M ЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 2 • 2014
УДК 532.516:532.516.5
© 2014 г. А. Г. ПЕТРОВ
О ТОЧНЫХ И АСИМПТОТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЯХ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА В СЛОЕ ЖИДКОСТИ МЕЖДУ СБЛИЖАЮЩИМИСЯ И УДАЛЯЮЩИМИСЯ ПЛАСТИНАМИ
Исследуются точные решения уравнений Навье—Стокса в слое между параллельными пластинами, расстояние между которыми меняется пропорционально квадратному корню из времени. На границе пластин ставится условие прилипания. При сближении пластин получено семейство решений, непрерывно зависящих от числа Рейнольдса. При разъединении пластин найдено счетное семейство точных решений, каждое из которых непрерывно зависит от числа Рейнольдса. При достаточно большом числе Рейнольдса вблизи границы образуется противотечение: скорость направлена в противоположном направлении по отношению к средней скорости.
На основе найденного точного решения вычислены относительные погрешности асимптотических теорий смазочного слоя Рейнольдса и пограничного слоя Прандтля.
Ключевые слова: уравнения Навье—Стокса, точные решения, сближающиеся пластины.
Данная работа — продолжение исследований [1]: рассматривается двумерное течение вязкой жидкости с компонентами скоростей их(г, х, у), иу(г, х, у) и давлением р(г, х, у) в слое жидкости 0 < у < к, -да < х < да между двумя параллельными пластинами. Пластина у = 0 неподвижна, а вторая пластина у = к движется по закону
h = kj\t -t0|
Краевая задача с условиями прилипания на пластинах имеет вид
(0.1)
dux . duy
дх
ди х dt
диy dt
ду
= 0
■ + и х
■+ и х
ди х дх
диу
дх
■ + U у
■ + U у
ди х
ду ди
+ др дх
(^2 Л
д их+ди
у , др — + — = v
ду ду
дх ду
д и у
дх2
д и.
(0.2)
ду
их (t, х, 0) = их (t, х, h) = 0, иу (t, х, 0) = 0,
J
иу (t, х, h) = h
где V — коэффициент кинематической вязкости, плотность жидкости принимаем за единицу.
Из [1] известно, что замена
их = ^Ьх(п(У ) -1), h
иу = h (1 + Y + u(Y ))
Р = h
b^r + P(t, Y) 2h2
2
+ P0(t),
(0.3)
у = j h(1 + Y )
приводит первые два уравнения (0.2) к системе обыкновенных дифференциальных уравнений для функций ы(У), и(У) на отрезке У е (-1,1)
2 4
ы + и' = 0, иы' + ы - 4ы + 3 + Ь--ы" = 0
и и 2 Ке (0.4)
НН к
Яе = — = — sign(г -10)
V v
с краевыми условиями
ы( -1) = ы(1) = 1, и( -1) = и(1) = 0 (0.5)
Параметр Яе (число Рейнольдса) может принимать произвольные действительные значения (Яе е (-да,да)). Значения Яе < 0 соответствуют сближению пластин, а Яе > 0 — их раздвижению.
Система уравнений (0.4) имеет третий порядок, поэтому четыре краевых условия (0.5) позволяют при заданном числе Яе найти функции u(Y) и и(У) и входящий в давление параметр Ь.
Из третьего уравнения Навье—Стокса (0.2) найдется функция давления P =
= (1/8)((1 + У)2 - и2) + и'/Яе.
Автомодельным решениям с рассматриваемой симметрией посвящено большое число исследований, например, [2, 3]. В [3] представлен наиболее полный их обзор.
Недостаток рассматриваемого класса точных решений — неограниченный рост величины продольной скорости при больших значениях \х\ — относится и ко многим известным точным решениям: Кармана, Хименца, Хоуарта, Джеффри—Гамеля [3, 4]. Это не является серьезным препятствием для применения их ко многим практическим приложениям. Так, на основе решения Кармана определяется момент, действующий на вращающийся в жидкости диск конечного радиуса, экспериментально подтвержденный; В.Г. Левич разработал теорию вращающегося дискового электрода.
