РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2015, том 60, № 6, с. 610-614
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА ^^^^^^^^
И РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН
УДК 538.566.2;621.372.8
О ВЛИЯНИИ ПОТЕРЬ СРЕДЫ НА РЕЗОНАНСЫ ПОВЕРХНОСТНЫХ ПЛАЗМОНОВ В ЦИЛИНДРЕ © 2015 г. А. П. Анютин, И. П. Коршунов, А. Д. Шатров
Фрязинский филиал Института радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН Российская Федерация, 141190, Фрязино Московской обл., пл. Введенского 1 E-mail: anioutine@mail.ru; korip@ms.ire.rssi.ru Поступила в редакцию 03.12.2014 г.
Для случая ТМ-поляризации рассмотрена двумерная задача возбуждения плоской и цилиндрической волн кругового цилиндра из материала с отрицательной диэлектрической проницаемостью. При помощи строгих численных расчетов установлены условия, при которых в тонких по сравнению с длиной волны цилиндрах возникают резонансы поверхностных плазмонов.
DOI: 10.7868/S0033849415050010
1. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ
Рассматривается двумерная задача дифракции плоской линейно поляризованной волны
Е°у = ехр(-гкх), Н° = ехр(-гкх), к = 2п/Х, (1)
на круговом диэлектрическом цилиндре (рис. 1). Используется гауссовская система физических единиц; зависимость полей от времени выбрана в виде ехр(юг); X — длина волны в свободном пространстве.
Предполагается, что радиус цилиндра а мал по сравнению с длиной волны:
ка < 1, (2)
диэлектрическая проницаемость цилиндра удовлетворяет условию
6»-1. (3)
Выбор области значений параметров задачи в окрестности точки ка = 0, б = -1 связан с тем, что указанная точка является особой. При ка = 0 и б = -1 задача не имеет решения.
В статическом пределе (ка = 0) решение задачи известно. Электрическое поле внутри цилиндра однородное, причем
2
Ey =
6 + 1
(4)
1 6- 1
sin ф.
(5)
2пб +1
При б = -1 выражения (4) и (5) обращаются в бесконечность. Заметим, что в электростатике
диэлектрическая проницаемость среды не может принимать отрицательных значений. Однако в электродинамике (ка ^ 0) значение комплексной диэлектрической проницаемости б = б ' - ¡б" может неограниченно приближаться к минус единице.
Численное исследование сформулированной дифракционной задачи удобнее проводить, используя ^-компоненту магнитного поля: и (г, ф) = = Н^^ (г, ф). Краевая задача для функции и (г, ф) является скалярной.
Полное поле и(г, ф) удовлетворяет уравнению Гельмгольца
Вне цилиндра (г > а) к внешнему однородному полю Е°у = 1 добавим поле электрического диполя. Это поле создано связанными зарядами на поверхности цилиндра. Плотность зарядов равна
+
д 2U (r, ф) + 1 dU (r, ф) + дг2 r дг 1 д 2U (г, ф) ,2
(6)
дф2
+ к s(r)U(г, ф) = 0,
{r, ф|
Рис. 1. Геометрия задачи.
r
e(r) =
(7)
где
|e, r < a, |l, r > a.
Граничные условия для функции U (r, ф) имеют вид U(a - 0,ф) = U(a + 0,ф),
16U, п ч 6U, , п . (8) --(a - 0,ф) =-(a + 0,ф).
s dr дг
В случае плоской волны падающее поле задано функцией
U0 = exp(-ikr cos ф). (9)
Вне цилиндра r > a полное поле состоит из падающего U0 и рассеянного Us полей:
U = U0 + Us, r > a. (10)
Рассеянное поле в дальней зоне должно удовлетворять условию излучения
Us ~ Ф(ф) exp(-ikr), kr ^ да, (11)
4kr
где Ф(ф) — диаграмма рассеяния.
