ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2007, том 414, № 1, с. 24-27
МАТЕМАТИКА
УДК 515.12
О ТОПОЛОГИЧЕСКИХ И КАТЕГОРНЫХ СВОЙСТВАХ
ФУНКТОРОВ И ИЕ
© 2007 г. Ю. В. Садовничий
Представлено академиком В.А. Ильиным 14.06.2006 г. Поступило 10.01.2007 г.
В [1-4] были исследованы топологические и категорные свойства функторов ит и ик единичного шара т-аддитивных и радоновых мер. В настоящей работе исследуются функторы Мт и Мк т-аддитивных и радоновых борелевских неотрицательных мер.
Эти функторы поднимаются на категории равномерных и метрических пространств. Исследуются вопросы сохранения топологической и равномерной полноты функтором Мт. Первая группа результатов посвящена категорным свойствам функторов Мт и Мк. Оказывается, в частности, что функторы Мт и Мк обладают основными свойствами нормальности, кроме свойства сохранения точки, которая под воздействием этих функторов переходит в полупрямую [0, Кроме того, функторы Мт и Мк переводят компактные пространства в с-компактные. Имеет место
Теорема 1. Функторы Мт и Мк сохраняют:
1) прообразы, т.е. для любого отображения /: X ^ У тихоновских пространств и любого подмножества А с У имеем Мт(/)-1(Мт(А)) = Мт(/-1(А)) и Мк(/)-1(Мк(А)) = МК(/-1(А)У,
2) класс совершенных отображений;
3) класс вложений;
4) класс замкнутых вложений;
5) пересечения замкнутых подмножеств, т.е. для любого тихоновского пространства X и его замкнутых подмножеств Ха, а е А, верно, что
Min XJ = n Mz (Xa) и MR In Xa
Ve A ^ а е A Ve A
= n Mr (Xa);
6) вес тихоновских пространств, т.е. жМ^.^) = wX, w(MR(X)) = w(X) для любого бесконечного тихоновского пространства X.
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносва
Рассмотрим теперь вопрос о непрерывности функтора MT. Пусть A - направленное частично
упорядоченное множество, {Xa, pya } - обратный спектр, индексированный множеством A и состоящий из тихоновских пространств. Через lim Xa
мы обозначаем предел этого спектра, а через pß: limXa ^ Xß, ß e A, - предельные проекции.
Спектр {Xa, p'a} порождает обратный спектр
{MT(Xa), Мт( p'a)}, предел которого мы обозначаем через lim MT(Xa), а предельные проекции - через prß: lim MT(Xa) ^ MT(Xß). Отображение MT(pß): MT( lim Xa) ^ MT(Xß) порождает отображение R: MT( lim Xa) ^ lim MT(Xa). Известно, что если все
Xa компактны, то отображение R - гомеоморфизм.
Теорема 2. Отображение R: MT(limXa) ^ ^ limMT(Xa) является вложением. Если предельные проекции pß: limXa ^ Xß - плотны (т.е. pß(limXa) всюду плотно в Xß), то множество R(MT(limXa)) всюду плотно в limMT(Xa).
Аналогичное утверждение имеет место и для функтора MR. Возникающее при этом отображение T: MR(limXa) ^ limMR(Xa) обладает дополнительным свойством: если A счетно, то T - гомеоморфизм.
Теорема 3. Функтор MT сохраняет плотность тихоновских пространств, т.е. d(MT(X)) < < d(X) для любого бесконечного тихоновского пространства X.
Теорема 4. Функтор MT и, следовательно, функтор MR сохраняет класс метризуемых пространств.
Теорема 5. Функторы MT и MR сохраняют класс p-паракомпактов.
ае a
Теорема 6. Функторы Мт и Мк сохраняют полные по Чеху пространства.
Предложение 1. Пусть /: X ^ У - отображение сепарабельных метрических пространств, допускающее борелевскую селекцию.
Тогда отображение Мк(/): МК(Х) ^ МК(У) сюръективно.
Теорема 7. Пусть /: X ^ У - открытое отображение сепарабельных метрических пространств, допускающее локальную борелевскую селекцию.
