ТЕПЛОФИЗИКА ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУР, 2004, том 42, № 5, с. 796-801
УДК 533.72
О ТЕМПЕРАТУРНОЙ ЗАВИСИМОСТИ КОЭФФИЦИЕНТОВ ТЕПЛОВОГО И ИЗОТЕРМИЧЕСКОГО СКОЛЬЖЕНИЯ ДВУХАТОМНОГО ГАЗА С ВРАЩАТЕЛЬНЫМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
© 2004 г. А. Б. Поддоскин
Московский государственный университет прикладной биотехнологии Поступила в редакцию 05.02.2004 г.
Предложено модельное кинетическое уравнение для двухатомных газов с вращательными степенями свободы молекул. Свободные параметры модели связываются с парциальными факторами Эй-кена. На основе этой модели решена задача о скольжении двухатомного газа вдоль плоской поверхности. Получены коэффициенты теплового и изотермического скольжения в виде функций, зависящих от коэффициентов переноса, частоты неупругих столкновений молекул газа друг с другом и, как следствие, от температуры.
ВВЕДЕНИЕ
Граничной задаче скольжения газа вдоль поверхности посвящено значительное количество работ (см., например, [1-12]). В случае одноатомного газа газокинетические коэффициенты теплового КТ5 и изотермического Ст скольжения вычислялись с применением модельных кинетических уравнений [1, 5] и с использованием линеаризованного уравнения Больцмана [2-4], [6-9]. Задача о скольжении решалась как приближенными методами, так и точными, например, численно [7], причем процесс столкновения молекул газа моделировался в виде взаимодействия молекул-твер-дых сфер, посредством потенциала Леннарда-Джонса [9] и т.д.
В отличие от простого (одноатомного) газа молекулы двухатомного и многоатомного газов обладают внутренними степенями свободы, что существенно усложняет кинетическое уравнение [13]. Как показывают расчеты, для таких газов, как К2, 02 и другие, в диапазоне температур 101000 К колебательные степени свободы можно считать "замороженными", а вращательные степени свободы можно рассматривать на основе классической механики. Однако отсутствие надежных моделей потенциала межмолекулярного взаимодействия приводит к необходимости построения модельных кинетических уравнений [14, 15]. В частности, для решения граничной задачи в [15] использовалась кинетическая модель, которую можно рассматривать как обобщение модели Бхатнагара, Гроса и Крука (БГК-модели). Как известно [16], одним из недостатков БГК-модели является то, что при решении задач с одновременным тепло- и массопереносом возникает неоднозначность выбора свободного параметра модели,
что характерно также и для обобщенной модели [15]. Поэтому в [10] было предложено модельное уравнение, которое содержит два свободных параметра и тем самым устраняет данный недостаток. В рамках модели [10] был рассчитан весь комплекс газокинетических коэффициентов скольжения и скачков макропараметров двухатомного газа на слабо искривленной поверхности [11]. Для многоатомного газа аналогичные расчеты были выполнены в [12].
В настоящей работе путем развития подхода [10] предложено модельное кинетическое уравнение для двухатомного газа с вращательными степенями свободы молекул. Свободные параметры этой модели выражены через парциальные факторы Эйкена [17, 18]. С помощью этого модельного уравнения решена задача о скольжении двухатомного газа вдоль плоской поверхности. В результате для двухатомных газов получены коэффициенты КТЗ и Ст, которые зависят от теплофизических параметров газа, числа неупругих столкновений молекул газа друг с другом и, как следствие, от температуры газа, а также от коэффициента аккомодации тангенциального импульса.
В работе [11] уже отмечалось, что некоторые из коэффициентов скольжения и, в частности, коэффициент теплового скольжения, зависят от температуры газа.
Модельное кинетическое уравнение. При рассмотрении стационарных задач в линейной постановке функцию распределения молекул двухатомного газа можно записать в виде [10]
/(г, у,ш) = /о( 1+ Ф(г, у,ш)), (1)
где первого порядка, получим функцию распределе-
ния вида
, ( т Л3/2( I Л ( тч /ю2 Л 2 2
/0 - СйУехрС2кТГ2кд■ Г™ - /о( 1 + V + (с2 + сЮ-5/2)т + 2с«аа + фСЛ),(4)
2
Здесь/0 - равновесная максвеловская функция Фсл - а1са<?а(5/2 - с ) +
распределения; I - момент инерции молекулы; т, V и ю - масса, линейная и угловая скорости молекулы; к - постоянная Больцмана; Т0 - равновесная „де температура газа.