Данная теория применима к пластинам конечного размера, много большего, чем расстояние между пластинами. В этом предположении из (0.3) для распределения давления получим р(х) « Н2Ьх2/(2Н2) + р(0). На краю пластины х = Ь давление близко к атмосферному р(Ь) = ра. При Ь > 0 давление при приближении к центру между пластинами будет уменьшаться и может стать отрицательным, начнется кавитация. Для практических применений полученных решений при Ь > 0 следует наложить ограничение р(0) > 0, откуда получим условие на параметры пластины ЬН2Ь2/(2Н) < р0/р, где р — плотность жидкости.
При отрицательном значении Ь < 0 давление между пластинами будет больше атмосферного при любых геометрических параметрах.
1. Свойства решения краевой задачи. Из симметрии краевой задачи (0.4), (0.5) У ^ -У, ы ^ ы, и ^ -и следует.
Свойство 1. Функция и(У) = -и(-У) — нечетная, а функция ы(У) = ы(-У) — четная. Задачу на интервале У е (-1,1) можно свести к задаче на интервале У е (-1,0). Условия (0.5) на правом конце интервала У = 1 можно заменить на условия в нуле и(0) = ы' (0) = 0, а на отрезке У е (0,1) найденные функции доопределить по симметрии.
В силу автономности системы имеем.
Свойство 2. Уравнение не зависит от сдвига аргумента У = У1 — 1. Решения (0.4) и(У) и(У на отрезке У е (-1,0) можно заменить на решения ы^) = ы(У +1), цУЭ = о(У +1) на отрезке У1 е (0,1), а краевые условия (0.5) — на
ы1(0) = 1, и1(0) = 0, и1(1) = ы;(1) = 0
(1.1)
2
Свойство 3. Преобразование Y = Y1/L, u = u1, и = v1/L, u' = u1L, Re = RejL не меняет уравнения (0.4).
Из свойства 3 получаем.
Свойство 4. Если построено решение уравнений (0.4) на интервале Y е (0, L) с краевыми условиями
Ui(0) = 1, u1(0) = u10, щ(0) = 0, Ui(L) = Ui(L) = 0 (1.2)
и параметрами b и Re0, то решение искомой задачи с краевыми условиями (1.1) можно получить из решения задачи Коши для системы уравнений (0.4) с условиями u(0) = 1, u '(0) = u0 = u10 • L, u(0) = 0 и параметрами b и Re = Re0 ■ L2.
2. Точные решения в элементарных функциях. Можно убедиться проверкой, что для случая раздвижения пластин (Re < 0) имеется следующее счетное множество простейших точных решений задачи (0.4), (0.5):
u = (-1)" cos nnY, и =- —(-1)" sin nnY
nn (2.1)
b = -4, Re = n2n2, n = 1,2,...
В исходных переменных размерные компоненты скорости таковы
h
vx =- x h
cos 12nny | - 1
иy = h
y--— sin ¡2nn y
.h 2nn \ h.
Каждое п-ое решение (2.1) порождает п-ое непрерывное однопараметрическое семейство решений ы„(У, Яе), и„(У, Яе), Ьп(Яе). Эти семейства не могут быть получены друг через друга непрерывным продолжением.
Таким образом, для Яе < 0 получим одно непрерывное и для Яе > 0 счетное множество непрерывных, но не связных друг с другом, семейств точных решений.
Ниже излагается процедура построения функций ы(У, Яе), и(У, Яе), зависящих от автомодельной переменной У = 2у / Н - 1 и параметра Яе, а также зависимости Ь(Яе). Эти функции на отрезке должны удовлетворять уравнению (0.4) и всем условиям краевой задачи (0.5). Процедура будет состоять в том, чтобы свести решение краевой задачи к решению задачи Коши системы (0.4) с условиями на левом конце У = -1: ы(-1) = 1; и(-1) = 0, ы '(-1) = ы0 и найти способ вычисления значений и0 и Ь(Яе).
