ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2007, том 47, < 2, с. 179-185
УДК 519.614
О ТРЕХДИАГОНАЛЬНЫХ СОПРЯЖЕННО-НОРМАЛЬНЫХ МАТРИЦАХ
© 2007 г. X. Д. Икрамов
(119992 Москва, Ленинские горы, МГУ ВМК) e-mail: ikramov@cs.msu.su Поступила в редакцию 22.08.2006 г.
Сопряженно-нормальные матрицы играют в теории унитарных конгруэнций ту же роль, какую обычные нормальные матрицы выполняют по отношению к унитарным подобиям. Естественно, что свойства обоих классов матриц весьма схожи с точностью до замены подобий конгруэнциями. Все же в некоторых отношениях сопряженно-нормальные матрицы существенно отличаются от нормальных. Цель настоящей статьи - указать одно из таких различий. Показано, что ни одно из известных описаний нормальных матриц, находящихся в неразложимой трехдиагональной форме, не имеет естественного соответствия в случае сопряженно-нормальных матриц. Библ. 6.
Ключевые слова: нормальная матрица, сопряженно-нормальная матрица, неразложимая трехдиагональная матрица, многочлен от матрицы, псевдособственные значения.
1. ВВЕДЕНИЕ
Матрица A е Mn(C) называется сопряженно-нормальной, если
AA* = A*A.
(1)
Этот класс матриц играет в теории унитарных конгруэнций ту же роль, какую обычные нормальные матрицы выполняют по отношению к унитарным подобиям. Соответственно, и свойства обоих классов матриц весьма схожи с точностью до замены подобий конгруэнциями.
Все же в некоторых отношениях сопряженно-нормальные матрицы существенно отличаются от нормальных. Цель настоящей статьи - указать одно из таких различий. Оно касается матриц, имеющих трехдиагональную форму.
Назовем трехдиагональную матрицу
«1 Р2 У2 а2 Рз Уз «з ...
A =
an -1 Pn У n an
(2)
неразложимой, если
в2Рз-Pn * 0
(3)
Y 2 У з-Yn * 0.
(4)
Для нормальной матрицы А каждое из неравенств (3) и (4) является следствием другого, поэтому неразложимость можно характеризовать любым из них.
Существует несколько описаний нормальных матриц, имеющих неразложимую трехдиагональную форму. Одно из них основано на известном характеристическом свойстве нормальных матриц: матрица А е МИ(С) тогда и только тогда является нормальной, когда сопряженная мат-
и
рица A* представляется многочленом от A. При этом для представления
A * = f( A) (5)
можно выбрать многочлен, степень которого меньше, чем n.
Предложение 1. Неразложимая матрица (2) тогда и только тогда является нормальной, когда A* есть линейный многочлен от A.
Следующее описание несложно выводится из предложения 1.
Предложение 2. Неразложимая матрица (2) тогда и только тогда является нормальной, когда
A = в'ф H + aIn, (6)
где ф е [R, а е С и H - эрмитова матрица. Если, в частности, A вещественна, то A либо симметрична, либо имеет вид
A = K + а In, (7)
где а е U и K - кососимметричная матрица.
Из представления (2) можно вывести еще одно описание.
Предложение 3. Неразложимая матрица (2) тогда и только тогда является нормальной, когда ее спектр сосредоточен на некоторой прямой.
Ниже мы показываем, что ни одно из этих описаний не имеет естественного соответствия в случае сопряженно-нормальных матриц. Конгруэнтными аналогами эрмитовых и косоэрмито-вых матриц являются, соответственно, симметричные и кососимметричные матрицы. Однако к этим двум специальным случаям уже нельзя свести произвольную сопряженно-нормальную матрицу вида (2), что следует из описания таких матриц, полученного в разд. 2. Впрочем, у любой матрицы (2) все же есть свойство, роднящее ее с симметричными и кососимметричными матрицами, а именно: всякая ведущая главная подматрица матрицы (2) сама является сопряженно-нормальной. Подчеркнем, что для сопряженно-нормальной матрицы общего вида (т.е. нетрехдиаго-нальной) аналогичное свойство главных подматриц есть скорее исключение, чем правило.