Тогда отображениеМк(/): МК(Х) ^ МК(У) открыто.
Теперь рассмотрим метрические и равномерные свойства функторов Мт и Мк. Оказывается, что эти функторы поднимаются до функторов ВМей" ^ Мей", где Metr(BMetr) - категория (ограниченных) метрических пространств и их непрерывных отображений. В то же время построен пример, показывающий, что в отличие от функторов ит и ик функторы Мт и Мк не сохраняют равномерную непрерывность отображений ограниченных метрических пространств. Кроме того, функторы Мт и Мк поднимаются на категорию Unif равномерных пространств. Из других результатов отметим, что функтор Мт сохраняет полноту метрических пространств.
В основе приведенных выше результатов о поднятии функторов лежит одна старая (1942 г.) конструкция Л.В. Канторовича, примененная им для решения задачи оптимизации перемещения масс. Эта конструкция была применена В.В. Фе-дорчуком [5] для построения тройки бесконечных итераций функтора вероятностных мер. Конструкция Канторовича сопоставляет метрике р на компакте К норму на векторном пространстве М6'(К) всех знакопеременных регулярных мер на К, которая порождает слабую топологию на ограниченных (относительно нормы полной вариации) подмножествах М6'(К). Эта конструкция с небольшими видоизменениями обобщается и на произвольные ограниченные метрические и псевдометрические пространства.
Пусть V е РТ(Х). Положим Л(|, V) = {X е РТ(Х х хХ): ргД) = рг2(Х) = V}, где ргг: РТ(Х х X) ^ РХ) -отображение, порожденное проектированием на /-й сомножитель. Множество Л(|, V) непусто. В самом деле, | ® V е РТ(Х х Х) и, очевидно, что | ® V е е Л(|, V). Пусть р - ограниченная непрерывная псевдометрика на Х. Определим функцию Рт(р): РТ(Х) х РТ(Х) ^ 1К+ следующим образом: Рт(р)(|,
V) = МI | р Л X е Л(|, V) >. Поскольку опреде-
^ Х х Х
ление множества Л(|, V) не зависит от псевдомет-
рики р, из определения непосредственно вытекает, что для пропорциональной псевдометрики ф, где t > 0, имеем PT(tp) = tPT(p).
Лемма 1. Существует такая мера X е Л(|, v), что Рт(р)(|, V) = Х(р).
Предложение 2. Если р - ограниченная непрерывная (псевдо) метрика на X, то Рт(р) -ограниченная (псевдо) метрика на PT(X), причем diamPT(p) = diam р.
Пусть снова р - ограниченная непрерывная псевдометрика наXи d = diam р. Для мер v е MT(X) положим
Мт(р)(|, v) = min{||||,|М1}- Рт(р)(|^, ¡¡Vi) +
+ d•||||||-IMII; о.
Мт(р)(|, о) = d • III.
Из этого определения вытекает, что для пропорциональной псевдометрики tр имеем Мт^р) = tM^).
Предложение 3. Для любой ограниченной непрерывной (псевдо) метрики р на X функция Мт(р) является (псевдо) метрикой на MT(X), причем M-^X = р.
Предложение 4. Для любой ограниченной непрерывной псевдометрики р на X псевдометрика Мт(р) непрерывна на MT(X).
Предложение 5. Если р - совместимая ограниченная метрика на X, то Мт(р) - совместимая метрика на MT(X).
Теорема 8. Функторы MT и MR поднимаются до функторов BMetr ^ Metr.
Теорема 9. Функтор MT сохраняет полноту метрических пространств.
ПосколькуMR(X) всюду плотно в MT(X), из теоремы 9 вытекает
Следствие 1. Для ограниченного метрического пространства (X, р) пополнение пространства (MR(X), M^)) совпадает с (MT(X), MT( р)), где (X, р) - пополнение пространства (X, р).
В отличие от функтора UT функтор MT не сохраняет равномерную непрерывность отображений даже компактных метрических пространств.
Пример 1. Пусть I = [0, 1] и отображение
f: I ^ I определяется равенством f (x) = Jx. Тогда отображение MT(f): MT(I) ^ MT(I) не является равномерно непрерывным.
