научная статья по теме О ВЛИЯНИИ ФАЗОВОГО МНОЖИТЕЛЯ НА МИНИМАЛЬНОЕ ВРЕМЯ РЕАЛИЗАЦИИ КВАНТОВОГО ВЕНТИЛЯ Физика

Текст научной статьи на тему «О ВЛИЯНИИ ФАЗОВОГО МНОЖИТЕЛЯ НА МИНИМАЛЬНОЕ ВРЕМЯ РЕАЛИЗАЦИИ КВАНТОВОГО ВЕНТИЛЯ»

О ВЛИЯНИИ ФАЗОВОГО МНОЖИТЕЛЯ НА МИНИМАЛЬНОЕ ВРЕМЯ РЕАЛИЗАЦИИ КВАНТОВОГО ВЕНТИЛЯ

В. Е. Зобов* В. П. Шауро

Институт физики им. Л. В. Кирснского Сибирского отделения Российской академии наук

660036, Красноярск, Россия.

Поступила в редакцию 12 апреля 2013 1".

Показана связь фазового множителя квантового вентиля с расположением уровней энергии его эффективного гамильтониана и со временем реализации вентиля. На примере вентилей прямого и обратного квантового преобразований Фурье для кутрита, представленного квадрупольным ядром со спином 1=1, а также системы из двух кубитов (I = 1/2), найдены эффективные гамильтонианы и минимальные времена реализации, соответствующие разным глобальным фазам. Предложены схемы их реализации методом ядерного магнитного резонанса с помощью последовательностей радиочастотных импульсов, разделенных интервалами свободной эволюции. Аналитические результаты для минимальных времен вентилей согласуются с результатами, найденными методами численной оптимизации. Выполнено разделение рассматриваемой фазы на динамическую и геометрическую части.

ЕЮ1: 10.7868/80044451014010039

1. ВВЕДЕНИЕ

Для обработки квантовой информации необходимо уметь осуществлять последовательность из базисных квантовых логических операций (вентилей) на заданной физической системе [1,2]. При этом квантовые вычисления можно проводить как на двухуровневых квантовых системах (кубитах), так и на многоуровневых кудитах [3 5] (при наличии (/-уровней). Последние обладают рядом преимуществ, в частности, тот же размер вычислительного базиса обеспечивается меньшим числом кудитов. При рассмотрении реализации квантовых алгоритмов помимо операционной сложности (число вентилей для выполнения алгоритма [2]) необходимо также учитывать временную сложность (время, затрачиваемое па выполнение алгоритма) [6 11]. Уменьшение этого времени минимизирует потери из-за взаимодействия с окружением. Временная сложность квантовых логических операций определяется рассматриваемой квантовой системой и способом управления ею. В общем случае наличие некоторого минимального времени Тт ;„, за которое может быть реализован квантовый вентиль с приемлемой вели-

Е-таП: геа'ШрЬ.krasn.ru

чиной ошибки, является фундаментальным ограничением на скорость квантовых операций.

Нахождение эффективных способов управления квантовыми системами для выполнения вентилей с максимальной точностью за минимальное время является важнейшей задачей на пути к созданию полномасштабного квантового компьютера. Среди физических систем, используемых для этой цели, выделяются сравнительной простотой системы из ядерных спинов. Поэтому к настоящему времени на таких системах выполнено много экспериментальных работ, демонстрирующих реализацию квантовых алгоритмов методом ядерного магнитного резонанса (ЯМР) [12]. В некоторых простых случаях минимальное время вентиля и эффективный гамильтониан для его выполнения с помощью радиочастотного (РЧ) магнитного поля удается найти аналитически (см., например, работы [8 10,13,14]). В более сложных системах для этих целей используются численные методы [7,11,15 20] (см. Приложение).

