Акустические методы
удк 620.179.16
О ВОЗБУЖДЕНИИ УПРУГИХ ВОЛН В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ С ПЕРИОДИЧЕСКИ НЕРОВНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
В.Н. Данилов, Я.Ю. Самедов
Методом возмущения проведен расчет компонент смещения упругих волн, возбуждаемых в полупространстве с периодически неровной поверхностью прямым преобразователем, по двумерной модели. Приведены численные примеры результатов расчетов при описании поверхности гармоническими функциями. Подтверждено обнаруженное ранее явление трансформации продольных волн в поперечные на периодически неровной поверхности, обусловливающее излучение поперечных волн в направлении нормали к плоскости преобразователя в его центре.
Периодическая неровность — один из типов шероховатости поверхности контролируемого изделия, образующейся, например, при станочной обработке металла [1,2]. Наличие такой неровности влияет на амплитуды, спектральный состав и длительность упругих импульсов, излучаемых в изделие прямым преобразователем через слой контактной жидкости. В работе [2] приведены экспериментальные результаты, указывающие на влияние периодической поверхностной неровности на процесс излучения, приводящее к трансформации продольных волн в поперечные, распространяющиеся по акустической оси прямого преобразователя (в направлении нормали к плоскости преобразователя в его центре). По относительной величине амплитуды трансформированных волн и (или) изменению спектрального состава можно оценить параметры подобной шероховатости [3].
емых в полупространстве с периодически неровной поверхностью.
В данной статье проводится теоретическое изучение процесса возбуждения упругих волн в полупространстве с периодически неоднородной поверхностью с целью проверки адекватности указанного экспериментального результата в наблюдаемой картине моделирования физических процессов и оценки параметров возбуждаемых волн. Расчет проводится методом возмущения в двумерном приближении. Схема к расчету приведена на рис. 1. Неоднородная поверхность в двумерной системе 5 координат ЮХ описывается некоторой периодической зависимостью г = £(х), причем будем считать поверхностную неровность малой, то есть полагаем, что
1СМ1- у«1, ВД«!,
(1)
где h — амплитуда неоднородности; / — пространственный период по оси ОХ.
На участке Ы < а (моделирующим действие прямого преобразователя протяженностью 2а по оси ОХ) поверхность нагружена нормальной силой (направленной по оси 07) Р(х) постоянной амплитуды Р0 через слой контактной жидкости, однако фаза такой нагрузки определяется отклонением высоты поверхности z = £(jt) в данной точке от исходного значения z = 0, то есть
f.P0exp Uk C, {х) 1 \х\<а P(x)=\ni , L J (2)
10, jr > а
где ks — волновое число продольных волн в контактной жидкости. При Ы > а поверхность предполагается свободной; предполагаемая временная зависимость Р ~ exp(-/coi) (со — циклическая частота) далее в расчетах опускается.
В точке поверхности с координатой х введем координатные системы с центром в точке О,—S', оси 0,Х' и 0,Z' которой параллельны соответствующим осям системы S, и повернутую вокруг оси OY систему 5,, ось 0\Х\, 0{Z\ которой соответственно тангенциальна и нормальна неоднородной поверхности в этой точке. В системе координат 5, нормальная и сдвиговая компоненты тензора упругого напряжения Т2]2}, Тхт могут быть выражены через компоненты напряжений Т22, Та и Тхх в неповерну-той системе S' в виде [4]:
Тчч = Тхх sin^y + r22cos2y- 27X2sinycosY;
Txm = (T2Z - TJsinycosy + TJ.cos^ - sin^y), (3)
где у — угол (поворота) между осями 0]Х] и ОхХ' (ОХ).
Учитывая закон преобразования компонент тензора напряжений как тензора 2-го ранга [5] при переходе от координатной системы S' к системе с сопараллельными осями S получаем, что в обеих системах соответствующие компоненты совпадают. Таким образом в (3) Т22, ТХ2 и Гп — компоненты тензора напряжений в системе S (ZOX), определяемые на поверхности z = £(х), причем значение угла у может быть определено из соотношений [6]:
siny = —I— , cosy = ~Г= С(х) = ъ w. (4)
7 Ji+[№)f Т л/i+tC'W] ' *
Подставляя соотношения (3) в выражения (4) и учитывая условия малости неровности (1), то есть пренебрегая членами
-К'С*)]2; №]2; (5)
получаем:
Тцц = Тгг-2Тх£(х)- (6)
TX]2t = (T22-TMx) + TX2.
В (6) компоненты напряжений Т22, ТХ1 и Ти определяются на неровной поверхности, то есть при г = Правую часть условий (6) можно "перенести" с поверхности г = £(х) на плоскость г = 0 [7, 8], проведя замены
XX XX
хг хг
в результате которых в координатах системы 5 (XОХ) получаем, что:
Цх)-2и'(х) I ; (8)
г=0
Ш + {тгг-тхх)^\х)21о.
