АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2015, том 61, № 2, с. 161-164
КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКИ И ТЕОРИИ ВОЛН
УДК 534.16
О ВОЛНАХ ЛЭМБА В УПРУГИХ СЛОЯХ РОМБИЧЕСКОЙ СИММЕТРИИ
© 2015 г. С. К. Тлеукенов, А. Б. Айтбаев
ЕНУим. Л.Н. Гумилева Казахстан, Астана, ул. Мунайтпасова 3 E-mail: tleukenov_sk@enu.kz Поступила в редакцию 14.04.2014 г.
Аналитически получены уравнения дисперсии упругих волн вертикальной поляризации в слое ромбической анизотропии. Показано, что из этого уравнения следуют уравнения дисперсии симметричных и антисимметричных мод. В предельных случаях коротких и длинных волн получены условия существования волн Рэлея и предельные скорости для тонких слоев. Установлено, что для изотропных слоев эти скорости совпадают с известными их значениями.
Ключевые слова: волны Лэмба, дисперсия, ромбическая анизотропия, симметричные и антисимметричные моды.
DOI: 10.7868/S0320791915010141
ВВЕДЕНИЕ
Теория распространения волн Лэмба в изотропных слоях разработана в работе [1]. Волны Лэмба (Лэмба—Рэлея), наряду с волнами Рэлея и Лява, изучались в качестве основного механизма переноса сейсмической энергии при землетрясениях [2—4]. В настоящее время волны Лэмба широко используются в неразрушающей диагностике [5—7]. Характеристики волн Лэмба в анизотропных слоях имеют важное прикладное значение. Различные аспекты теории волн Лэмба исследовались в работах [8—10]. Современное состояние и обширную библиографию можно найти в содержательном обзоре [11]. В обзоре отмечено, что теоретические исследования основаны на численных расчетах и связаны с развитием различных вариантов шестимерного формализма Стро и Коши. Численные расчеты дисперсии волн Лэмба и поверхностных волн Рэлея проведены в работах [12, 13]. Низкочастотные приближения для определения нулевых мод нормальных волн в анизотропных пластинах рассмотрены в [14, 15]. Исследованиям дисперсионных уравнений волн Лэмба и Рэлея посвящены работы [16—20].
В данной работе получено аналитическое выражение для уравнений дисперсии волн сагиттальной поляризации в анизотропном слое ромбической симметрии на основе подхода, изложенного в работах [21—25].
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И ИХ РЕШЕНИЯ
Уравнения движения упругой анизотропной среды ромбической симметрии при распространении волн вдоль плоскости (х, z) имеют вид
дахх . дах
дх dz
д Ux )—2х
dt2
дах. + daz
Lijklbkb
'-kl
дх dz . 1 (U + dUe 2 \дх1 дхк
д Uz 5—2 51
(1) (2)
Тензор упругих модулей имеет элементы
(c
0 л
0
0
0
0
(3)
' Сц еп С13 0 0
С21 с22 с23 0 0 С31 с32 с33 0 0
0 0 0 С44 0 0 0 0 0 с55 V 0 0 0 0 0 с66) Элементы тензора записаны с использованием двухзнаковых обозначений:
(11) ^ 1; (22) ^ 2; (33) ^ 3; (23) ^ 4;
(31) ^ 5; (12) ^ 6. Для системы уравнений (1), (2) используется представление решений искомых функций:
/(х,г,?) = /(г)ехр(Ш - шх). (4)
Подстановка (4) в (1), (2) приводит ее к системе уравнений первого порядка [21, 22, 25]:
1 , • с137Т —2 = —а + ш—их,
dz
da zz
dz
dUx
-33
-33
- -рю Uz + imaх
= imUz + — а хР
dz C55
da
dz
s - im—a zz + I m
33
cu -
2 Л
-13
43
рю
U
162
ТЛЕУКЕНОВ, АИТБАЕВ
В матричной форме уравнения (5) имеют вид
0 ^
( 0 bu ¿13
— = BW, B = dz
¿21 0 ¿31 0
0 b
24
0 b
34
V 0 ¿42 ¿43
W = (Uz, a zz,Ux, a xz),
¿12 =
-1, b13 = imCc3.
¿21 = -рЮ ,
33
33
b24 = im, b34 = —,
b43 = -рю2 + m2
2
<-55
Ci, --
c33 у
(6)
T =
К2 - k2'
x[(B2 + K2e)coskz - (B2 + к2E)cosKz
- (k 2b + к Vb+
+ (2B + k Vb-1)sin^ v 7 К
(7)
det [B2 + x2e] = 0, ^2 = к2, ^2 = tf2,]
X4
■(k2 + tf2)2
k 2tf2 = 0.
