ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 3, 2015
УДК 621.833-752
© 2015 г. Косарев О.И.
О ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ОСНОВАХ ФЛАНКИРОВАНИЯ И ПРОФИЛЬНОЙ МОДИФИКАЦИИ ПРЯМОЗУБЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПЕРЕДАЧ
Институт машиноведения им. А.А. Благонравова РАН, г. Москва
Показано, что фланкирование и профильная модификация прямозубых цилиндрических передач нуждаются в теоретическом обосновании. Предложено выполнять профильную модификацию зубьев на основе математического моделирования.
Постановка задачи. Фланкирование и профильная модификация зубьев давно и широко применяются в машиностроении. Целью данной работы является уточнить понятия фланкирования и профильной модификации зубьев и показать ошибки и недостаточность их теоретического обоснования. Проблема рассматривается применительно к высоко нагруженным точным зубчатым передачам, в которых деформации превышают ошибки изготовления. Такие передачи применяются в перспективных машинах и механизмах повышенной ответственности.
Поскольку фланкирование и профильная модификация проводятся для снижения вибраций, напомним, что основными вынуждающими факторами в прямозубых передачах, возбуждающих колебания с зубцовой частотой f и ее гармониками, являются: переменная жесткость зацепления, ошибка шага зацепления, импульсное нагружение зубьев и профильная погрешность.
Переменная жесткость (деформация) зацепления связана с изменением числа одновременно находящихся в зацеплении зубьев. Основными параметрами ее являются коэффициент торцевого перекрытия sa и передаваемая нагрузка (жесткость одной пары зубьев принимается постоянной). Ошибка шага зацепления А0 равна разности погрешностей основных шагов зубьев ведомого и ведущего колес. Функция во времени A0(t) является вынуждающим фактором, характеризующим изменение мгновенного передаточного отношения. Кроме того, ошибка А0 входит в приведенную ошибку 8, играющую важную роль во фланкировании, 8 = w0 + А0, где w0 — деформация впереди идущей пары зубьев (однопарного зацепления). Импульсное нагружение — это внезапное (за короткое время скачком) приложение нагрузки к зубьям при определенных начальных условиях (на практике это «10-3 с). Профильная погрешность — это отклонения профиля зуба от теоретически правильной эвольвенты, возникающие в результате изготовления или износа зубьев.
Фланкирование. Ударная модель. По утверждению автора теории фланкирования, основанной на ударной модели зубчатой передачи, цель фланкирования — устранение ударов зубьев [1]. Согласно ударной модели, два твердых тела с массами ml и m2 соударяются со скоростью удара V0 через упругую прокладку. Процесс удара описывается уравнением [2]
тх + сх = 0
(1)
с начальными условиями при ? = 0: х(0) = 0, х'(0) = У0, где т = т1т2/т1 + т2, х — перемещение, с — жесткость прокладки (зубьев). Из решения уравнения (1) следует, что
максимальная сила удара Ру = К0Л/Ст , где V = ю2 ■ 28 • а , ю2 — угловая скорость вращения ведомого колеса, а — геометрический параметр. Эта модель имеет ряд недостатков, о которых сказано ниже.
Из ударной модели следует, что для компенсации ошибки 8 фланкировать (срезать) надо кромку зуба на величину 8. Однако ГОСТы не ограничиваются кромкой и распространяют фланкирование на достаточно протяженный участок по длине зуба. Параметры фланкирования: глубина фланкирования, т.е. фланк аф, в первом ГОСТ 3058-45 определен аф = 8, а в последующем ГОСТ 13755-81 указан верхний предел фланка аф < 0,02т с градацией аф по модулям т и степеням точности.
Конкретная протяженность (длина) фланкирования не определена. Длину фланкирования кф рекомендовано выбирать в пределах кф = (0—0,45)т. Граничная величина к* = 0,45т выбрана из условия, чтобы оставшийся коэффициент перекрытия был не менее е = 1,1. При этом граничная величина к* определена неправильно. Ошибка обнаруживается просто. Согласно [1], остающийся коэффициент перекрытия и длина фланка кф связаны соотношением
е = 4 (/ - Нф/т)/п 8т2ао, (2)
где а0 — угол инструмента. Естественно, когда фланка нет, т.е. кф = 0, остающийся коэффициент е равен исходному, е = Еа. Если в (2) примем кф = 0, то при /р = 1 и а0 = 20° получим Еа = 1,98, т.е. для других Еа формула (2) не пригодна. В [1] не только не указывается конкретная величина кф, но и умалчивается о том, в каком месте профиля зуба фланкированные зубья должны входить в зацепление и начинать нагружаться. В результате этих недомолвок конструкторы оказываются дезориентированными в вопросах выбора длины кф и формы фланкирования и границы к*. Такие неконкретные предложения и неправильные рекомендации вряд ли могут составить теоретическую основу фланкирования.
