№ 5
ИЗВЕСТИЯ АКАДЕМИИ НАУК ЭНЕРГЕТИКА
2008
УДК 532.5 : 536.21
© 2008 г. ВАЧАГИНА Е.К.
О ВИНТОВЫХ СИСТЕМАХ КООРДИНАТ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ТЕПЛОВЫХ И ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ*
В работе рассмотрены всевозможные варианты винтовых систем координат, применяемых для математического описания задач теплообмена и гидродинамики при течениях жидкостей в каналах, обладающих винтовой симметрией - инвариантностью относительно сдвигов вдоль винтовых линий, которые используются в качестве интенсификаторов конвективного теплообмена. Доказана невозможность построения ортогональной винтовой системы координат. Получен удобный вид винтовой системы координат, позволяющий просто и качественно получать решения задач теплопереноса в каналах с винтовыми интенсификаторами.
Введение. Для интенсификации конвективного теплообмена в теплоэнергетике часто используются винтовые каналы различного поперечного сечения: коаксиальный канал с винтовым оребрением кольцевого зазора, винтовые ленточные вставки, винтовые накатки различной формы [1, 2]. Упростить математическую формулировку задачи о теплообмене можно постановкой задачи в специальной винтовой системе координат, характеризуемой наличием некоторой единственной переменной, непрерывное изменение значения которой при сохранении фиксированными двух других определяет некоторую единственную винтовую линию. В таких системах координат математическая запись граничных поверхностей винтовых каналов, обладающих специальной винтовой симметрией, будет инвариантна относительно простого сдвига по третьей винтовой переменной. Кроме того, инвариантными относительно такого винтового сдвига будут и определяющие уравнения энергии и механики сплошных сред, начальные и граничные условия. Существующие математические модели задач теплообмена в каналах с винтовыми интенсификаторами можно разделить на две группы. В первую группу входят модели, использующие ряд допущений, значительно упрощающих постановку задачи и, как следствие, проведение численных исследований. Такие модели почти всегда искажают реальную картину распределения температурных и гидродинамических полей, что приводит к результатам, слабо согласованным с экспериментальными исследованиями, нерациональному использованию тепло-обменного оборудования, невозможности достижения оптимального с точки зрения энергетической эффективности режима работы этого оборудования. Ко второй группе относятся математические модели, использующие при постановке три независимые пространственные переменные, что приводит к более полной информации о тепловых и гидродинамических процессах в каналах с винтовой симметрией. Однако, наличие трех независимых переменных усложняет проведение численных экспериментов, увеличивая время их проведения. Применение таких моделей ограничивает практически рекомендации по использованию оптимальных режимов эксплуатации теплообменного оборудования, что объясняется сложностью и трудоемкостью проведения численных расчетов.
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты 05-08-50043, 08-08-12109), ФАНИ (госконтракт № 02.516.11.6025).
Актуален поиск такой системы координат, которая позволила бы упростить постановки задач теплообмена и в полной мере отразить процессы, происходящие в интенсифицированных винтовых каналах.
Теоретический анализ
Рассмотрим конкретную точку трехмерного пространства с декартовыми координатами q1, q2, 0. Параметрическое уравнение винтовой линии, проходящей через эту точку, имеет вид
1 3 2 3
х = q cos (Kq ) + q sin(Kq );
y = - q'sin(Kq ) + q cos(Kq ); (1)
3
l z = q ,
где K = 2n/S; S - шаг винтовых линий; q3 - параметр рассматриваемой винтовой кривой, при этом ось винтовой линии совпадает с осью z декартовой системы координат. Как известно, при введении нового параметра (q3)* с помощью отображения (q3)* = f(q3), которое является обратимым, можно получить ту же самую винтовую линию
х = q1cos(Kfq )*) + q2sin(Kf~1 (q )*);
y = -q sin(Kf'(q3)*) + q2cos(Kf1 (q3)*); (2)
z = Г\q3) *.
Очевидно, что изменение параметра q3 или (q3)* соответствует винтовому сдвигу. Будем рассматривать уравнение винтовой линии в более простой форме записи (1), что не нарушит общности результатов.
Выражая из (1) величины q1, q2, q3, получим
q = х cos (Kz) - y sin (Kz);
q2 = х sin (Kz) + y cos (Kz); (3)
3
q = z .