(9)
= 0, azz = 0 при z = 0, z = H.
(10)
Ось г перпендикулярна граничным плоскостям слоя. Подстановка (10) в (7) приводит к однородному матричному уравнению:
W(H) = TW(0), W(0) = (Uz,0,Ux,0)[, W (H) = (Uz,0,Ux,0)H.
(11)
Из (11) следует общий вид уравнения дисперсии волн в анизотропном слое:
( ¿21 ¿23 V23 ¿43ки*
= 0 ^ t21t43 123 — 0, ¿41 — ¿:
»23-
(12)
Элементы tи имеют вид
При постоянных значениях упругих модулей и плотности для системы уравнений (6) справедливо представление точного аналитического решения в форме матрицанта [21, 25]:
1 ,,
121 =-
(k% + А2b4з)sinkH +
К2 - kЛ ' k
+ ( + А 2b4з )SinKH,
К2 - kП 21 ' К
143 — 2
К2 - k
1 /;2, a 2/ \sin kH
—j(k ¿43 + А^ц)——
+
+ •
К2 - k
L_ (К2Ь43 + A2b21 ))^, _ i-M 7 К
123 - 141 -
1
(13)
W (;) = TW (г о).
Матрицант — нормированная матрица фундаментальных решений системы уравнений первого порядка [26]. Матрицант Т удовлетворяет уравнению (6):
— = ВТ, — = — W0 = Вт0 = BW. (8)
Представление матрицанта (7) получено на основе усреднения аналитического представления матрицанта периодически-неоднородного слоя с использованием полиномов Чебышева—Геген-бауэра [23, 24]. Усреднение означает предельный переход при X > I (X — длина волны, I — период неоднородности) к однородной среде. Результат (7) непосредственно следует из свойств полиномов Чебышева—Гегенбауэра [21, 25]. В (7) к и К определяются из условия
2 Р23 (COS kH - ^КН).
cs k
Р23 = ¿21b31 + ¿24b43; A? = ¿12b43 - b^; A2 = ¿21b34 - ¿422.
Явный вид уравнения дисперсии упругих волн следует из (12) при подстановке (13):
[4k Vb21b43 + (k2 + К2)(Ab3 + A12b22]) х х sin kHsin^H +
(14)
+ 2kK Р2з(1 - cos kH cosKH)] = 0. Если в (14) положить H = 2h, то оно приводится к виду
tg2kh + tg2Kh -
(k2 + К2)(Afa + A2b43)2 - 2A1A2b21b43(k - К)
^(A + ¿43A2) + ЬцЬ43 (k - К)
x tgkhtgKh = 0. Из (15) следует квадратное уравнение
tgKh
x (15)
2
^ - fl+ 1 = 0, tg kh tgkh
(16)
и являются компонентами волновых векторов Р и 8У волн вдоль оси г.
УРАВНЕНИЯ ДИСПЕРСИИ
Рассматриваются классические граничные условия — обе границы плоскопараллельного слоя свободны:
а — коэффициент при tgkhtgKк в (15).
Решение квадратного уравнения в (16) приводит к двум уравнениям:
tgКh = КА^21 + кА2Ь43 tgkh кА1Ь21 + К А2Ь43
и
tgКh = кА1Ь21 + К А 2Ь43 tgkh КА1Ь21 + кА2Ь43 Уравнение (17) определяет дисперсию симметричных мод, а (18) — антисимметричных мод Лэмба в анизотропном слое.
(17)
(18)
О ВОЛНАХ ЛЭМБА
163
ПРЯМОЙ ВЫВОД УРАВНЕНИЙ (17), (18)
Уравнения дисперсии симметричных и антисимметричных мод Лэмба могут быть получены непосредственно, если использовать условия относительно компонент напряжения и смещений на срединной плоскости. В случае симметричных мод Лэмба на срединной плоскости должны выполняться условия
^ил = (0,аг,их,0)'; г = к, (19)
т.е. на срединной плоскости обращают в ноль иг и о^.
Учет (19) приводит к матричному уравнению
Г 0 ^
0
Ux 0
= T
У h
U
0 у 0
122 123
142 143
= 0,
(20)
откуда следует искомое уравнение:
122t43 - 123t42 = 0.
