ПОВЕРХНОСТЬ. РЕНТГЕНОВСКИЕ, СННХРОТРОННЫЕ И НЕЙТРОННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2004, < 4, с. 18-22
УДК 537.8
О ВЛИЯНИИ МНОГОКРАТНОГО РАССЕЯНИЯ НА СВОЙСТВА ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
© 2004 г. Н. Н. Насонов, В. А. Насонова, А. В. Носков
Лаборатория радиационной физики Белгородского государственного университета,
Белгород, Россия Поступила в редакцию 10.10.2003 г.
Теоретически исследуется относительный вклад параметрического и дифрагированного тормозного излучения в выход рентгеновских фотонов, излучаемых потоком релятивистских электронов, движущихся в кристалле в условиях брэгговского резонанса. Показано, что вклад дифрагированного тормозного излучения может быть существенным только при выполнении двух условий: 1) энергия излучаемого кванта должна лежать вне области проявления эффекта подавления тормозного излучения вследствие поляризации электронов среды (эффект Тер-Микаэляна); 2) угол многократного рассеяния электрона на длине формирования излучения должен превышать характерный угол излучения релятивистской частицы.
ВВЕДЕНИЕ
Многократное рассеяние оказывает двоякое влияние на характеристики параметрического излучения релятивистского электрона в кристалле. С одной стороны, происходит уширение спектрально-углового распределения собственно параметрического излучения. С другой стороны, возникает дополнительный вклад в полный выход излучения со стороны тормозного излучения, дифрагирующего на той же системе атомных плоскостей кристалла, которая ответственна за появление параметрического излучения.
Традиционно влияние многократного рассеяния на свойства параметрического излучения учитывается усреднением сечения параметрического излучения по расширяющемуся пучку прямолинейных траекторий излучающих электронов. Очевидно, в рамках такого подхода теряется вклад дифрагированного тормозного излучения. Строгая постановка задачи о влиянии многократного рассеяния на параметрическое излучение была использована в работе [1]. Однако использованные в [1] разложения позволяют описать только случай тонкой мишени, для которой влияние многократного рассеяния оказывается малым. В последнее время на основе строгого подхода рассматривалось влияние многократного рассеяния на ширину спектра параметрического излучения [2], однако вопрос об относительном вкладе механизмов параметрического и дифрагированного тормозного излучения в цитируемой работе не исследовался.
Таким образом, обсуждаемый вопрос об относительном вкладе параметрического и дифрагированного тормозного излучения в полный выход излучения движущейся в кристалле быстрой час-
тицы не решен до настоящего времени. Между тем, в ряде экспериментальных работ [3, 4] указывалось на несоответствие теории параметрического излучения, использующей усреднение по пучку прямолинейных траекторий излучающих частиц, полученным экспериментальным данным. Согласно [3, 4], вклад дифрагированного тормозного излучения в полный выход оказывается весьма существенным при условии юв > уюр (юв - частота Брэгга, в окрестности которой сосредоточен спектр параметрического излучения, у - лоренц-фактор излучающего электрона, ар -плазменная частота кристаллической мишени), означающем отсутствие эффекта Тер-Микаэляна.
Цель настоящей работы состоит в построении адекватной модели процесса параметрического излучения релятивистских электронов в толстых кристаллах и выяснении условий, при которых вклад дифрагированного тормозного излучения является существенным (в работе будет показано, в частности, что условие юв > уюр не является достаточным для проявления обсуждаемого эффекта).
