АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ВЕСТНИК, 2015, том 49, № 1, с. 54-64
УДК 521.3
О ТОЧНОСТИ АППРОКСИМАЦИИ ДВИЖЕНИЯ МАЛОГО НЕБЕСНОГО ТЕЛА ПРОМЕЖУТОЧНЫМИ ВОЗМУЩЕННЫМИ ОРБИТАМИ, ПОСТРОЕННЫМИ ПО ДВУМ ВЕКТОРАМ ПОЛОЖЕНИЯ И ТРЕМ НАБЛЮДЕНИЯМ © 2015 г. В. А. Шефер1, О. В. Шефер2
Научно-исследовательский институт прикладной математики и механики Томского государственного университета, Томск 2Институт кибернетики, Томский политехнический университет, Томск e-mail: shefer@niipmm.tsu.ru Поступила в редакцию 07.03.2014 г.
Рассматриваются предложенные ранее первым автором промежуточные возмущенные орбиты, определяемые по двум векторам положения и трем измерениям угловых координат малого небесного тела. Теоретически показывается, что при малом опорном интервале времени, охватывающем измерения, эти орбиты по степени аппроксимации реального движения приблизительно соответствуют орбите с касанием третьего порядка. Чем меньше опорный временной интервал, тем лучше выполняется это соответствие. Выводятся законы изменения погрешностей методов построения промежуточных орбит в зависимости от длины опорного интервала времени. Согласно этим законам скорость сходимости методов к точному решению при сокращении опорного интервала времени на два порядка выше, чем в традиционных методах, использующих невозмущенную кеплеров-скую орбиту. Рассматриваемые орбиты являются одними из наиболее точных среди множества орбит своего класса, определяемого порядком касания. Теоретические результаты исследования подтверждаются численными примерами.
Ключевые слова: промежуточная возмущенная орбита, сверхоскулирующая орбита, определение первоначальной орбиты, метод Гаусса нахождения предварительной орбиты.
doi: 10.7868/S0320930X15010077
ВВЕДЕНИЕ
В работах (Schäfer, 2002; Шефер, 2003а; 20036) на основе развитой ранее теории сверхоскулиру-ющих орбит (Шефер, 1998а; 19986; Shefer, 2002a; 2002b) предложены методы построения промежуточных возмущенных орбит малых небесных тел по минимальному числу граничных условий. Это метод вычисления промежуточной орбиты по двум векторам положения и соответствующему интервалу времени и метод определения промежуточной орбиты по трем положениям на небесной сфере и соответствующим моментам времени. Методы позволяют учитывать основную часть возмущений в движении исследуемого тела. Построение орбит опирается на идею ввода фиктивного притягивающего центра с переменной массой. Движение по орбите относительно фиктивного центра описывается уравнениями задачи Гюльдена—Мещерского. Принимается, что гравитационный параметр, определяющий промежуточное движение, изменяется в соответствии с
первым законом Мещерского вариации массы. Этот параметр может принимать не только положительные, но и отрицательные значения. Предполагается, что в общем случае фиктивный центр движется прямолинейно и равномерно. Таким образом, промежуточное движение складывается из движения фиктивного центра и движения относительно этого центра. Решение для промежуточного движения может быть представлено в замкнутой аналитической форме.
В данной статье рассматривается вопрос о точности аппроксимации возмущенного движения предложенными в (Schäfer, 2002; Шефер, 2003а; 2003б) промежуточными орбитами. Формулируются и доказываются два утверждения о законах изменения погрешностей методов построения промежуточных орбит. Справедливость этих законов подтверждается численными примерами.
ПРОМЕЖУТОЧНЫЕ ВОЗМУЩЕННЫЕ ОРБИТЫ.