Подстановка в (21) элементов ty из (7) дает явный вид:
к (Х: b43 + Ajb21) sinKh cos kh = = K(k 2b43 + A2b21)sin kh cosKh,
или
tgKh _ KA1b21 + kA2b43 tgkh kA1b21 + К A2b43' что совпадает с (17). При выводе (23) из (22) учтено, что kK = А1А 2.
При определении уравнения дисперсии антисимметричных мод (18) на срединной плоскости вектор W принимается в виде
W = (^,0,0^), т.е. Ux = 0 и а!Х = 0, z = h. Вычисления, аналогичные симметричному случаю, приводят к уравнению (18).
(21)
(22)
(23)
(24)
ПРЕДЕЛЬНЫЕ СКОРОСТИ
Из уравнений (17), (18) при kh,Kh ^ да следуют условия существования волн Рэлея. Для этого необходимо учесть, что для поверхностных волн
Х^-i\\, k . (25)
Соотношения (25) отражают то, что скорость волн Рэлея меньше скорости объемных волн.
При |k|h,Цh ^ да limxthx = 1. Из (17), (18) получим
Ц&1021 + k А 2^43 = k A1Ä21 + NA 2^43,
откуда
(И- k )(Axb21 -А ¿43) = 0. (26)
Из (26) следует искомое условие существования волн Рэлея [25]:
Ъп b43 = 0.
А1
(27)
При кк, К к ^ 0 в случае уравнения (17) для симметричных мод имеет место
АА3 = 0, А2 = 0, Ь43 = 0, (28)
откуда следуют предельные скорости:
А2 = 0 ^ d = С55,
Ъ43 = 0 ^ c
2 = С11 пр2
1 -
2
С13 С11С33 )
(29)
Для изотропной среды из (28) следуют известные значения предельных скоростей:
2 ц
С , _ -пр1 >
-пр2
_ 4ц
1 -■
ц
X + 2ц
_ 4ci211 - С2
(30)
В случае антисимметричных мод, при кк ^ 0, К к ^ 0, с учетом разложения тангенса
tgx = x + ■
3
x ^ 1,
(31)
уравнение (18) приводится к виду
h
2 С
. 2 Ъ4
1 + К2 + кА + А2^ 1 = 0, А2 = 0. 3 ^ ¿21)
Из второго условия получим
а2 _ С11
а1пр - .
Р
Это предельная скорость для антисимметричных мод, не зависящая от частоты и толщины пластины.
(к
(32)
(33)
Из первого условия имеем (— — 01:
(— - 4
&2пр -
4 whc,
а
пр2
пр2
_ <-11
1 --
43
С11С-
11<-33
(34)
Для изотропных сред из (32) и (34) следуют классические формулы [27, 28]:
^2пр = 22 4»h^,
2пр V3 2
пр2
_ 4ц
1 -■
ц
или
&2пр -
s
(ühcJ 1 - -2,
2 Ц
с, --; С -
Х + 2ц) 2 _ X + 2ц
(35)
(36)
ВЫВОДЫ
Из полученных уравнений дисперсии следуют уравнения дисперсии волн Лэмба в анизотропных слоях более высокой симметрии, т.е. для различных классов кубической, гексагональной, тетрагональной сингонии при соответствующей замене упругих параметров.
Получено уравнение дисперсии волн вертикальной поляризации в анизотропном слое ромбической симметрии. Показано, что из уравнения дисперсии волн для слоя следуют уравнения
3
164
ТЛЕУКЕНОВ, АЙТБАЕВ
дисперсии симметричных и антисимметричных мод Лэмба. В предельных случаях из этих уравнений получены условия существования волн Рэлея и предельные скорости волн в тонких пластинах для симметричных и антисимметричных мод Лэмба. Установлено, что в случае изотропной среды они дают известные значения этих скоростей.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Lamb H. On waves in an elastic plate // Proc. Roy. Soc. А. 1917. V. 93. P. 114-128.
2. Aki K., Richards P.G. Quantitative Seismology. Theory and Methods. N.Y.: W.H. Freeman and Company, 2002. 700 p.
3. Ben-Menahem A., Singh S.J. Seismic Waves and Sources. Dover Publications, 2012. 2nd ed. 1102 p.
4. Chapman C. Fundamentals of Seismic Wave Propagation. N.Y.: Cambridge University Press, 2010. 608 p.
5. Викторов И.А. Физические основы применения ультразвуковых волн Рэлея и Лэмба в технике. М.: Наука, 1966. 168 с.
6. Викторов И.А. Ультразвуковые волны Лэмба. Обзор // Акуст. журн. 1965. Т. 11. № 1. С. 1-18.
7. RoyerD., DieulesaintE. Elastic Waves i
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.