Компоненты электрического поля могут быть выражены через функцию U (r, ф):
\U(a, 0)| 10
E _ 1 dU р ___1_dU
Er — , E ф — .
iks(r)r дф iks(r) dr
(12)
Аналитическое решение задачи (6)—(11), полученное методом разделения переменных, хорошо известно (ряд Рэлея [1]). В частности, при ка ^ 0 рассеянное поле имеет вид
и' = -п^-1(ка)2#<2)(кг)созФ, г > а, (13) 2 б +1
где Н(^)(кг) — функция Ганкеля. При кг ^ 0 из формул (12), (13) следуют выражения, совпадающие с решением электростатической задачи:
s -1 a¿ s + 1 r5
cos ф, r > а. (14)
_ 2
т-rs s 1 a • T-Ts
Er =--—sin Ф, E^ = -
s + 1 r
Формула (13) получена в предположении, что ka ^ 0. Однако если при этом е ^ -1, то выражение (13) не может быть вычислено. В работе [2] показано, что в этом случае возможны мульти-польные резонансы. Они происходят на частотах
(kam)2 = -(m2 - 1)(е + 1), m > 2.
ч * \ V \ V \д \ v\
л * ч. •«, ч. 1
V
2"
0
0.2
0.4
0.6 ka
(15)
Азимутальная зависимость ближнего поля на резонансных частотах будет содержать лишь одну гармонику соз(тф). Однако этот эффект может реализоваться лишь при достаточно малых тепловых потерях среды.
Цель работы — установить требования к потерям среды, при выполнении которых возможны мультипольные резонансы. Из близких по тематике исследований отметим работы [3, 4], в кото-
Рис. 2. Амплитудно-частотные характеристики цилиндра из материала с е' = -1 при различных значениях потерь. Кривые 1, 2, 3 соответствуют е" = 0; 0.001; 0.01.
рых дипольные резонансы сплошного и полого плазменных цилиндров использовались для усиления излучения короткой линейной антенны.
2. ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Все численные расчеты волновых полей выполнены при помощи модифицированного метода дискретных источников [5—7], который ранее применен авторами при исследовании родственных задач [8—11].
На рис. 2 представлено семейство кривых, описывающих зависимость модуля поля || от безразмерного параметра ка в точке с координатами г = а, ф = 0, расположенной на теневой стороне цилиндра, при £' = -1 и различных значениях е''. Видно, что с уменьшением радиуса цилиндра поле монотонно возрастает.
Пусть теперь е' ф -1. На рис. 3 представлено аналогичное семейство кривых для случая е' = -1.04. Несмотря на незначительное изменение величины е' рис. 2 и рис. 3 существенно различаются. Кривые на рис. 3 содержат резонансные всплески на частотах ка = 0.11; 0.32; 0.55. Наименьшая частота соответствует дипольному резонансу (т = 1), а последующие частоты — мультипольным резонансам (т = 2, 3). Отметим, что из приближенной формулы (15) имеем следующие значения для резонансных частот: ка2 — 0.34; ка3 — 0.56. При е'' = 0 и е'' = 0.001 резонансные значения |1(а,0)| в десятки раз превышают амплитуду падающей
плоской волны || 0 = 1 (кривые 1, 2). При потерях
е'' = 0.01 (кривая 3) резонанс т = 3 практически исчезает.
5
612
АНЮТИН и др.
№, 0)| 102г
1
А 1
101 ^ /А г ,') -------- 3 - / V / ____
100 ...... \
10-1_,_,_,_
0 0.2 0.4 0.6 ка
Рис. 4. Зависимость полного сечения рассеяния от частоты для цилиндра из материала с £' = -1.04 при различных значениях потерь. Кривые 1, 2, 3 соответствуют 5" = 0; 0.001; 0.01.
Рис. 3. Амплитудно-частотные характеристики цилиндра из материала с £' = -1.04 при различных значениях потерь. Кривые 1, 2, 3 соответствуют е" = 0; 0.001; 0.01.
Представленные на рис. 2 и 3 результаты характеризовали поведение ближнего поля цилиндра. На рис. 4 приведены частотные зависимости полных сечений рассеяния а при тех же значениях е, что и на рис. 3. Величина а рассчитана по формуле
ст =
1 ||Ф(Ф)|2 ёф.