ФОРМУЛИРОВКИ УТВЕРЖДЕНИЙ
Рассмотрим движение тела пренебрежимо малой массы (малое тело: астероид, комета, крупный метеороид, космический аппарат) под действием ньютоновского притяжения системы точечных масс (Солнце, планеты, спутники планет). Для изучения движения малого тела построим трехосную прямоугольную невращающуюся систему координат с началом, совмещенным с одной из притягивающих масс (основное тело). Дифференциальные уравнения движения в этой системе координат запишем в форме
x = -K x + F = G,
(1)
xft) = Xi, x(t3) = x3
(3)
Приведем необходимые нам формулы, связанные с построением орбиты S2.
Согласно 803а требуемые для орбиты S2 граничные условия запишем в виде
ч* = ч] = х]- 2], <1 * = <1 ] = х] = С-; } =13 (4)
где Zу■ — вектор положения фиктивного притяги-
*
вающего центра в момент у; ч* — векторы положения малого тела на реальной и промежуточной орбитах относительно фиктивного центра в момент ■
Из условий (4) и уравнений промежуточного движения (см. 803а) следует
где x — вектор положения малого тела, r = x , K = fM = const (f — гравитационная постоянная, M — масса основного тела), F — вектор возмущающего ускорения, точка означает дифференцирование по времени t. Пусть в начальный момент t = t0 известны векторы положения и скорости малого тела
x(to) = x0, x(to) = x0. (2)
Здесь и в последующих разделах статьи нижние индексы i, j (i, j = 0, 1, 2, ...), если это не оговаривается отдельно, означают, что данная величина определена при t = t,, j; например, xt = x(t(-), rj = r(tj).
Движение, описываемое уравнениями (1) и условиями (2), назовем реальным.
Будем считать, что в интервале времени, в котором изучается движение малого тела, правые части (1) обладают производными по t любого порядка.
В приведенных ниже формулах введенные для реального движения величины, обозначенные символом *, сохраняют свой смысл, но относятся к промежуточному движению. Верхний индекс в скобках обозначает порядок производной по t. Записи (a х b) и (a • b) обозначают векторное и скалярное произведения векторов a и b соответственно.
Допустим, что известны векторы
q** = , Mj = jR, R* =
j = 1, 3. (5)
Здесь ц — значение гравитационного параметра фиктивного центра в момент у. Скалярные параметры ^ и предлагается выбрать в виде
X =
[Hi • (x3 - xi)]
и? ,
X3 = -
[H3 • (x3 - xi)]
H? ,
(6)
где
Н = _ (Сцвз)Сз ф 0. в?
Н3 = Сз - С * о.
в?
Вектор скорости на орбите S2 в момент определяется по формуле
x ** = q ** + Z;,
где
Zj = (Z3 - Zi V(t3 - ti); j = i, 3,
(7)
(8)
двух различных положений малого тела на реальной траектории в моменты времени Ц (^ <
В работе (Шефер, 2003а; ниже 803а) решена задача построения промежуточной возмущенной орбиты, на которой положения и ускорения в моменты ^ и Ц совпадают с положениями, задаваемыми векторами (3), и суммарными ускорениями О! и О3 соответственно. Для краткости будем говорить о ней как об орбите S2.
■ * +
а вектор <* вычисляется на момент у согласно описанной в 803а процедуре.
Сформулируем следующее утверждение:
УТВЕРЖДЕНИЕ 1. Если решения задачи Коши (1), (2) являются функциями, аналитическими в открытом интервале, содержащем замкнутый интервал 1Ъ ], то промежуточная орбита S2 в пределе при t3 ^ (или t1 ^ t3) является орбитой с касанием третьего порядка к траектории движения, описываемого уравнениями (1) и начальными условиями (2). При этом х*(^-) = х(^-), X*($,) = в^,-), а вели-
чины
x (tj) - x(j
x*(3)(tj) - G (j
уменьшаются
как (t3 — t1)3 и (t3 — t1) соответственно; j = i, 3.
