МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 6 • 2014
УДК 532.5
О ВЛИЯНИИ ВЯЗКОСТИ НА ПОВЕРХНОСТНЫЕ И ВНУТРЕННИЕ ВОЛНЫ В ДВУХСЛОЙНОЙ ЖИДКОСТИ СО СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
© 2014 г. A. И. ГРИГОРЬЕВ, М. С. ФЕДОРОВ, С. О. ШИРЯЕВА
Ярославский государственный университет, Физический факультет, Ярославль e-mail: grig@uniyar.ac.ru, yardemid@mail.ru, shir@uniyar.ac.ru
Поступила в редакцию 13.12.2012 г.
Для двухслойной жидкости в асимптотике малых кинематических вязкостей выведены аналитические выражения для декрементов затухания поверхностных (на свободной границе) и внутренних (на границе раздела) волн. Обнаружено, что декременты затухания внутренних волн примерно на два порядка меньше декрементов поверхностных волн, что объясняется разницей в частотах при прочих равных условиях. Величина декрементов зависит от кинематических вяз-костей обеих сред, но при малом значении вязкости одной из сред определяется в основном вязкостью другой среды, что позволяет пользоваться моделью контакта вязкой среды с невязкой. Частоты капиллярных поверхностных и внутренних волн в капиллярном аналоге эффекта "мертвой воды" сильно различаются по величине, что сказывается на наличии большой разницы в величинах декремента.
Ключевые слова: двухслойная жидкость, поверхностные и внутренние волны, декремент затухания.
Исследование волнового движения в двухслойной жидкости представляет собой актуальную проблему, которой посвящено много публикаций из-за многочисленных приложений (см., например, [1—3]). Обнаружение капиллярного аналога эффекта мертвой воды помимо чисто академического представляет практический интерес для жидкостной эпитаксии и точного приборостроения [4—6]. Особенный интерес представляет исследование волнового движения в вязкой двухслойной жидкости [7] в связи с неразрешенными проблемами динамического поверхностного натяжения [8] и возобновившимися попытками экспериментального исследования эффекта мертвой воды [9].
Будем аналитически исследовать влияние малой вязкости жидкостей, составляющих систему, на характеристики поверхностных и внутренних волн в двухслойной жидкости со свободной поверхностью. Выведем аналитические выражения для декрементов затухания поверхностных и внутренних волн в асимптотике маловязких жидкостей.
1. Формулировка задачи. Примем, что рассматриваемая система состоит из двух не-смешиваемых несжимаемых вязких жидкостей, верхняя из которых — диэлектрик с диэлектрической проницаемостью е имеет толщину к, кинематическую вязкость v1, поверхностное натяжение ст1 и плотность р1, а нижняя — идеальный проводник с плотностью р2 (по определению р2 > Р1) и поверхностным натяжением границы раздела ст2 заполняет в поле сил тяжести g полубесконечное пространство % < 0. Ускорение свободного падения g направлено противоположно ez — орту декартовой системы координат, координатная плоскость % = 0 которой совпадает с невозмущенной границей раз-
дела жидкостей. Примем, что часть пространства над верхней жидкостью представляет собой среду с плотностью, много меньшей плотности обеих жидкостей, и ее влиянием на волновое движение можно пренебречь. Будем исследовать капиллярно-гравитационное волновое движение на свободной поверхности и на границе раздела.
Математическая формулировка задачи состоит из линеаризованного уравнения Навье—Стокса, уравнений неразрывности для двух сред, динамических и кинематических граничных условий
г = («2, и) = (п2, и2) , (т2 , и!) = (т2, и2) , Фх = СОШ1 Ъ (X, г, г) = 0: ^ + ОЬ, V)F2 = 0
Р1 V! [(Т2, (П2, V) и) + (П2, (Т2, V) и!)] = P2V2 [(Т2, (п2, V) и2) + (п2, (Т2, V) и2)] Р2 - Р + 2 [р! V! (П2, (П2, V) и!) - Р2 V2 («2, («2, V) ^)] + Р^ - ^а = 0 г = к + ¡^ Р! V! [(Т!, (П!, V) и!) + («!, (Т!, V) и!)] = 0 («!, УФ0) = 6 ( «!, УФ!) (Т!, УФ0) = (Т!, УФ!)