2
+ а2са8а(1 - сю) - Ь1 сасрПа|3'
Нормировка/0 соответствует соотношению 0 - дГ п - I т
X ГУ — -ч * 1 1™ 13 / ^ , _ -ч
- |/0юёюсГ'ч,
Яа ТоЭХа' ав л/2 кТо Эха'
В (4) по повторяющимся греческим индексам проводится суммирование. Функция распределения (4) совпадает с функцией распределения Чеп-мена-Энскога [13].
В настоящей работе предлагается модельное ^ ^ й й
^ ^ Параметры модели (2) е, с,, с2 связаны с а,, а2,
[ТАТЧТТТАГЧ^/ЧА О ВТ! АТТТТ А ТТТТСГ Т'/ЧЛТ ТТ/ЧГ/Ч ГО^О С ^ Г ^ \ / 7 ^ 2
в котором п0 - числовая равновесная концентра ция молекул газа.
кинетическое уравнение для двухатомного газа с , г г
^ ^ , Ь, соотношениями
учетом вращательных степеней свободы 1
с - + (с2 + сЮ-5/2)х + 2(еС) + (2) е - ^ С1 - 4С1 -2bllJ' ^ - 2(1 -2оТ2
+С1(е0 )(с - 5/2) + с2(е0 )(сю - 1) - ф)> Вычисляя с помощью функции (4) потоки тепла
_ г г Я_а - ?а + ?а
где с2 = тЧ/(2кТ0); сю = 1ю2/(2кТ,); V = (п - ПО/П), - РфкТ^/т^., ^ - Ро^Ттй^ т = (Т - Т0)/Т0 - отклонения от равновесных значений концентрации и температуры; в = 7т/2кТ 0 и -
безразмерная скорость; Qt и Qг - безразмерные со- и тензор напряжений
ставляющие потока тепла, связанные с переносом -2 р (сс ^ ) - 2 р С
поступательной (трансляционной) энергии молекул Рав - 0(СаСк) - 0 ав'
и переносом вращательной (ротационной) энергии; получим е, Сь С2 - свободные параметры модели.
тч п^т « » ~Ск Ь1 , 5а1 , а2
В отличие от модели [10] В (2) разведены по- та|3 - -у Па|3' Уар ---Т"Яа' Уар - патоки Qt и Qг, при этом появляется дополнительный параметр С2. Сравнивая последние выражения с гидродина-Используя обозначение [10] мическим определением тензора напряжений (закон Ньютона) и вектора теплового потока (закон г - с2- с2 г?с 2 Фурье), находим (ф,Т) - Ге ЮФТ%сЮ' (3) _ _
п ь - 4- _т_ - 4? а - ТТ / т х
моменты V, т, тг, тг, О, Qt, Qгмогут быть представ- р0Ц2кТ0 ТП 5Р0Н2кТ0
лены следующим образом: Т 1-
- 2 -00 I т хг
2(( 2 2 5Л ^ ^ ^ а2 - 2Р^2кТ0Х '
V - (1,Ф)' т - 5II с + сЮ - 2 )' Ф)' О - (е, Ф)'
где ц - коэффициент динамической вязкости, X и -ч ч Хг - коэффициенты переноса поступательной
% - -(| с2 - - ф|' тг - ((сЮ-1), Ф)' и внутренней (вращательной) энергии, ? =
3 и 2 .
= ц/р^пт/(2кТ0) - средняя длина свободного
^ - ( ( 2 - ФЛ Qг - ( ( 2 - 1) Ф) пр°бега молекул газа.