Для доказательства достаточно указать последовательность пар (I1, |2) мер из MT(I), такую, что
12 1 M^X |, |) ^ 0 при n ^ но M^XMf In),
26
САДОВНИЧИЙ
Мт(/)( )) ^ «> при п ^ «>, где р - естественная метрика на отрезке I. Обозначив через 5(х) меру Ди-
рака, сосредоточенную в точке х, положим ц„ =
= п4П (п + 1)5( ---), и2 = п4П (п + 1)5(-1—-).
Уп) у( п +1)2)
Тогда, поскольку Ци,1| = Ци1|, имеем
Мт(р)(и1, ) = ^л/п(п + 1)(-1--
п
11
п (п +1 у
_ л/п (2 п + 1)
^ 0.
п (п + 1) В то же время
Мх(р)( Мт(/)(и п), Мт(/)(ц2)) =
= п^п (п +1 )| 1 —1—-1 = 4п ^ ^.
Уп п +1)
Теорема 10. Пусть (X, - равномерное пространство и Я^ - семейство всех ограниченных равномерно непрерывных псевдометрик.
Тогда семейство МТ(Ящ) = {Мт(р): р е Я^} порождает равномерность на М,^, след которой на Xсовпадает с °и,.
Предложение 6. Если /: (X, ^ (У, У) -равномерно непрерывное отображение, то отображение Мт(/): (М^,Мх(%) ^ (Мт(У),Мт(У)) также равномерно непрерывно.
Теорема 11. Функторы Мт и МЯ поднимаются на категорию Unif равномерных пространств и их равномерно непрерывных отображений.
Далее исследуются вопросы о равномерной и топологической полноте функторов Мт и МЯ. Для вероятностных мер практически исчерпывающие результаты в этом направлении получены В.В. Фе-дорчуком [6]. Автору удалось их обобщить [2] на функторы ит и иЯ. Оказалось, что эти результаты можно распространить и на функторы Мт и МЯ.
Теорема 12 (МА). Если X - полное равномерное пространство равномерного веса к < С, то равномерное пространство Mт(X) также полно.
Следствие 2 (МА). Равномерное пространство Мт(П {Ма: а е к < С}), гдеМа - полные метрические пространства, полно.
Следствие 3 (МА). Топологическое пространство Мт(П {Ма: а е к < С}), гдеМа - полные метрические пространства, полно по Дье-донне.
Следствие 4 (МА). Равномерное пространство Мт(Кк), к < С, полно.
Следствие 5 (МА). Топологическое пространство Мт(Кк), к < С, полно по Дьедонне.
Следствие 6 (МА(ю1)). Равномерное пространство Мт( К 1) полно.
Следствие 7 (МА(ю1)). Топологическое
пространство Мт( к 1) полно по Дьедонне.
Следствие 8 (МА). Топологическое пространство Мт(Кк), к < С, вещественно полно.
Следствие 9 (МА(ю1)). Топологическое
пространство Мт( К 1) вещественно полно.
Напомним, что 0-весом вещественно полного пространства X называется такое наименьшее кардинальное число к, что существует замкнутое вложение X в Кк.
Теорема 13 (МА). Если X - вещественно полное пространство Q-веса к < С, то пространство Mт(X) вещественно полно.
Следствие 10 (МА(ю1)). Если X замкнуто в
ГП1
К , то Mт(X) вещественно полно.
Предложение 7. Пространство Мт(КС) не является ни вещественно полным, ни полным по Дьедонне.
Следствие 11. Равномерное пространство Мт(КС) неполно.
Следствие 12 (СН). Пространство Мт( К™1) не является ни вещественно полным, ни полным по Дьедонне, ни полным как равномерное пространство.
Предложение 8. Вопросы о равномерной и топологической полноте пространства
Мт( к 1) не могут быть разрешены в рамках аксиоматики 2БС.
Теорема 14. Если/: X ^ У - 0-мягкое отображение между польскими пространствами, то отображение Мт(/) мягко.
Теорема 15. Если X - польское
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.