Ключевую роль во многих квантовых алгоритмах играет квантовое преобразование Фурье (КПФ) [1,2,12]. В результате расчетов КПФ на системах из спинов I = 1/2 было обнаружено, что минимальное время Ттг„ сильно зависит от фазового множителя в определении вентиля [7,11]. Дело в том, что оператор эволюции и(Т) спиновой системы в течение времени Т с гамильтонианом, след которого равен

пулю, принадлежит к специальной унитарной группе SU(N) (N размер гильбертова пространства рассматриваемой системы). Следовательно, выполняется равенство det{i/(T)} = 1. В то же время квантовые вентили Uq определены в группе унитарных операторов U(N), для которых равенство единице выполняется для модулей определителей, |det{i/o}| = 1. По этой причине мы можем реализовать вентили только с точностью до фазового множителя:

Ua = cx\)(-i<f)p)U(T). (1)

Глобальную фазу в (1) можно выбрать из некоторого набора значений [7],

О,, = Фо + 2 np/N, /> 0.1......Y-I. (2)

где N = 2" для системы из п спинов 1/2, а Фо минимальное значение угла Фо € [0,тг], при котором del {охр(/'Л)Н"(;} = 1. Численный расчет [7] для вентиля КПФ на трех спинах 1/2 показал зависимость минимального времени Tmj„ от значения (2) глобальной фазы. В работе [11] подобный эффект получен для вентилей КПФ и перестановки состояний (SWAP) на двух спинах 1/2. В работе [20] численное моделирование реализации КПФ па кудитах с числом состояний d = 3 и d = 4, представленных квадрупольными ядрами со спинами соответственно /=1и/ = 3/2, также продемонстрировало сильную зависимость минимальной длительности вентиля от значения глобальной фазы.

В настоящее время анализу различных проявлений квантовой фазы посвящено много работ (см. обзоры [21 23]). Чаще всего рассматривают фазу Бер-ри [24] при адиабатической эволюции и фазу Аа-ронова Анандана [25] при неадиабатической эволюции. В общем случае полная фаза является суммой динамической и геометрической частей. В области квантовых вычислений основное внимание уделяется реализации квантовых вентилей с помощью геометрической фазы (см. [12, 23,26 28] и приведенные там ссылки). В работе [29] авторы анализируют фазу и гамильтониан вентиля, взяв в качестве примеров вентили поворота кубита и SWAP между концами спиновой цепочки. Отмеченная выше связь между фазовым множителем вентиля и минимальным временем его реализации, насколько нам известно, не объяснена и рассмотрена в настоящей работе на примере КПФ.

Ранее численными методами установлено [7,11,20], что можно найти такую зависимость РЧ-поля от времени, которая позволит реализовать вентиль с одним из возможных значений глобальной фазы (2), каждому из которых соответствует

свое минимальное время реализации. Понятно, что сам по себе фазовый множитель не может влиять на длительность импульса. Следовательно, должна быть другая причина, приводящая к такой связи. Однако по рассчитанной компьютером сложным временным зависимостям РЧ-поля очень трудно понять механизмы этой связи. Поэтому для этих целей в настоящей работе мы применяем аналитические методы, с помощью которых исследуем эффективные гамильтонианы, реализующие вентиль, и рассматриваем простые способы его приближенного построения. В разд. 2 получены общие формулы, устанавливающие связь между фазовым множителем квантового вентиля и эффективным гамильтонианом, его реализующим. В разд. 3 рассмотрен пример КПФ для кутрита, представленного квадрупольным ядром со спином / = 1. В разд. 4 получен эффективный гамильтониан КПФ для системы из двух кубитов. В разд. 5 выполнено разделение рассматриваемой фазы на динамическую и геометрическую части.