Ъ (х, г, г) = 0: ^ + (и!, у)р = 0
дг
Р! - Раш - 2р! V! («!, (П!, V) и!) + Р^ - Р1ст = 0 г ^ да: ^Ф^ ^ Е2 = Е^ег ^ -да: и2 ^ 0
Здесь и — поля скоростей в верхней и нижней жидкостях; V ] — коэффициент кинематической вязкостиу-й среды; щ, П2 — единичные вектора нормали к свободной поверхности и к границе раздела сред; ть т2 — единичные вектора касательной к свободной поверхности и границе раздела сред; функции Ъ!(х, г, г) = г - ^!(х, г) - к и Ъ2(х, г, г) = г - ^2(х, г) определяют уравнения свободной поверхности верхнего слоя жидкости р(х, г, г) = 0 и границы раздела жидкости _р(х, г, г) = 0; ^!(х, г) и ^2(х, г) — возмущения свободной поверхности слоя и границы раздела сред, соответственно амплитуды которых 1^1 ~ 2 ^ к принимаются в качестве малого параметра задачи; р, р — гидродинамические давления в верхнем слое и нижней жидкости; напряженность электрического поля Е^ Е0 и электростатические потенциалы Ф:, Ф0 в верхнем слое жидкости и в вакууме соответственно; Р!ст, Р2ст и Р!Е, Р2Е — капиллярные и электростатические давления на свободной поверхности (индекс 1) и границе раздела сред (индекс 2).
2. Скаляризация. Двухмерность задачи (волновую деформацию формы поверхности раздела Е, (х, г) и поля скоростей и! (г, г), и2 (г, г) считаем не зависящими от координаты у) позволяет провести разделение полей скоростей на потенциальные и вихревые части. Для этого введем скалярные потенциалы полей скоростей ф! (г, г) и скалярные функции ^ (г, г) (имеющие тот же смысл, что и функции тока, но несколько иначе определенные) для нижней и ф2 (г, г) и у2 (г, г) — для верхней [10]
и (г, г) = N+91 (г, г) + N2^1 (г, г), и2 (г, г) = N>2 (г, г) + ^2 (г,г)
N1 = V, N 2 = V х п у
где пу — орт декартовой координаты у. Векторные дифференциальные операторы — N и N2, удовлетворяющие соотношениям ортогональности и условиям коммутативности с оператором Лапласа. Эрмитовый оператор N выделяет потенциальную часть движения, а антиэрмитовый N2 — вихревую.
Решение сформулированной задачи ищем в виде и. (г, г) = ^ф. (г, г) + N2^. (г, I) О = 1; 2). Поскольку движения обеих жидкостей вызваны малыми колебаниями их граничных поверхностей, то в безразмерных переменных (например, р1 = g = Н = 1) будем считать, что потенциалы ф.(г, г) и скалярные функции у . (г, г) имеют тот же порядок малости, что и амплитуды волн: |ф. ~ . ~ . ~ е, где г = ^ ■ к — безразмерная амплитуда начальной деформации, которую примем в качестве малого параметра задачи. Будем искать решение в виде асимптотических разложений
Р! « . + +..., . » Р(0) + +..., « РЕ + £Р« +...
Фj (г, г) - Ф(0) (г) + £ Ф(1) (г, г) +..., Ф, (г, г) « £ф(1) (г, г) +...
V.(г,г) (г,г) +..., %.(х,г)*е%(1) (х,г) +... (. = 1;2) (2.1)
Здесь верхний индекс означает порядок малости соответствующей компоненты: "0" отвечает равновесным значениям на поверхности, не связанным с возмущением; "1" — величины первого порядка малости.