(16)
Кривая 1 соответствует случаю, когда тепловых потерь нет: е'' = 0; кривые 2 и 3 — е'' = 0.001 и 0.01. Из асимптотики ряда Рэлея при ка ^ 0 и е'' = 0 следует, что на резонансных частотах, удовлетворяющих условию ка < 1, полное сечение рассеяния определяется простой универсальной формулой, содержащей лишь длину волны:
4,
а -— к. п
(17)
Величина резонансного пика низшего колебания (ка1 = 0.11) с большой точностью согласуется с этой формулой (ка ~ 8). С увеличением номера т добротность резонансов возрастает. Учет потерь (кривые 2, 3) приводит к ослаблению резонансных явлений, причем в первую очередь на потери реагируют более добротные колебания. Как следует из рис. 4, в дальнем поле все резонансы при е'' « 0.01 исчезают.
Диаграммы рассеяния при потерях е'' = 0.001 на резонансных частотах кат (т = 1,2,3) приведе-
ны на рис. 5. Несмотря на малые размеры цилиндра диаграммы имеют многолепестковую структуру. Число лепестков 2т зависит от номера резонанса.
Рисунок 6 иллюстрирует распределение модуля поля ||| вдоль поверхности цилиндра на резонансных частотах ка = 0.11; 0.32; 0.55 (кривые 1—3) при е'' = 0.001. Как и в случае дальних полей, угловые зависимости ближних полей на резонансных частотах содержат 2т явно выраженных лепестков.
Представление о пространственной структуре ближнего поля на резонансной частоте ка3 дает рис. 7, на котором изображены линии постоянного уровня функции |1| при е'' = 0.001. Отметим, что резонансное колебание с азимутальным индексом т представляет собой стоячую поверхностную волну, поле которой локализовано в окрестности границы г = а. При этом скорость убывания поля при удалении от границы возрастает с увеличением индекса т [10]. Поэтому колебания с большими значениями индекса т слабо возбуждаются при воздействии плоской волны; они эффективно возбуждаются лишь при помощи источников, расположенных вблизи границы г = а.
На рис. 8 приведены распределения модулей полей |1| на трех резонансных частотах при возбуждении плазменного цилиндра нитью магнитного тока, расположенной вблизи границы в точке г0 = 1.2а, ф0 = п. В этом случае падающее поле имеет вид цилиндрической волны:
и0(г, ф) = Н02)(к^г2 + г02 + 2гг0 ео8 ф). (18)
Видно, что на частоте ка3 поле и с большой точностью может быть аппроксимировано функцией ео8(3ф) (кривая 3). Такая высокая степень близости резонансного поля к полю собственного колеба-
о
|ф(ф)|
15 10
10
180
90
270
Ф,град
5
0
0
5
Рис. 5. Диаграммы рассеяния цилиндра из материала с параметрами е' = -1.04, £" = 0.001 на различных резонансных частотах. Кривые 1, 2, 3 соответствуют ка = 0.11; 0.32; 0.55.
Рис. 6. Распределения модуля поля |1 (а, ф)| вдоль поверхности цилиндра из материала с параметрами е' = -1.04, £" = 0.001 на различных резонансных частотах. Кривые 1, 2, 3 соответствуют ка = 0.11; 0.32; 0.55.
Рис. 7. Пространственное распределение поля для цилиндра из материала с параметрами е' = -1.04, £" = 0.001 на резонансной частоте ка3 = 0.55.
614
АНЮТИН и др.
|U(a
600
400
200
0 2 4 6 ф, рад
Рис. 8. Распределения модуля поля |1 (а, ф)| вдоль поверхности цилиндра из материала с параметрами е' = -1.04, £" = 0.001 на различных резонансных частотах. Кривые 1, 2, 3 соответствуют ка = 0.11; 0.32; 0.55. Цилиндр возбуждает линейный источник, расположенный в точке Г0 = 1.2а; ф0 = п.
ния не наблюдалась
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.