ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2014, том 454, № 2, с. 168-172
МЕХАНИКА
УДК 531.37
О ВОЛЧКЕ ЛАГРАНЖА И МАЯТНИКЕ ФУКО В НАБЛЮДАЕМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ © 2014 г. Академик В. Ф. Журавлёв, А. Г. Петров
Поступило 02.09.2013 г.
DOI: 10.7868/S0869565214020121
ВВЕДЕНИЕ
При исследовании динамики твердого тела около неподвижной точки в случае динамической симметрии А = В Ф С (А, В, С — главные моменты инерции тела относительно неподвижной точки) чаще всего пользуются углами Эйлера 0, у, ф [1]. Из-за особенности в точке 0 = 0 углы Эйлера непригодны и требуется вводить новые переменные. В качестве таких переменных в [1] вводятся так называемые наблюдаемые переменные: декартовы координаты единичного вектора волчка e, направленного по его оси динамической симметрии (рис. 1). При описании в этих переменных можно провести аналогию с движением маятника Фуко [2] (рис. 2).
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В НАБЛЮДАЕМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
Введем декартову систему координат х, у, z. Начало системы координат поместим в неподвижной точке твердого тела, ось z направим вертикально вверх. Пусть х, у, z координаты единичного вектора волчка e (рис. 1). Запишем уравнение изменения кинетического момента волчка [1]
А(е х е) + Сге = М. (1)
Из уравнения связи х2 + у2 + z2 = 1 координату z можно исключить. Переменные х, у удобны при описании движения не только в окрестности вертикального положения волчка х = 0, у = 0, а и при произвольных движениях. Покажем, как провести исследование движения в случае Лагранжа, т.е. движения твердого тела под действием силы тяжести, когда центр тяжести расположен на оси симметрии на расстоянии I от неподвижной точки. Тогда момент силы M = —mgle х ^
Перейдем к выводу системы уравнений для координат вектора e.
Умножим уравнение (1) векторно на e и воспользуемся равенствами
e х(e х e) = e(e • e) - e = - её2 - e,
e х e = i(yz - zy) + j(zx - xz) + k(xy - yx), e х (e х k) = e(e • k) - k, где i, j, к — единичные векторы осей x, y, z.
Таким образом, получаем следующую систему уравнений:
- A(x + xe2) - — (xxy + y(1 - x2)) + mglxz = 0,
z
2 Cr 2
- A(y + ye ) +--(x(1 - y ) + yxy) + mglyz = 0,
z
- A(z + ze2) + Cr(xy - yx) + mgl(z - 1) = 0, (2)
.2 .2 .2 .2 e = x + y + z =
= 1 (x2 (1 - y2) + y2( 1 - x2) + 2 xyxy).
z2
Эта система и является предметом исследования.
Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского Российской Академии наук, Москва
Рис. 1. Схема волчка Лагранжа.
x
ОБЩИЕ СВОЙСТВА СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
Система уравнений имеет два интеграла: интеграл энергии и интеграл момента: 1 2
-Ae + mglz = const, A(xy - yx) + Crz = const.(3)
Вместо третьего уравнения (2) удобно использовать уравнение связи, и тогда системы двух первых уравнений достаточно, чтобы численно определять траекторию движения x(t), y(t). Однако третье уравнение полезно для вывода интеграла энергии. Для этого надо умножить каждое уравнение соответственно на X, y, z и сложить. Интеграл момента получается умножением первого уравнения на — X, второго на y и их сложением.
Следуя [1], найдем начальные условия x(0) = x0, y(0) = 0, X (0) = 0, y (0) = v0, при которых тело совершает регулярную прецессию, т.е. вектор e вра-
Vo
щается с постоянной угловой скоростью v = —0
xo
относительно вектора k. В этом случае выполняются равенства
Г = 0, e = vk х e, e = vk x (k x e) = v2(zk - e). Подставляя эти выражения в уравнение (1), получим уравнение для угловой скорости прецессии
Azv - Crv + mgl = 0.
(4)
ЛИНЕИНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Запишем систему уравнений (2) в безразмерном виде:
х + хе2 + 2-(хху + у(1 -х2)) - (ю2 - 1 )xz = 0,
у + уе2 - 2ю(х( 1 - у2) + уху) - (ю2 - 1 )yz = 0, (5)
z
т = ТГг, ю = ^(г)(1 - / .
2А ю 4 (Сг) 7
Здесь точкой обозначена производная по безразмерному времени т.
Линейная часть системы (5) имеет вид
X + 2юу - (ю - 1 )x = 0,
2
y - 2юХ - (ю - 1 )y = 0.