Вместо собственных значений в теории унитарных конгруэнций нужно говорить о псевдособственных значениях. В разд. 3 будет показано, что в общем случае псевдоспектр сопряженно-нормальной матрицы вида (2) не принадлежит какой-либо прямой.
Существует характеризация сопряженно-нормальных матриц, аналогичная представлению (5) (см. [1]). Однако для матриц вида (2) в таком представлении приходится допускать многочлены, степень которых больше единицы. Это вытекает из обсуждения, проведенного в разд. 4.
2. ТРЕХДИАГОНАЛЬНЫЕ СОПРЯЖЕННО-НОРМАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ
Всюду в дальнейшем матрица (2) предполагается неразложимой. Более того, без ограничения общности, коэффициенты ß2, ..., ßn можно считать вещественными положительными числами. В самом деле, выполняя для матрицы (2) конгруэнцию
A — A = DAD
с диагональной унитарной матрицей
D = diag{ 1, d2, ..., dn}, d} = e j j = 2, 3, ..., n,
получаем
«12 = ß2d2, j + i = ßj + idjdj +i, j = 2, 3, ..., n - 1.
Положив
62 = -arg ß2, 5 j + 1 = -arg ßj + 1- 6j, j = 2, 3, ..., n - 1,
придем к матрице A с положительными элементами в позициях (1, 2), (2, 3), ..., (n - 1, n).
Обозначим через An _ 1 ведущую главную подматрицу, получаемую вычеркиванием из A последних строки и столбца.
Лемма 1. Матрица An _ 1 является сопряженно-нормальной.
Доказательство. Приравнивая последние диагональные элементы матриц в соотношении (1), видим,что
Ы = р„. (8)
Приравнивая же в (1) ведущие главные подматрицы порядка п - 1, имеем
An-1 An-1 + ßnen-1 en-1 An- 1 An-1 + |yn| en-1 en-1- (9)
Здесь en - 1 - последний координатный вектор-столбец пространства С" \ Равенства (8) и (9) доказывают лемму.
Следствие 1. Все ведущие главные подматрицы сопряженно-нормальной матрицы A вида (2) сами являются сопряженно-нормальными.
Замечание. Аналогичное утверждение, разумеется, справедливо и для "хвостовых" подматриц (т.е. главных подматриц, отсчитываемых от правого нижнего угла; в английской терминологии они называются trailing submatrices). Более того, сопряженно-нормальной является всякая главная подматрица матрицы (2), стоящая на пересечении подряд идущих строк и столбцов.
Приравняем теперь в (1) элементы, стоящие в позициях (n - 2, n) и (n - 1, n). Имеем
ßn -1Уn ßnYn -1, (10)
an-1? n + an ßn = an-1ßn + an Y n,
или
an-1 (Yn - ßn) = än(Yn - ßn) - (11)
Используя рекурсивно лемму 1 и ее следствие, приходим к соотношениям
ßj-1 Yj = ß;Yj-1, j = 3, 4,..., n, (12)
aj-1(Yj - ß]) = äj(Yj - ßj), j = П, 3, n. (13)
Согласно (12), выбор значений для ß2, ..., ßn и Yn однозначно определяет элементы y2, • ••, Yn- i. При этом Yn должно быть подчинено условию (8). Если Yn = ß„, то из (12) следуют равенства
Yj = ßj, j = П, 3, n -1.