Подставив разложения (2.1) в линеаризованное уравнение Навье—Стокса и уравнение неразрывности жидкости для двух сред и приняв собственные значения операторов (N1", N2) и (N2, N1) (где N — оператор, эрмитовосопряженный к отличными от нуля, получим систему скалярных уравнений
^ - У.Ду. = 0, дф. = о, Р, = р . (-дгф. -= 1,2)
Для определения давления электрического поля на свободную поверхность Р1Е и границу раздела сред Р2Е воспользуемся общим выражением для электростатического давления на границу раздела двух диэлектрических сред
/
РЕ = ~ (ет Еех)
8п
(Еех)2 -
1 (п, ЕПх)2
где индексы ех и ш отмечают величины внешние и внутренние по отношению к поверхности раздела.
3. Дисперсионное уравнение и его анализ. Вывод дисперсионного уравнения не представляет трудностей (см., например, [8]). В полном виде оно весьма громоздко и не решаемо, поэтому возьмем его асимптотику в пределе малых вязкостей, сохраняя члены,
пропорциональные .у/у^ и ^у^. Получим дисперсионное уравнение, схематически записываемое в виде
Л.У9/2 + В54 + Сх^2 + Б..2 + О51/2 + й0 = 0 (3.1)
Не все коэффициенты полного уравнения нужны для следующего ниже анализа и поэтому не выписываются в целях экономии места. Что касается коэффициентов уравнения (3.1), то достаточно знать их зависимость от коэффициентов кинематической вязкости v1 и V2
А = а А1 А2, В = ^в1 В2, С = Со С1 + ^ с
VI
-1 + — »-2 V 2
в = + С = Со + +
¥ = + ^ ¥2 Л/У2
' v 2
В приближении малой вязкости (3.1) можно записать в виде
+ 2 ^ Р! + ^ £2] [ Ао^92 + Со,52 + Со/2] +
, 4^2 Р2 ^2 р2)
^ + рV4 + В,,2 + 0] = о
Р2)
(3.2)
Несложно видеть, что при у, = о уравнение (3.2) упростится Ао,4 + Со,2 + Со = о
(3.3)
Оно соответствует задаче о мертвой воде в идеальной жидкости, рассмотренной в работах Сретенского [1].
Решение дисперсионного уравнения (3.2) будем искать в виде , = г ю - р, где ю — частота волн, Р — декремент затухания, который считаем малым, поскольку он пропорционален корню квадратному из много меньших единицы коэффициентов кинематической вязкости [11]. Частота волн ю в нулевом приближении по малой вязкости будет решением уравнения идеальной жидкости (3.3)
ш4 + А ш2 + В = о
(3.4)
А = ■
(р2 +№Н(кН))
р2Е + (2 ) к2 + —(Р1Е + стк2)Л (кк) -Р1
Е2к
В =
4пе (е + 1к (кк)) к 21к (кк)
е2 -2(е- 1)(-1 + ск(кк) 2) + (к(кк)
Р1
е + — (е-1)"
Р1 (р 2 +Р1?к (кк))
Р1Е + ^1к -
2 кЕ2 (е-1)2
кЕ1
4пе (е + (к (кк))
V
(р2 -р1 )Е + °2к2 -
(В- 1)
кЕ22 (к (кк) + 1)
4пб (б + 1к (кк))) ^4ле2 (б + (к (кк)) ск (кк)
Подставим , = г ю - Р в (3.2) и разделим на вещественную и мнимую части получившееся соотношение, сохраняя при этом слагаемые не старше первой степени по декременту Р. В итоге получим систему уравнений, состоящую из линейного уравнения для нахождения малого декремента затухания и уравнение четвертой степени для определения частоты волн двух типов: поверхностных, порожденных свободной поверхностью, и внутренних, порожденных границей раздела сред.
Р1. Р2
0.008
0.004
1
0.2 0.4 0.6 0.8 к
2
Фиг. 1. Зависимости декрементов затухания для гравитационных волн от волнового числа в безразмерных переменных р1 = g = И = 1; р2 = 1.1; Е = 0; = 0.001; у2 = 0.005 для режимов однородной жидкости (1, Р1) и мертвой воды (2, Р2)
Р1. Р2 1.2 0.8 0.4
........
6
8
Фиг. 2. Зависимости декрементов затухания для капиллярных волн от волнового числа в безразмерных переменных g = р1 = = 1; р2 = 1.1; = 70; к
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.