ОБЩИЕ СООТНОШЕНИЯ
Рассмотрим излучение релятивистского электрона, движущегося в кристалле с диэлектрической проницаемостью е(ю, г) = 1 + %0(ю) +
+ ^^ (ю)ехр(г£г), где g - вектор обратной решетки. Исходя из уравнений Максвелла для фурье-образа электрического поля Ещк = (2П)-41ШсРгЕ(г, 0
О ВЛИЯНИИ МНОГОКРАТНОГО РАССЕЯНИЯ exp(iffli - ikr) возбуждаемой в кристалле волны
(к2 - ю2( 1 + Хо))Erak - k(kErak) -
- ю
2 Х-gE,
^ rak + g
= 4ni ю j
(1)
rak'
E
Xk +
4 п i ю Х g D
eXkjrak,
D = [ k2-ю2 (1 + Хо)][(k + g )2-ю2( 1 + Хо)] -
4 2
- ю XgХ-«ал-
(2a)
(26)
T-^rad
Ex =
л 3 . 3
4п iю Xg«x
A,2 + ю2XgX-g aX( 1- ng/ ю)
x [e^k+j»k+exp(r) - eXk-j»k-exp(i^r)]
(3a) exp (i ю r)
S± =
1
2 (1- ng/ю)
x
2 2 2 ю
x (- A' ±4& + ю XgX-g OX 1 - ng/ ю)) + - Хо,
(36)
ei
% \¥±г\
где ,)шк - фурье-образ плотности тока излучающего электрона, получим хорошо известными методами динамической теории дифракции [6] следующее выражение для поля излучения, распространяющегося в направлении брэгговского рассеяния:
/8 /
Ф-е^
2
) g
Здесь ЕЮк + g = ^ =! еХк + 8 ЕХк + g, еХк и ехк + g - в<ж-торы поляризации; кеХк = (к + g )ех к + g = 0, а = 1, а2 = к (к + g) / к\к + g|.
Для определения спектрально-углового распределения излучения необходимо вычислить интеграл Фурье: = | й3 кёехр({кёпт)ЕХк + ё в волновой
зоне с помощью метода стационарной фазы, где к^ = к + g, п - единичный вектор в направлении излучения. Результат интегрирования имеет вид:
Рис. 1. Геометрия процесса излучения: 5 - отражающая плоскость, % - задающий эту плоскость вектор обратной решетки, е1 - ось электронного пучка, ^ц, и - компоненты угла рассеяния электрона, е2 - ось коллиматора излучения, 9ц и 9^ - компоненты угла наблюдения излучения, ф - угол излучения, 9' - ориен-тационный угол.
где у(0 = С- г(0 - скорость излучающего электрой V г
на; ~сй ^ ^ В рассматриваемых условиях вследствие многократного рассеяния. Переменные 0 и у показаны на рис. 1, где приведена геометрия процесса излучения.
С учетом (3) и (4) можно получить следующее выражение для спектрально-углового распределения числа излучаемых фотонов:
dNx e2 ю|Х^2
1
8 п2 A2 + Xg Х-gO, cos ф
x
А' = 2Ш - ng^ 1 + XoJ, к± = (ш + £±)п - g. (3в)
Для дальнейшего анализа удобно ввести угловые переменные 0 и у в соответствии с формулами:
С 1-2 1
V(г) = у, = е11 1 - ;у уЛ + У,, е1 у, = 0, (4а)
d ю d 6
x Re JdijdxQXt+техр(-г'ют)х
о
x [exp (ik+rt+т - r)) + exp (i k(rf+T - rf)) ] ]
(5)
где A = А'/юв, юв = g/2sin($/2) - брэгговская частота, в окрестности которой сосредоточен спектр излучения, Q1t = 6х - у^, Q2t = 6М + ^ + 6', 6' - ори-ентационный угол, значение 6' = 0 соответствует , 1 ч точному брэгговскому резонансу, скобки < > озна-
n = e211— 62] + 0, e20 = 0, e^2 = cosф, (46) чают усреднение по всем возможным траекториям v 2 / излучающего электрона. Согласно (5), в рассмат-
x
2
риваемой динамической картине вклад в полный выход излучения вносят две ветви распространяющихся в кристалле рентгеновских волн.
Процедура усреднения выражений, подобных (5), подробно описана в [6], поэтому мы приведем лишь окончательный результат:
dN
dtdwd б
g2e>l%,
4п2
,2/02 2 - cos (^т) 1Re d . VU X
2
ch (V2iaqт)
(6)
x exp
- у(Y-2 - Xo - А)т ^2thU2iюqт)
2
2 д2 2 1 £- 1 где = A2 + хд-, ах cos ф, q = — , ck
4 га Л / ^
dNx dtd2 б
X
2 4 2 2 2
Im{(Px + iY2-iXo)X
2пя РЛ
f dT exp[- Юв (Pi + i Y-2- iXo )т - (7)
турный фактор элементарной ячейки, содержащей N атомов, ит - среднеквадратичная амплитуда тепловых колебаний атомов кристалла.