Если (3) рассматривать как частное преобразование координат z, y, z ^ q1, q2, q3, то
12 3"
для переменных q , q , q новой системы координат винтовой сдвиг соответствует изменению единственной переменной q3 при фиксированных двух других q1 и q2.
Боковые поверхности винтового канала представляют собой винтовые поверхности, образованные перемещением некоторой кривой fq1, q2) = 0 в сечениях q3 = q0 вдоль винтовых линий. При изменении координаты q3 значения q1 и q2 остаются постоянными, и уравнение кривойfq1, q2) = 0 сохраняется в каждом сечении q3 = q0 . Боковые винтовые поверхности при этом переходят сами в себя, т.е. боковые винтовые
3
поверхности инвариантны относительно изменения координаты q . Задание новых переменных в виде
^ = fi( q\ q2);
^2 = f2( q1, q2); (4)
= q3,
определяет новую систему координат, обладающую такими же свойствами инвариантности боковых поверхностей канала относительно винтовых преобразований.
Среди всех возможных систем координат попробуем найти ортогональные системы, обладающие свойством gj = 0 при i ф j. Контравариантные компоненты метрического тензора, определяемые как giJ = (e • в1) при i фj, в данном случае имеют вид [3] 52
+к
1 2
'Э /1 ( д 1 ' д2 )Л 2 + Э /1 ( д\ д 2
V Эд: , ( Эд2 )
2 , Э/1( д1' д2) 1" д + д 2
Эд1
Эд
, = ^ ^ = - 1 дд-.......■----------• ■ ' - ■ • - • • +
1 2 1 2 1 2 1 2
12 ( 12" _ э/1( д , д )Э/2 (д , д ) , Э/Д д , д )Э/2< д , д )
дд1 дд1
Эд2 Эд2
+ к
э/1 (д , д ) 2 , Э/1(д > д ) 1
- д +———д
Эд1
(-) ('.
Эд2
Э/2(д > д ) 2, Э/2(д > д ) 1
Эд1
:д +
Эд2
= к
Э/1(д > д ) 2, Э/1(д > д ) 1
: д + :::::::::::::::::2:::::::::: д
Эд1
Эд
+к2
12
'Э/2 ( д1' д2 )Л 2 + 'Э /2 ( д1' д 2 )"
V Эд: , ( Эд2 )
2, Э/2(д1' д2) 1" д + д 2
Эд1 ('. '
= к
Эд2
' Э/2(д1' д2) 2^ Э/2(д1' д2) 1Л
д +
Эд1
Эд2
33
Я
(е3 • е3" = (I • 1) = 1.
1)
12
Я = О,
Условия ортогональности системы координат можно записать Я12 = О, Я13 = О,
Я23 = 0.
Я13 = 0, или 2)
Я = О,
(6)
(7)
(8)
(9) (10)
(11)
Так как эти условия равносильны, рассмотрим равенство нулю соответствующих контравариантных компонент метрического тензора
12 Э/1(д\ д2)Э/2(д1' д2) , Э/1(д!> д2)Э/2(д!> д2),
Я = ------+----+
+к
Эд1 Эд1 Эд2 Эд2
1 2 1 2 1 2 1 2
Э/2(д ' д ) 2, Э/2(д > д ) 1
Э/1(д ' д ) 2^ Э/1(д > д ) 1
- д + -----------------2---------- д
Эд1
Эд
13
я = к
Э/1(д ' д ) 2, Э/1(д > д ) 1
- д + --------------------------- д
Эд1
Эд
23
я = к
Э./2(д1' д2) 2, Э./2(д1' д2) 1Л
д+
Эд1
Эд2
Эд1
= 0; = 0.