Если
4Amgl (Cr)2
< 1,
(6)
(7)
x
Q
/ / / / / / /
,Ф
Рис. 2. Схема маятника Фуко.
евского не выполнено, то у характеристического уравнения будут корни с положительной действительной частью. По теореме Ляпунова в этом случае равновесие х = 0, у = 0 неустойчиво.
Ограничимся рассмотрением случая, когда условие Маевского (7) выполнено, и тогда |ю| > 1. Линейные уравнения можно записать в гамильто-новой форме
x=
дРх'
дн
др/
дн
дх
Н = 1 (p\ + Р2у + X2 + y2) + ю(XPy - УРх).
дн ' ^(8)
Удобно записать уравнения (8) в переменных Биркгофа z1 = px + ix, z2 = py + iy:
Z1
a 2 Z1 + ia1Z2,
dH2 . • дН2
—— = ia1Z1 - a2Z2, Z2 = —:-
z 1 z2
a1 = 1, a2 = ю, H2 = 2 i( E + K), (9)
то ю2 > 1, корни характеристического уравнения число мнимые: ±/(ю + 1), ±/(ю — 1). Условие (7) называется условием Маевского. Если условие Ма-
Е = 1 (ZlZ1 + Z2Z2) , К = 1 (ZlZ2 - ЪZ2) , 2 21
где Е и К — интегралы энергии и кинетического момента соответственно.
Решение этой системы с начальными условиями ¿10 = Рхо + Хо, ¿20 = Ру0 + У имеет вид
V .
Px 0 + X
Z1 ia^t = e cosa2t
V Z2 ) V sin a21
V Py0 + iy0
y
X
y
170
ЖУРАВЛЕВ, ПЕТРОВ
Положим для наглядности у0 = 0, и0 = 0. Тогда получим следующее уравнение для траектории х(0 = 1ш&), у(0 = Im(z2):
С )
x ( t ) y ( t )J
(
cos a2t - sin a21
V sina21
cosa2t
(
x0cos a1t V Pxosinaxt
. (10)
+ V - y px - xypyl +
L = 2 e2 + ®(xay - y ax ) - (œ2 - 1 ) z,
ax = arctg x, a = arctgy.
z z
(12)
,( ddL - dL) + ,12 V d-dL - dL = o,
V dt dx dx1 V dt dx d x1
h(d dL - dL) + ,22Vd dL - dL) =
Vdtdx dx
Vdtdx dx
(13)
0,
По лагранжиану (12) строим гамильтониан H = 1 ((1 - x2)pl - *2pxPyxy + (1 - y2)p2y) +
+ Bp + B2Py + Яо, Bi = -œ(( 1 - x2 ) ay + xyax ), B2 = œ(xyay + ( 1 - y2)ax),
ФУНКЦИИ ГАМИЛЬТОНА ДЛЯ МАЯТНИКА ФУКО И ВОЛЧКА ЛАГРАНЖА
Для маятника Фуко в [2] вводятся также декартовы координаты материальной точки маятника x, y, z, подчиненные связи x2 + y2 + z2 = 1. Кинетическая и потенциальная энергии маятника таковы:
1 2 2 2
T = - [(x + vz + юy) + (y - юx) + (z - vx) ],
П = -z,
где v = Qcos9, ю = Qsin9, Q — угловая скорость вращения Земли, ф — широта места (рис. 2).
Переменная z исключается с помощью уравнения связи. С помощью преобразования Лежандра строим гамильтониан маятника Фуко, в котором отброшены нелинейные по ю и v слагаемые и удержаны члены до четвертого порядка по переменным x, y, px, py включительно:
p2 p2 2 2 н=p+p+x+y+ю( xpy - ypx)+
12 2y
+ (8 (x2 + y2)2 - 1 (xpx + ypy f) . (11)
Теперь перейдем к выводу функции Гамильтона для волчка Лагранжа. Уравнения (5) можно записать в лагранжевой форме. Функция Лагранжа такова:
Для доказательства запишем уравнения Лагранжа в виде
Но = у ((1 - )а1 + 2хУахау + (1 - У2)ах) +
+ (ю2 - 1 )г.
Как видно, квадратичные части гамильтонианов (14) и (11) совпадают. В этом и состоит аналогия между динамиками волчка Лагранжа и маятника Фуко. Эволюция траектории маятника Фуко в [2] исследуется в переменных орбиты. Ниже для решения обеих задач предлагается метод инвариантной нормализации [3].