В этом случае A - симметричная матрица, а соотношения (13) не накладывают каких-либо ограничений на ее диагональные элементы a1, ..., an. При Yn = -ßn мы выводим из (12) равенства
Yj = -ßj, j = П, 3, ..., n -1, (14)
а из (13) - равенства
aj-1 = a j, j = П, 3, ..., n. (15)
Таким образом, выбор значения для an определяет всю главную диагональ матрицы. Пусть, наконец,
Y n = ßneгф, фе(-п,п), ф* 0. (16)
Соотношения (12) дают
Yn-1 = ßn, Yn-n = ßn-ne^, Yn-3 = ßn-3 .... (17)
Как и в предыдущем случае, все диагональные элементы имеют один и тот же модуль. Определим число у формулой
V = arg (e^ -1). (18)
Выбирая значение для an, из (13) находим
— г'Пш — -г'Пш -г'4ш — i бш
an-1 = ane \ an-n = an-1 e v = ane \ an-3 = ane \ .... (19)
Например, при n = 3 и ф = п/2 имеем
3
V = arg (i - 1) = 4 п
и
Y 2 = -ß2i, «2 = -i «з, ai = -аз.
Именно в случае, описываемом соотношениями (16)—(19), сопряженно-нормальные матрицы вида (2) не сводятся к симметричным или кососимметричным.
3. О КРАТНОСТИ ПСЕВДОСОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
Если неразложимая матрица (2) нормальна, то все ее собственные значения простые. Это вытекает из соотношения
rank(A - zIn)> n -1 Vz e С.
К матрицам, не являющимся нормальными, подобное соображение неприменимо. Например, жорданова клетка Jn(0) с нулем на главной диагонали имеет ранг n - 1 и при этом собственное значение кратности n.
Сопряженно-нормальные матрицы в общем случае не являются нормальными. Кроме того, инварианты унитарных конгруэнций - это не собственные значения, а величины, называемые псевдособственными значениями. Напомним их определение, как оно дано в [2]. Сопоставим матрице A e Mn(C) матрицы
Al = AA (20)
Лк = ЛЛ. (21)
Хотя в общем случае произведения ЛВ и ВЛ не обязаны быть подобными матрицами, Л Л всегда
подобна матрице ЛЛ (см. [3, разд. 4.6, задача 9]). Поэтому в дальнейшем обсуждении спектральных свойств можно рассматривать лишь одну из этих матриц, для определенности Л^. Спектр матрицы Ль имеет два замечательных свойства:
1) он симметричен по отношению к вещественной оси; кроме того, собственные значения X и X имеют одинаковую кратность;
2) если у Ль есть отрицательные собственные значения, то они обязательно имеют четную алгебраическую кратность.
Доказательства этих утверждений можно найти в [3, разд. 4.6, задачи 5-7]. Пусть
Х( Ль) = (Х1,^,Х„} (22)
есть спектр матрицы Л^.
Определение. Псевдособственными значениями матрицы Л называются п чисел ..., |п, получаемых следующим образом:
а) если Xj е Х(Л^) не лежит на вещественной отрицательной полуоси, то соответствующее псевдособственное значение | определяется как квадратный корень из X, имеющий неотрицательную вещественную часть:
| = Х1/2, Яе|> 0; (23)
кратность числа | полагается равной кратности X,;
б) с вещественным отрицательным числом X, е X(ЛL) мы связываем два сопряженных чисто мнимых псевдособственных значения
I = ±Xг1/2; (24)
кратность каждого из них считается равной половине кратности собственного значения X,.
и
Множество
с X(Л) = {|1,...,|п} (25)
называется псевдоспектром матрицы Л. Для симметричной матрицы Л имеем
Л = -Л*, Ль = Л * Л,
поэтому псевдособственные значения Л совпадают с ее сингулярными числами. Если Л кососимметрична, то
Л = -Л *, Ль = -Л * Л.
Как указано выше, всякое отрицательное собственное значение X матрицы Ль имеет четную
кратность. Оно порождает пару чисто мнимых псевдособственных значений | = ±7Л/Ш вдвое меньшей кратности.
Важнейшее свойство нормальных матриц состоит в том, что каждая такая матрица Л посредством подходящего унитарного подобия может быть преобразована в диагональн
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.