Векторы х*(к)(?у-) = q*(k)(tj) (к = 2, 3, 4) находятся с помощью выражений (13)—(15) из (Шефер, 1998а), которые перепишем в виде
С = -Ач*,
<1 * = А(сЧ* -Ч*
..*(4)
ч * =
= А
1Л
2С ^
ц у
. *2 ч*
,*2
- 2А - 15В2
где
А = ■
К
,*3 '
К
В =
2С1 *
(9)
(10)
/ * • (Ч* • Ч*)
К*2
с = .
3В,
'К ^Т £""< ^ О 1 'К
х = Р; ЬI - S;■, Ь = ^ —р.;
с
■ = 1, 2, 3.
(12)
Отсюда ясно, что все величины, связанные с движением по 83, должны соотноситься с временем И*. Ниже мы строго придерживаемся этого правила.
Фундаментальные уравнения метода построения орбиты 83 имеют вид (см. 803Ъ)
где
с1Р *Ь1 - Р *Ь2 + сзР *Ьз =
= С1 (Sl + )- (S2 + г2) + сз (Sз + гз),
СУ = ^у/ Ц2 ,
у = х* - Ч*, Ч* =-ЪjGj,
(13)
(14)
^у = ув* К, К* =
у™ у *
у = 1, 3,
— — + 12 гз, ч 2 — х 2 г2,
'13
^ = ИИз (Нз )('з - к)
у [ (0 - (1) + Нз (з - (у)]2 Пусть мы имеем для каждого из трех моментов
времени (з° < < пару наблюденных
угловых координат (например, прямое восхожде-
о »о,
ние а; и склонение о,-), определяющую видимое положение малого тела на небесной сфере с центром в точке наблюдения. Угловые координаты,
наблюденные в момент представим в виде единичного вектора Ц-, компонентами которого являются направляющие косинусы луча зрения на малое тело. Будем предполагать, что наблюденные величины не содержат ошибок и [(Ь1 х Ь2) • Ьз] Ф 0. Имеют место зависимости
х, = р;Ь, - г, = -1 р,; ■ = 1, 2, 3, (11) с
где х; — вектор положения малого тела, определенный в момент S¡■ — вектор положения основного тела относительно точки наблюдения, определенный в момент с — скорость света. Таким образом, вектор р(Ц имеет один конец, определенный в момент % а другой — в момент (О. Неизвестными в (11) являются вектор х; и дальность р; (расстояние от точки наблюдения до малого тела).
В работе (Шефер, 2003б; ниже 803Ъ) изложено построение промежуточной возмущенной орбиты, точно удовлетворяющей трем указанным парам угловых измерений. Будем ссылаться на нее как на орбиту 83.
Применительно к орбите Б3 выражения (11) перепишутся соответственно в форме
Ц2
Цй* + Цз' *з
йх =
>1з^2з
'2зи1з
йз =
;1зи12
^12и1з
Ц; *
и, _ — Ч I, Ц1
* _ , * _ л '12 _ '2 '1 ,
Ц Ц1
■ ('* _ ); 1 \ '
■ _ 1,2, з,
(15)
(16)
(17)
* _ f* _ f*. '2з _ 'з '2 ;
* _ г * _ г * '11 _ м И ,
-'12
|-0Ь 02з - 0з -02, 01з - ©з -01 (18) Здесь и ^з находятся согласно выражениям (6), если подставить в них вместо векторов ху и Gy■ векторы х* и в* соответственно. Векторы ускорения
в* и в* вычисляются по тем же формулам, что и правые части уравнений реального движения (1), при подстановке в них вместо величин I и x найденных значений и х* соответственно. Величины ст12, ст23, ст13 есть гауссовские отношения площадей секторов конического сечения и треугольников, построенных для пар векторов {иь u2}, {u2, о^, {u1, u3} соответственно.
Решение уравнений (13) позволяет уточнить р*.
Затем с помощью (12) улучшаются г* и х*. Вычисления повторяются до тех пор, пока после некоторого шага итерации не будет достигнута требуемая точность. По окончательно уточненным х * и
л ■ *
г* находится вектор скорости х, на промежут
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.