имеет единственное классическое решение при выполнении условий согласования фп(0) = ф» (0) = 0. Введем комплексные вектор-функции v(x, I) = {vn}, u(x, I) = {ип}, Ф(0 = {фп}, а также (2N + 1) х (2N + 1)-матрицы: эрмитову Дх) = ||гпу(х)||, где = 1п_Л- при |п — Л| < N и г„Л- = 0 при |п — Л| > N, и диагональную М = ё1а§{цп} для п,Л е N.
Запишем уравнения (6) в векторной форме (далее все векторы понимаются как вектор-столбцы):
V, + \х + Z(x)(V + и) -1Ми = 0, и( - их -Z(x)(V + и) - ¡И\ = 0, сделаем замену ^ —ехр<! I {v, В результате приходим к задаче, эквивалентной (6):
и
V, + Vx + Z*(x)u = 0, и, - их - Z(x)V = 0, (7)
V(х, 0) = и(х, 0) = 0, v(0, 0 + и(0, 0 = Ф(0,
где введены обозначения Z = Д + 1Ши Z* для эрмитово-сопряженной матрицы.
Проинтегрируем уравнения (7) вдоль соответствующих характеристик в области Б0 = {х, 1х > t > 0}. С учетом начальных условий получаем
х х + г
v(x, г) = - | г - х + ^, и(х, г) = | Д^М^, г + х - ^.
х - г х
Поскольку это система однородных интегральных уравнений типа Вольтерра II рода, то с помощью стандартных рассуждений находим, что у(х, 1) = и(х, 1) = 0 в рассматриваемой области.
Аналогично, в области Б1 = {х, >х > 0}, после интегрирования уравнений (7) вдоль соответствующих характеристик (с учетом краевого условия и установленного равенства V, и нулю в Б0), приходим к следующей неоднородной системе интегральных уравнений типа Вольтерра II рода:
(г - х)/2 х
У(х, г) = - | Д^м^, г - х - ^ - ¡¿* (£,) и (£,, г - х + + Ф(г - х),
0 0 (х + г)/2
и(х, г) = | д^)Vг + х - %)^.
0
С помощь
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.