Формула (7) учитывает влияние искривления траектории излучающей частицы на длине формирования излучения. При неучете искривления ^ —- 0) из (7) следует традиционное выражение для углового распределения интенсивности параметрического излучения:
dN dtd26
2 4ic-g ю р l 5 g l
П g2 Юв
2
\t с
i (Y-2 + Y TM + )2 + Pi/
(8)
, £k = 21 МэВ,
т у ^я
Ьк - радиационная длина, скобки (> означают усреднение по углу у
АНАЛИЗ ВКЛАДОВ ДИФРАГИРОВАННОГО ТОРМОЗНОГО И ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО МЕХАНИЗМОВ ИЗЛУЧЕНИЯ
Воспользуемся общим результатом (6) для выяснения условий, при которых вклад дифрагированного тормозного излучения является существенным. Прежде всего проинтегрируем (6) по частотам ю, воспользовавшись узостью спектра рассматриваемого излучения (в (6) только расстройка брэгговского резонанса А(ю) является быстрой переменной; во всех остальных коэффициентах можно положить ю ~ юв). Результат интегрирования имеет вид:
где Утм = юв/юр, в области у > ухм проявляется подавление тормозного излучения (на частоте ю ~ юв) вследствие эффекта Тер-Микаэляна, а также насыщение выхода параметрического излучения вследствие эффекта плотности Ферми.
В настоящей работе мы ограничимся анализом полной интенсивности излучения, измеряемой детектором с угловым размером ва, превышающим полный угол многократного рассеяния на всей толщине мишени. При этом из (7) следует выражение:
dNi
24 g ю p
dt 2 g юВ^ ф
Fi( x),
(9a)
Fx(x) = -%xImi I x +
1 - i %
dT cth т x
X exp
Ylp V x +Izini\
YtmV x J
Y TM
1 - exp I —/i Y Tm б
(96)
2 a2 У LP th т
dYtm x JJ
- -Юв Q^h (Jli^Bq т) ^ H sq
где pl = XgX_g al cos Ф, рассматривается случай геометрии Лауэ, так что Ф < п/2. Кроме этого, для средней диэлектрической восприимчивости %0 ис- = |5g| Vcos ф ax.
где х = утм/у, Уьр = л/ё2юв£я/8л:, величина у ьр равна среднему квадрату угла многократного рассеяния электрона на длине формирования излучения, поэтому в области у > уьр проявляется эффект Лан-дау-Померанчука в тормозном излучении, % =
пользуется простейшая аппроксимация %0 = - юр /ю2, юр - плазменная частота, при этом х = %05ё, 5ё =
= (ВД/ЪХ^/луехр(-1 я2ир], ВД - формфак-тор атома, содержащего Ъ электронов, £(£) - струк-
Интегрирование по углам выражения (8) приводит к формуле:
djNl dt
24
-Ю^Р- x) ■
2g юBcosф
(10a)
0
0
X
0
О ВЛИЯНИИ МНОГОКРАТНОГО РАССЕЯНИЯ
21
х) = Пх 1п
(1 + у Тм ей + х2 )2 + %
/1 2,2 2 (1 + х ) + Пх
- Пх( 1 + х )
■ (1+ У Тм е2а + Х2Л (1 + х агС£ I-П- - агсг§ I -г-
V Пх / V Пх
(106)
2\н
описывающей вклад параметрического излучения, генерируемого на прямолинейной траектории излучающего электрона. Можно показать, что
Рх(х) —- Н0) (х), если в (96) положить Шт ~ т.
Выражения (9) и (10) позволяют определить вклад дифрагированного тормозного излучения
как разность между -у::- и ——— . Зависимости ^х(х)
йг
йг
^х(х), отн. ед. 5
= 0.1
Пх = 0.8
Утмеа = 5
1
и ^х0) (х) удобны для анализа обсуждаемого вклада как функции у при фиксированн
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.