Q СеСс -"J /' Q (е(сю 1) 'Ф)' Воспользуемся определениями полного/, пар-
циальных (трансляционного)/г и ротационного / Здесь тг и тг - отклонения трансляционной и факторов Эйкена [13] ротационной температур от равновесной. , г
Применяя метод Чепмена-Энскога к уравне- / - / - -7—' / -
нию (2) и ограничиваясь при этом приближением с~ч ц счц счц
798
ПОДДОСКИН
в которых cv - удельная теплоемкость при постоянном объеме, с\г и с\г - удельные теплоемкости, обусловленные энергией поступательного движения и внутренней (вращательной) энергией молекул. Тогда параметры модели можно записать как
-З?) • ^ (/
В работах [17, 18] были получены р, /, /, имеющие следующий вид:
t _ 5-10C_ e | f 2 3п ¿ZSl 2 Pr|'
fr _ в'
'i 2 f5 й,
1 + 5:" в
ft _ 15k cver
f _ 4cV + c"P - rcZ5l2
5- p'1 2,
(5)
(6)
(7)
где
Скольжение двухатомного газа. Рассмотрим задачу о скольжении двухатомного газа вдоль плоской поверхности. Направим ось ОХ декартовой системы координат перпендикулярно поверхности, а ось ОУ вдоль нее, в направлении градиента температуры. Вдали от поверхности, вне слоя Кнудсена, газ описывается функцией распределения Чепмена-Энскога, которая для условий поставленной задачи имеет вид
fch _ f о (1+ ^Ch) _ f о (1+2 OyGM -
(8)
- Ь CxCy П xy - aí (c -5/2) Cygy - a1 (cю - 1) Cygy).
Параметр Gy(^) представляет собой скорость теплового скольжения газа [16].
Около поверхности функция распределения отличается от (8) из-за рассеяния поверхностью молекул газа, поэтому, обозначая через Ф функцию, описывающую поведение газа в слое Кнудсена, имеем
f _ fo(1+ ^Ch + Ф).
(9)
5 + 4 + .
Отметим, что формулы Мэзона-Мончика (5)-(7) справедливы в общем случае вращательно- и колебательно-возбужденных молекул. В то же время в настоящей работе внутренним степеням свободы соответствуют только вращательные моды, поэтому в формулах (5)-(7) используются следующие обозначения: Ъ = 16x^/(5 я:тс) - число неупругих столкновений или интенсивность обмена энергией между поступательными и внутренними (вращательными) степенями свободы;
-1 „ -1 тс - частота упругих столкновений; т(г - частота
неупругих столкновений, сопровождающаяся обменом энергии между вращательными и поступательными степенями свободы (КГ-обмен); вг = Ог - коэффициент диффузии внутренней энергии молекул.
Для проведения конкретных расчетов можно воспользоваться экспериментальными данными для коэффициентов переноса и теплоемкости (см. например, [19]), а значения интенсивности обмена энергией Ъ взять из результатов ультразвуковых измерений [20, 21] или использовать формулы для указанных величин, полученные в рамках других теорий (см. [13]).
Параметры в уравнении (2) определяются величиной факторов Эйкена /', /г, следовательно, параметры модели (2) однозначно установлены.
Легко проверить, что из модели (2) получаются все законы сохранения.
В условиях настоящей задачи модельное кинетическое уравнение (2) для Ф записывается следующим образом:
Cx^Т- _ 2cyGy + CyQ'y(c2 - 5/2) +
dxo
(10)
+ ^CyQTy(4 -1) - Ф,
где x0 = ex.
Задачу будем решать методом полупространственных моментов (см. например, [10]). Функцию Ф ищем в виде
Ф _ п(+) • Ф+ + п(-) • ф-, П(±) _ ^(1 ± signcx), signCx _ 1, для Cx > 0; signCx _-1, для Cx < 0;
(11)
Ф _ Cya0(x) + cxcya±(x) + Cy(c -5/2)a±(x) +
+ Cy( 4 - 1) a2( x). Умножая уравнение (10) последовательно на n(±)Cy exp(-c2 - 4), n(±)cycxexp(-c2 - 4), n(±)Cy(c2 -
1 \avr\i ^ _ ^
- 5/2) ехр(-с2 - сю), П(±)су(с2 - 1)ехр(-с2 - сю) и интегрируя по всему пространству скоростей (у, ю), получим систему моментных уравнений для коэффициентов
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.