2. СВЯЗЬ ФАЗОВОГО МНОЖИТЕЛЯ С ЭФФЕКТИВНЫМ ГАМИЛЬТОНИАНОМ ВЕНТИЛЯ

Пусть унитарный оператор некоторого вентиля в вычислительном базисе представлен матрицей {/о, которую запишем в экспоненциальной форме:

ис = е1К. (3)

С помощью преобразования Р приведем матрицы Vа и К к диагональному виду:

N

Р^АТ = о = ^2МЛ(Л< (4)

/=1

N

гЧ]аР = охр(Ш) = ^Г ехр(г'Л/)|/){/|, (5)

/=1

гДО |/){/| оператор проецирования на собственное состояние |/). Если теперь мы добавим к собственному значению А* число 2тгтд., где т* целое число, то значение экспоненциальной функции в выражении (5) не изменится, но изменится матрица £>, а следовательно, матрица К преобразуется в новую матрицу

Кт = Р (£> + 2тгт/,|А-><А-|) Р* =

= К+ 2ттткР\к)(ЦР^. (6)

При этом изменится след матрицы:

IV Кт = IV К + 27711),. = Л'Ф,

(7)

Допустим, мы хотим реализовать вентиль и а па выбранной физической системе с помощью эффективного гамильтониана Н(:ц. Поскольку его след равен нулю, для реализации следует выбрать матрицу

— — А,

Ф ,г,Е.

(8)

где Е единичная матрица. Поясним преобразования (6) н (8) на физическом языке. При выборе различных наборов чисел //»/. в выражении (6) эффективный гамильтониан (8) изменяется таким образом, что у него сдвигаются один или несколько энергетических уровней на величины 2тгтд./Т. Произошедшее при этом изменение средней энергии устраняем сдвигом шкалы, приняв это среднее значение за начало координат. В результате получим оператор

ит(Т) = ехрНТЯ;^) = иасщ)(-1Ф,

(9)

Отметим, что предложенное преобразование (7) позволило изменить след матрицы К и перейти от одного значения глобальной фазы к другому, тогда как унитарные преобразования (например, вращения, вызванные внешним полем) сохраняют след матрицы.

Из сравнения операторов (9) и (1) находим

ФР = -Фт mod (2тг).

Таким образом, мы получили оператор L'a (1) с точностью до глобальной фазы, каждому значению которой из набора (2) соответствует свой эффективный гамильтониан. При такой реализации вентиля появляется возможность выбирать из семейства эффективных гамильтонианов HJJjj тот, который имеет преимущества, например, может быть реализован за меньшее время.

Рассмотрим вентиль КПФ с матрицей:

( 1 1 1

Ua = QFTjv = 1

1

а

2

1

2

а

\ 1 ^ > ^(ЛГ-1)

а = ехр

1 \

т2(Л'-1)

a(N-l)2

(Ю)

Ъп ~N

Разберем описанные выше преобразования на примере кутрита. Тогда в выражениях (3) (5) для матрицы Uа = QFT3 (10) имеем

( 2.91 .92 .92 ^

.92 1+92/2 .92/2

V -.92 92 ¡2 1+.92/2 У

(Н)

D = 77

( 1 о о \

ООО V о 0 1/2 /

ГД° ,9i = sin2 (0/2), <72 = cos в = Матрица

в = arctg -

Р =

/ х/2 0 0 \ 0 1 1 V о 1-1 /

( sin(0/2) eos(0/2) 0 \ — cos(0/2) sin(0/2) 0

v о 0 1/

(12)

преобразует матрицы К и D к диагональному виду. Матрицы

27rmiP|l){l|Pt = ( 2.91

= 7ГШ1

-.92

-.92

\

-.92 1 - .91 1 - .91

V .92 1 - .91 1 - .91 )

27rm2P|2){2|Pt =

/ 2(1- .91) .92 .92 \ = тгт2 .92 .91 .91

V .92 .91 .91 /

(13)

2Т7ГП3РЩ{ЩР^ = 7ГШз

f о о о \ 0 1 -1 V о -1 1 /

задают изменения эффективного гамильтониана.

Возвращаясь к общему случаю, заметим, что вентиль КПФ (10) можно получить с помощью последовательности поворотов, селективных по переходам между уровнями [30,31]. В этом случае изменение фазового множителя (1) скажется на численных значениях показателей экспонент у диагональной части разложения КПФ, но не повлияет на саму последовательность операто

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком