АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2008, том 54, № 4, с. 653-658
ОБРАБОТКА АКУСТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ, КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВНИЕ
УДК 534-213
О ТРАНСФОРМАЦИИ ВЕРОЯТНОСТНЫХ СТРУКТУР СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ ИСТОЧНИКОВ В ПРОЦЕССЕ НЕЛИНЕЙНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ОТОБРАЖЕНИЙ
© 2008 г. В. И. Клячкин
ОАО "Концерн "Океанприбор" 197376 Санкт-Петербург, Чкаловский проспект 46 E-mail: svkl@aari.nw.ru Поступила в редакцию 22.05.07 г.
Рассматривается формирование функциональной операторной процедуры построения решения задачи распространения случайных полей сторонних источников в сплошной статистически неоднородной среде. Решение представлено в виде функционала плотности вероятности или характеристического функционала как базы анализа отношения правдоподобия. Структура вводимых операторов увязывается со статистическими свойствами полей случайных источников и параметров среды распространения. В рамках гауссовых моделей источников и параметров распространения решение строится в замкнутой форме. При этом получены представления для средних полей и их корреляционных функций.
PACS: 43.60.Ac
Вопрос о трансформации вероятностных структур случайных полей возникает при решении целого класса задач гидроакустики, связанных, в первую очередь, с рассмотрением процессов взаимодействия случайного источника и среды распространения акустического сигнала со случайным полем параметров, в общем случае, нелинейного оператора, описывающего задачу, ориентированную, в конечном счете, на построение операторов оптимальной обработки переносимой полем информации.
Очевидно, что любая решаемая конкретная задача будет иметь свою специфику, влияющую на конечный результат анализа, но общий подход к построению решения будет сохраняться.
Пусть и - вектор наблюдаемого поля, и-и (x, t)-и (z), причем, dim и = dim Dz = N, где Dz = Dx x Dt - область определения поля и в координатах пространство-время. Размерность вектора и возникает, естественно, при выборе фазового пространства Dф динамической задачи.
Динамика наблюдаемого поля и (Z) управляется уравнением движения
L [е] и = q,
(1)
нелинейного оператора Ь, связывающего отображение наблюдаемого поля и с полями Ц и £.
Формальное решение (1) имеет вид:
и = Ь- [£] Ц = в [£] Ц, (2)
при этом: и е Ви; £ е ; Ц е , где Ви, , Б- - область значений векторов (и, £, Ц) в гильбертовом пространстве Н.
Введем на пространстве Н вероятностную меру dW{ и, £, Ц } через совместную плотность вероятности:
w{и,£, Ц} = dW{и,£, Ц}/dГ(и)dГ(£)dГ(Ц), (3)
определяемую производной Радона-Никодима, где dГ(•) - дифференциалы функционального (фазового) объема в области Н = и и В-ч.
С помощью формул (2) и (3) можно представить совместную плотность вероятности в виде:
w{ и, е, q} = w{ и/е, q}w{е, q},
(4)
где:
где: Ц ^ Ц (г) - источник поля; £ ^ £ (х, 0 - вектор случайного поля параметров, в общем случае,
w{ и /£, Ц } - функционал условной плотности вероятности поля и (ФУПВ) при фиксированных значениях полей £, Ц,
w{ £, Ц } - функционал безусловной плотности вероятности полей £, Ц (ФПВ).
Соотношения (1)-(4) совместно с нелинейными операторами Ь {•} или С {•} формируют отображение £, д ^ и, устанавливающий закон трансформации вероятностных структур.
Тогда из (4) вытекает:
w
w
{и} = J D{и - G[e]q} x
x w{e} w { q } dr(e) dF( q).
w{£q + Ei } = Wj{£i }
и при этом De мет вид:
De и dr(e) = dr(e1), а (7) при-
w{ и } = J D { и - G [e0 + e1 ] q }:
DEi x Dq
x w1 {e1 }w { q } d Г(е 1) d Г( q).
{и} = J w{и/e, q}w{e, q}dr(e)dr(q). (5)
Dg x Dq
С учетом (2) для w{ и/e, q } имеем:
w{ и/e, q} = D{ и - G[e]q}, (6)
где D{^} - дельта-функционал.
Если физические механизмы, отвечающие за формирование случайного поля источника q и случайного поля параметров e, различны, то для w{ и } с учетом (5) и (6) возникает представление следующего вида:
Рассматривая в (10) формально поле е1 как функциональный сдвиг в пространстве из (10) получим:
w{ и} = J €'
(El.Eo)
x
(11)
J D{ и - G[Eo]q} w{ q}dr(q)
D ■
5
w1 {Ё1} d Г(е 1),
(7)
Модель статистически независимых полей д и
- отражает показатель взаимодействия в среде этих полей, что, очевидно, зависит от постановки физической задачи. Для условий сильно разнесенных в пространстве областей наблюдения и излучения Бд правомерно ожидать, что относительно слабое по мощности акустическое излучение не будет заметно изменять скорость звука в среде как термодинамическую характеристику среды (по крайней мере, в рамках равновесной термодинамики).
Поле параметров - представимо в форме:
£ = £ о + -1, (8)
- эта аддитивная модель является достаточно распространенной [см., например, [1]], где -0 = (-) -детерминированная часть и е1 - флюктуационная часть поля параметров е, а, следовательно, плотность вероятности w1{ е1 } распределения флюк-туаций будет равна:
(9)
где: -0 = -л— оператор (функциональный гради-
б-о
ент) вариационной производной. Вводя обозначение скалярного произведения (е1 , е0) в пространстве Бг и
-iе0} = J w1{E1 }dr(£1), (12)
De1
получим:
w{ и} = Ee1 j-i555-^ J D{и - G[Eo]q}w{q}dr(q) (13)
(Т - символ транспонирования).
По смыслу в (12) Ее {•} есть вариационная форма оператора характеристического функционала случайного поля е1 флюктуаций параметра - в исходных уравнениях (1) и (2).
Введем в (13) обозначение:
V = С[-0] д или из (2) Ь[-0] V = д, (14)
где, по-прежнему, поля V и д при фиксированном -0 связаны через нелинейный отображающий оператор Ь [ -0 ] или С [-0 ], обладающий очевидным свойством:
Ь[-0]С[-0] = /, где I - единичный оператор.
D
x
De x Dq
q
Из (14) как из нелинейного отображения возникает связь:
dr(q) = j\ gvL[Eq] v !-dr( v),
(15)
а также отображение функциональных пространств Бд —- , где /{•} - функциональный якобиан в пространстве.
С учетом (14) и (15) выражение (13) принимает вид:
W { Й } = Ф ijj D{
u - v } x
(16)
x w{ L[eq] v} J\ gvL[eq] v j-dr( v).
Или окончательно из свойства дельта-функционала получаем:
w{ u} = Е-Л-i5 [w{L[Eq]u} j\ J-L[EQ]u (17)
5 u
. 5
причем, вариационный оператор EEij -i gE-
дей-
функционалом сигнала Б и шума N), в интересах решения задачи синтеза алгоритма оптимального обнаружения в случайно-неоднородных (в частности) линейных (или нелинейных) средах.
Используем далее обычное определение отношения правдоподобия и } в виде:
u } = w{ u\Hx } w 1 { u|HQ}.
(18)
Для широко распространенной аддитивной модели входного воздействия:
u — un + us
uq = u^
-гипотеза H1 -гипотеза HQ
(19)
при последующем переходе к характеристическим функционалам сигнала и шума ^s{ uS}, A,N{ uN } как Фурье отображениям плотностей вероятностей w{ uS } - ws{ v }; w{ uN } - wN{ v } (v -реализация входных наблюдений), получим в терминах ХФ es{ а } и eN{ а } из (16)-(17) следующее выражение:
Ма} = J9s{Р}0n{в}exp(-i(аг, в))dr(p) :
(20)
ствует на оба сомножителя в правой части (17) и является операторной формой (см. [2]) характеристического функционала случайного поля -1.
Таким образом, плотность вероятности случайного поля и (решения (1)) управляется вариационным оператором Е^| -г б--1 (характеристическим функционалом флюктуаций ё1 параметра отображения (1)) и плотностью распределения правой части (1), то есть поля источника д, а также якобианом нелинейного отображения (1). Как математическая конструкция этот результат известен [см., например, [2]].
Общее соотношение (17) допускает, в свою очередь, альтернативное представление уже в терминах характеристического функционала (ХФ) случайного поля источников д как континуального Фурье-отображения плотности вероятности м>{ д }.
На этой основе открывается возможность построения функционала отношения правдоподобия для поля и (являющегося, в общем случае,
Je n {в} exp (-i (аг,в)^Г(в).
В частности, если Ь есть оператор распространения волн, то для поля давления р, создаваемого источником д, возникает известное уравнение Гельмгольца:
где
L p = q,
L-Д х + + v)
(21) (22)
где ц, V есть рефракционная и рассеивающая части случайного показателя преломления п. Из (16), (17) и (20) в этом случае после некоторых прозрачных преобразований получаем:
p {v} = evj-i ggue { g [|i]v}.
(23)
Здесь Р^} есть ХФ уже частотного спектра поля давления, соответственно вариационный
Е I • б 1
оператор Ev< -г бц 1 есть оператор характеристического функционала (ХФ) случайного поля рас-
D
р
D
в
сеяния V и Q{ в - ХФ поля источника Ц. Вхо- в[ц щ] = (2[ц щ]
дящая в (23) функция Грина в [ц] уравнения 5ц
Гельмгольца (22) отвечает, очевидно, распро- 52 ^ [ ] _ 0 [ ]
странению волн в среде с рефракцией, но при от- Г"!в щ] = в щ]
сутствии рассеяния.
5ц
Из (23) посредством операции вариационного
дифференцирования [см., например, [1], [3]], ис- ^вщ] = п!вп + 1[м щ]
пользуя явную форму для функции Грина уравне- 5цп '
ние (22) в функциональном виде:
лп +1
где С - итерированное ядро, определяемое как произведение ядер:
С- в (X, у,ц + V; щ), (24) _
при1одим к ,ыражениЯм длЯ первых двух стати- дп +1 [х,у, ц; щ] = £[х|т1, ц; щ] х
стических моментов спектра поля р( х, щ), порож- (31)
даемого точечным источником х&[т1 |т2, ц; щ]...^[тп|у, ц; щ].
Ц(X) = Ц05(X - а); Ц0-?о(щ), (25) В связи с известным представлением [см., например, [3], [4]]:
здесь а - координата источника. е
В частности, для среднего спектра поля Р(X, щ) п!& = |ехР(& da; п > 1 (31а)
имеем:
<р(X, щ)> = ЕVI-г5|в(Х|а, ц; щ)Ц0(щ), (26) зо,аний получим полезное соотношение: где <р> - среднее поле в рефрагирующей среде.
для среднего ядра < в> после некоторых преобра-й получим полезное соотношение:
< в (у|а,ц)> = | в* Е v{aG }в da, (32)
Аналогично, но для корреляционной функции, получаем:
<р(X, щ)Р*(г, щ)> = Ev{aG}в-[Ev{aв(X]т, ц; щ)}в(т|а, ц; щ)da =
г 5 т (27) Г 5 1 (32а)
= \Цо\2 Ev\-i ^в (XI а, ц; щ) в* { г|а,ц; щ}. = I - 5ц К в [ц; щ], Цо; щ),
где
Разумеется, вариационный оператор (12) пред- где Ev {•} как и выше есть оператор ХФ поля расставляет собой итог суммирования континуаль- сеяния v; Ц0 (источник) определен в (25). Тогда для ного ряда Тейлора, т.е.: среднего поля <р> получаем представление вида
Ц-г 5! 1 = I п цп((-г ^1). (28) < Р(^щ)> = Ц - ^ }в ^; щ]
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.