Кромочное зацепление зубьев. В результате дальнейших исследований было установлено, что ударная модель при х0 > Л0 не верна, и получена уточненная модель — модель кромочного зацепления зубьев [2, 3]. В этой модели при сохранении соудареняи зубьев учтено, что соударяются с начальной скоростью У0 именно зубья (пружины), а не массы колес т1 и т2. Учтено, что в процессе соударения зубьев участвует впереди идущая, ранее нагруженная пара зубьев, которая передает часть своей нагрузки последующей соударяющейся паре зубьев. Учтено, что начальные условия колебаний зубчатых колес определяются перемещением и скоростью их в конце предыдущего отрезка колебательного процесса. Кромочное зацепление зубьев, начинающееся преждевременно и происходящее вне теоретической линии зацепления, может быть представлено уравнением [3] ра + Р1 + Р2 = Р при начальных условиях
а(0) = ан, а(0) = ан, где р = 1Х^Д1Х^ + ^), а = ф^ - ф2^,
2
Р1 = с:ан, Р2 = с2(а - ан) + с28/(г), /(г) = 2X - X при гн < г < г0,
X = (г - ?н)Дк, гк = (л/25Га)ю-1, Ко = 28Дк;
Р: и Р2 — нагрузки на предыдущей и входящей в зацепление парах зубьев; Р — статическая нагрузка в зацеплении; 11,12 — моменты инерции; и ф2 — углы поворота; г1, г2 — радиусы зубчатых колес; с1 = с2 = с — жесткости пар зубьев; ?, (н — текущее и начальное время; ?к = ^ — ?н — время кромочного зацепления зубьев.
В этой модели соударение зубьев не является главным фактором. Главными параметрами модели, определяющими возбуждение колебаний, являются: приведенная ошибка 8, функция f(t), нагрузка P и начальные условия (ан, а н).
Профильная модификация. Применяемая на Западе профильная модификация зубьев отличается от фланкирования тем, что четко определяет цель и все параметры модифицированного профиля зуба [4, 5]. Критериями оценки колебаний зубчатой передачи в Америке является "линейная погрешность шага" (ЛПШ) [5], а в Англии и Германии — "трансмиссионная ошибка" (ТО) [4]. По существу эти критерии идентичны и представляют собой функцию изменения деформации зацепления во времени y(t). Цель профильной модификации — получить ТО в виде прямой линии, т.е. y(t) = const. Параметры модифицированного профиля: глубина Дф = 8 (при А0 = 0), длина модификации hm распространяется на всю зону двухпарного зацепления hm —»- (б„ — 1)T, (это "длинная модификация" и есть еще "короткая" с длиной 0,5hm), Tz — период зубцовой частоты. Модифицированные профили зубьев участвуют в зацеплении по всей длине hm. На рис. 1, a показаны нагрузки в трех подряд идущих парах зубьев за 2Tz (Tz соответствует к = 64) в немодифицированной передаче. Нагрузка в одной паре зубьев имеет участки 1—5. Нагрузка в той же паре зубьев в модифицированной передаче показана на рис. 1, б, участки 1—3. Для получения двух наклонных пересекающихся в точке С линий нагрузок профилируются головки зубьев ведущего и ведомого колеса. На ведомом зубе глубина модификации 81 линейно уменьшается от 8 до нуля, а на ведущем зубе она 82 синхронно увеличивается от нуля до 8 так, что 8i + 82 = const. По мнению авторов [4, 5], в результате такой модификации функции ЛПШ и ТО становятся постоянными во времени величинами, что означает отсутствие колебаний зубчатой передачи.
Проанализируем этот вывод. Если записать нагрузки на зубьях, учитывая зазоры во входящей P2 и выходящей P1 парах зубьев так, как это делается в расчетной схеме [5]
Pi = c(y - 8,), P2 = c(y - 82), 8, = 8q, 82 = 8( 1 - q),
q = (г - )/(6a - 1), Pi + P2 = P = c(2y - 8),
то из уравнения (3) получаем постоянную величину y = 0,5(P/c + 8) = w0. Но этот результат противоречит основам физики потому, что в точке C, где при Z = 0,5 зазоры равны, деформация должна быть y = 0,5w0. Рассмотрим модель, состоящую из двух пружин, нагруженных силой P и имеющих зазоры 81 = 0,258 и 82 = 0,758. Разная нагру-женность пружин определяется их относительной (по отношению друг к другу) разно-зазорностью. Чтобы исключить из уравнений люфт и определять деформацию, обусловленную разнозазорностью, нужно вычесть (убрать) в обоих выражениях нагрузок меньший зазор 81 и тем самым начинать отсчет деформации от начала деформирования первой пружины. В этом случае нагрузки в пружинах, например, на временном участке до точки C, будут выглядеть так P1 = cz, P2 = c[z — 8(1 — 2q)]. Из условия равновесия P1 + P2 = P получим P = c(2z — 8(1 — 2q)). Отсюда определяется переменная деформация z и ее величина z = 0,5w0 в точке C. Правильная расчетная функция деформации зацепления y в модели зубчатой передачи показана на рис. 2, линия 2. Такой же результат получается и для "короткой" модификации. Таким образом, рассмотренная версия постоянства ТО не верна и не может составить теоретическую основу профильной модификации зубьев.
Экспериментальные исследования. Известны две большие экспериментальные работы. Первая проводилась в ЦНИИТМАШ и была направлена на проверку ударной модели [6]. Условия ударной модели специально создавались так, что ошибки шага зацепления А0 в 2—3 раза превышали деформации, передачи работали с полным размыканием зубьев. Останавливаться на этих испытаниях не будем, так как они не имеют отношения к высоконагруженным и точным передачам.
Вторая работа проводилась совместно лабораториями ИМАШ РАН и завода № 300 [6]. Авторами эксперимента сделан вывод о том, что фланкирование существенно улучшает эксплуатационные качества. Однако этот вывод не очень согласуется (в оценке существенно) с приведенными в [6] данными. Полученный положительный э
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.