ИНВАРИАНТНАЯ НОРМАЛИЗАЦИЯ
ГАМИЛЬТОНИАНОВ МАЯТНИКА ФУКО И ВОЛЧКА ЛАГРАНЖА
В переменных Биркгофа методом инвариантной нормализации можно найти каноническую замену, приводящую гамильтонианы к симметричному виду Н = Н2 + Н4 так, что скобка Пуассона равна нулю {Н2, Н4} = 0. Слагаемые симметричной формы имеют вид
Н2 = 21 (Е + ю К),
Н4 = 11[аиЕ2 + 2апЕК + 1 а22К2) ,
где Е и К являются первыми интегралами полной системы Гамильтона.
Уравнения Гамильтона нормальной формы имеют такой же вид (9) и такое же решение (10), как и линейные уравнения. Коэффициенты а1 и а2 выражаются через а11, а12 и а22 так:
а1 = 1 + 1 (а 11Е + аиК), а2 = ю + 1 (а12Е + а22К).
Для маятника Фуко
1 п 3
а 11 = -4, а 12 = 0, а 22 = 4,
1 Е ^ 3 К а, = 1 —, а2 = ю +--.
1 8 2 8 Для волчка Лагранжа
где Ну — элементы обратной матрицы квадратичной формы скоростей в функции Лагранжа, Н11 = = 1 — х2, Н12 = —ху, Н22 = 1 — у2. После упрощений системы (13) получим в точности систему (5).
_ - 1 + 3 œ2 _ œ _ 3 - œ2 a11 = 4 , a12 = ^, a22 = 4 ,
(15)
- 1 + 3œ2 œ
a1 = 1 +
œ t-, . 3 - œ'
- E + 2- K, a2 = œ + 2- E + 8 4 4 8
K.
У 0.10
-0.10
Рис. 3. Траектория оси волчка е в проекции на горизонтальную плоскость.
-0.10
Рис. 4. Эволюция траектории маятника Фуко.
ТРАЕКТОРИЯ ВОЛЧКА ЛАГРАНЖА
Квадрат радиуса траектории на решении (10) меняется по гармоническому закону с частотой 2а 1:
г2 (т) = х2 + у2 = 1 (х0 + Ру0 + (х0 - Ру0) 0082 ах т) .(16)
Отсюда находим частоту и амплитуду нутацион-
| х0 - |р у01 | 2 .
ных колебаний: 2а1 и
Согласно решению (10), за период нутации п
А? = — начальный вектор х(0), у(0) совершает по-а1
ворот на угол а = п ( — - 1) . Отсюда находим частоту прецессии V = а = а2 — а>. За период обра-А г
щения волчка вокруг вертикали он совершает
2 а 1 нутационных колебаний. На рис. 3 изоб-
а2 - а1
ражена траектория волчка при ю = 1.3 и следующих начальных значениях: х0 = 0.2, у0 = 0, и0 = 0, V, = 0.02. При этих начальных значениях Е = = 0.0488, К = -0.048, а1 = 1.00923, а2 = 1.308.
Частоты нутации и прецессии таковы: 2а1 = = 2.01845, V = а2 — а1 = 0.298773. Волчок за период обращения вокруг вертикали совершает — = 6.75581
V
нутационных колебаний, а за период нутации ось
(а! Л
волчка поворачивается на угол а = п--1 =
= 0.93. Амплитуда нутационных колебаний равна I х° |Ру01 I = 0.02. Траектории аналитического решения (10) на графике неотличимы от численного решения точных уравнений (2).
Из закона сохранения кинетического момента (3) в безразмерной форме можно найти зависимость секториальной скорости а = ху = ухх от времени
а(г) = х0щ0 + 2ю(71 -х0 - V 1 - г2(т)).
Из точного условия регулярной прецессии (4) в безразмерной форме
zv2 - 2 юv + (ю2 - 1) = 0, V = -0,
х0
находим два значения начальной скорости регулярной прецессии
= х(ю + Тю2(1^г07+г0) ;
Zo
^(ю + 1)( 1 + 1 х2(ю + 1))) ,
Щ0 = х0 =
х0(ю - 1)
ю + 7ю2(1-г07+~г0
х0(ю - 1)(1 - 1 х2(ю - 1)) .
0
172
ЖУРАВЛЁВ, ПЕТРОВ
ЭВОЛЮЦИЯ ТРАЕКТОРИИ МАЯТНИКА ФУКО
В отличие от волчка Лагранжа для маятника Фуко |ю| <§ 1. Решение (10) показывает, что движение происходит по эллиптической траектории с ча-, E
стотой вращения a1 = 1--и совершает медленную
8
^ 3K
прецессию с угловой
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.