Перейдем к изложению алгоритма построения точного решения краевой задачи (1.2).
3. Алгоритм построения точных решений. Можно предложить следующий алгоритм продолжения решения по параметру Ь. Пусть имеется точное решение системы уравнений (0.4) с краевыми условиями (1.1) и параметрами Ь0, Яе. Вычисляем для этого решения ы' (0) = ы0. Меняем параметр Ь = Ь0 + АЬ на малую величину А Ь и решаем задачу Коши с условиями и(0) = 1, и'(0) = и0, и(0) = 0. Для полученного решения равенство и(У) = и'(У) = е достигается в точке У = 1 + 5 при достаточно малых значениях е и 8. Изменяя начальное условие и0, последовательно уменьшаем значение |е| и доводим это значение до нуля с заданной точностью. Таким образом, в точке х = Ь будут выполнены условия и(Ь) = ы '(Ь) = 0. Тогда, пользуясь свойством 4, определяем начальные значения задачи Коши для искомого решения и значение параметра Рейнольдса.
В качестве примера построим семейство решений, порождаемое точным решением (2.1) при п = 1, Ь0 = -4, Яе = п , ы0 = 0. Для удобства построения графического решения заменяем условия и(Ь) = ы '(Ь) = 0 на эквивалентные условия 5и(Ь) = ы' (Ь) = 0.
Фиг. 1. Последовательные приближения для нахождения решения с условием 5и(Ь) = и '(Ь) = 0: 0, 1, 2 — нулевое, первое и второе приближения, 3 — искомое решение при Ь = 1.14
Нулевое приближение. Изменим параметр Ь на Ь0 = -5, число Рейнольдса — на Яе = 9, а значения начальных условий не меняем. Тогда из решения задачи Коши вычислим кривые 5г(7) и и '(7) (фиг. 1, линии Iи II). Они пересекаются в точке 0.
Первое приближение. Меняем начальное условие на значение и0 = 0.6. Линии 5и(7) и и'(У) пересеклись в точке 1. Ее ордината уменьшилась примерно в 2 раза.
Второе приближение. Меняем начальное условие на значение и0 = 1. Линии 5и(У) и и'(У) пересеклись в точке 2. Ее ордината опять уменьшилась примерно в 2 раза.
Изменяя единственный параметр и0, добиваемся, чтобы ордината точки пересечения достигла нулевого значения с заданной точностью. В результате получаем решение, у которого и0 = 1.295833, а линии 5и(7) и и'(У) пересеклись в точке 3 с абсциссой Ь = 1.14004 и ординатой, равной нулю. Получено решение краевой задачи (1.2), что и требовалось. Искомое решение получается простым пересчетом и0 = 1.295833Ь = 2
= 1.4773, Яе = 9 • Ь = 11.697129. Параметр Ь = -5 остается неизменным.
Результаты расчетов тройки чисел Ь, и0, Яе серии решений при Яе < 0 и первых двух серий при Яе > 0 представлены в табл. 1. По каждой тройке этих чисел функции и(7) и и(У) численно определяются из решения задачи Коши для системы (0.4). По этим данным можно построить функции и(7), и(7) на отрезке (0, 1) и удостовериться, что на втором конце интервала выполняются необходимые условия.
Сближение пластин. Зависимость Ь(Яе), Яе > 0 для сближения пластин изображена на фиг. 2, а, откуда видно, что коэффициент Ь(Яе) монотонно изменяется от -ж при Яе = 0 до Ь ^ -3 при Яе ^ да. Продольная скорость и(7) плавно изменяется от параболического профиля при малом значении |Яе| до почти прямоугольного профиля при большом значении |Яе| с резким изменением скорости в пограничном слое (фиг. 3).
4. Серии решений при раздвижении пластин. Описанная выше непрерывная серия решений для сближающихся пластин — единственная. В противоположность этому при раздвижении пластин существует счетное множество непрерывных серий. Ограничимся описанием первых четырех.
Таблица 1
N Яе < 0 Серия I, Яе > 0 Серия II, Яе >
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.