-д +-
Эд2
= О;
(12)
Я
13
Я
22
Я
23
Я
Решение последних двух условий можно получить как решения дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка
д/1(Ч, Ч2) 2 , д/1(Ч, Ч ) 1 д/2(Ч ) 2 , д/2(ч\ Ч ) 1
---1— ч +——2— ч = 0;--71— ч +—71—ч = ° (13)
д ч д ч д ч д Ч
Уравнения характеристик для обоих уравнений запишем в виде: ^/-д2 = ёч2/ч\ откуда находим первый интеграл этого уравнения: (ч1)2 + (ч2)2 = С, тогда решения (10) можно записать
/1 (Ч1, Ч2) = /*[(Ч1 )2 + (Ч2)2]; /2(Ч1, Ч2) = /* [(Ч1 )2 + (Ч2)2]. (14)
Якобиан преобразования (ч1, ч2, Ч3) ^ (э1, ^3) с учетом полученного вида функций /1(ч1, Ч2),/2(Ч1, Ч2) (14) будет равен нулю, следовательно, это преобразование не является взаимнооднозначным и не может быть использовано для получения новой системы координат.
Таким образом, не существует ортогональной системы координат, позволяющей представить винтовое движение в виде изменения одной координаты при фиксированных других двух координат
Невозможность построения ортогональной системы винтовых координат следует из невозможности построения поверхности г(х, у), в каждой точке которой она ортогональна винтовой линии, проходящей через эту точку.
Действительно, вектор нормали к поверхности г(х, у) можно получить в виде
дг(х, у)?, дг(х, у^ ,1ГЧ
N =—\ 1 + —\-iZl, + к, (15)
дх ду
а вектор, касательный к винтовой линии, проходящей через точку (х0,у0, г^), заданный в параметрической форме, в виде
х (ф) = х° соб ф - y0sin ф;
у(ф) = х° sin ф + у°соб ф; (16)
гф = ± (1/К)ф,
имеет вид
т = (- x0sin ф - у°соб ф) /' + (х °соб ф - у°бш ф) ] + (Б/2%)к = - у1 + х] + (Ю^. (17)
Из условия колинеарности этих векторов (дг/дх)/-у = (дг/ду)/х = К, (18)
следует, что
\дг/дх = -Ку; \дг/ду = Кх.
(19)
Продифференцируем первое соотношение по у, второе - по х
|Э2г/дудх = -К; 1_д2 г/дхду = К,
что противоречит требованию непрерывности функции г(х, у). 54
Рассмотрим случай системы координат с ослабленными условиями ортогональности: Я12 = 0, Я13 = 0, Я23 Ф 0.
Для отыскания вида функциональных зависимостей/[(д1, д2),/2(д1, д2) в этом случае необходимо получить решение следующей системы уравнений
12 Э/1(д\ д2)Э/2(д1' д2) , Э/1(д!> д2)Э/2(д!> д2),
Я = 1 2 + 1 2 +
d q
дq
dq
+ Г
d/i (q > q ) 2, d/i (q > q ) 1
д q1
q+
д q
д q
д/2(q1' q2) 2, д/2(q1' q2) i
13
g = ^
д/i(q1' q2) 2 , д/i(q1' q2) i4
-q +
dq1
dq
д q = 0.
-q +
дq
= 0;
Последнее уравнение системы, как и ранее, дает
/1 (д\ д2) = /?[. (д1 )2 + (д2)2!
а первое уравнение с учетом выполнения второго дает Э/1(д\ д2 )Э/2( д1' д2) + Э/1 ( д 1 > д2 ) Э /2 ( д 1 > д 2 ) = 0
дq1 дq1
д q
дq
(21)
(22)
(23)
, i д/!(q1' q2) д/2(q1' q2К , 2 д/l(q\ q2) д/2(q!> q2) 2q —n---1— + 2q
д[( q1 )2 + ( q2 )2 ] дq1
-4 i 2 2 2 2 д[( q1)+ ( q2 )] дq
= 2
д/2(q ' q )
д[( q1 )2 + ( q2 )2 ]
дq1
Из(24) получим
i д/2(q1' q2К 2д/2(q1' q2)
i д/2(q> q) 2 д/2(q> q)
q ----------------i---------+q
дq
= 0.
q
д q1
+ q
дq
= 0,
(24)
(25)
Э/^U2) i
так как 2-2-J" ^ 0 (в противном случае выполнялось бы условие q = /1(q ,
д[(q1) +(q2) ]
q2) = const, что также нарушает условия взаимнооднозначности преобразования (q1, q2, q3) ^ (q1, q2, q3)).
Найдем характеристики полученного уравнения в частных произво
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.