В выражениях (8) значения компонент тензора напряжений в правой части берутся на плоскости г = 0. Так как в выражениях (8) при вычислении производных по координате г появляются слагаемые ~кгде кI — волновое число продольных волн в контактной жидкости, продольных или поперечных волн в полупространстве, необходимо уточнение понятия малости неровности, поскольку помимо условий (1) необходимо дать оценку размера неровности относительно длин упругих волн. В работе [8] при описании поверхности гармонической функцией вида
£
2 = = ]гсо$(0,х) = — сое (Ох),
где к — амплитуда неоднородности; <2 = 2тс// (/ — пространственный период), предполагается, что £ « 1 — малый параметр, а длина взаимодействующей с неровностью упругой волны близка к периоду /, то есть X,- ~1. В этом случае получаем, что для амплитуды неоднородности должны выполняться условия:
£ /г £ 1 11
/г = —, - = — « — = 0,15 или оценочно -<0,02 + 0,04, 2 / 2к 2к I
дг "
СМ
2=0
(7)
л_
= Ггг +
дг гг
= Г„ +
Эг л
а = ^^ «1 или оценочно ^^•<0,15 + 0,3. (9)
Для левой части соотношений (8) из условия скользящего контакта на границе твердой среды с контактной жидкостью [9] (отсутствие сдвиговых напряжений)
= 0. (Ю)
Другое граничное условие с учетом внешней нагрузки (2) имеет вид
\-Р0 ехр (ИС-г), |х| < а Т^ 1.. = «| « / 1 1 (11)
0, |х| > а г=с
Используя формулы, аналогичные (7), можно "перенести" граничные условия (11) с поверхности г = ¡¡(х) на плоскость г = 0. При этом получаем:
_Г-Р0,|х|<а д_ \-1кеР0,\х\<а
^о- СШЬа ' Ъ г*"°\0,М>« ' (12)
Согласно работам [7, 10] упругие напряжения на поверхности 2 = 0 могут быть представлены в виде суммы невозмущенных частей и поправок, причем последние считаются величинами
Тхг I I ; Тг, I =№)+Т2(:)) I . (13)
*I2' 2=0 V х,г> /г=0 11 г=о V /2=0
Для условий скользящего контакта на поверхности г = 0 равна нулю невозмущенная часть сдвигового напряжения, а с учетом (10) — и поправка, то есть:
Т™ I =0; Т^ I =0. (14)
ДГ'2' 2=0 *'*» 2=0
Для нормальной компоненты напряжения невозмущенная часть, обусловленная внешней нагрузкой, определяется первым из соотношений (12), а поправка — значением производной (второе соотношение), умноженным на £(х).
Пусть периодическая функция ¡¡(х) представлена в виде ряда Фурье
[5]:
9 //2
£(*)= ХС/лфг; 6=^ [С(х)е-**<Ь. (15)
1 1 -42
Тогда в формуле (13) выражения невозмущенных частей и поправок нормального напряжения с учетом граничных условий (12) и описания возмущения (15) (см. условия (1) и (9)) могут быть представлены в виде следующих интегральных преобразований Фурье [11]:
7™ ,(*) = _27™ ,„(*> = -ИР0 (16)
где коэффициенты С,п определяются согласно (15).
Представим согласно [10] компоненты тензора напряжений в левой части условий (9) в виде суммы невозмущенных частей и поправок:
Т = Т(0) + Т(Д). Т = Т(0) + Т(А). -г _ Т-(О) , Т-(Д) (•] 7Л
•'гг гг г ' г2 ' 1 и 'к Г д .и > * яде 'и 1 'н > V х ' V
причем поправки считаются величинами а невозмущенные компоненты напряжения удовлетворяют граничным условиям
[~Р0, \х\<а
Г®= 0,-оо<*<оо;7«> = • (18)
[0, > а
Подставляя представления (17) в соотношения (8) и учитывая формулы (14), (16), (18), получаем следующие граничные условия для поправок в (17):
Г(Д) +
гг
Ъг 21
С I =Т{А) I •
г=0
г=0
(19)
т!д>
+
1т(0)
Эг "
«о
Значения компонент тензора напряжений Т®\ Т®\ Г® в формулах
(17) определяются из решения краевой задачи с граничными условиями
(18) с использованием потенциальных функций Ф(0) и Ч^0', удовлетворяющих скалярным уравнениям Гельмгольца с волновыми числами к,, кх продольных и поперечных волн в среде.
Для функций Ф(0) и ¥(0) используем пространственные преобразования Фурье (г > 0) [11]:
ф(0):
= — ] Ф{0\к) е^'Чк; Ч«0) = — Г ¥°\к) е1кх+^Чк, 2к •> 2к •>
(20)
где к — параметр интегральных представлений; \1х = ^ к2л - к2; Ф(0)(&) и
*Р(0)(&) — трансформанты фурье-функций Ф(0) и Ч/(0).
Компоненты тензора напряжений Т®\ Т® определяются подстановкой потенциалов (20) в соотношения:
Т™ = М-
Э2Ф(0) Э2х?(0) Э2¥(0) 2 _ . +■
дхдг дх
дг2
XX
(Э2Ф(0) Э2Ф(0)
дх1
д!2
с Э2Ф(0) Э2^
+ 2ц
д2
2 —
дхдг
(21)
>
X, (0, — параметры Ламэ. В результате получаем:
Tg> = — ]eikxdk {-2¿v^(0)(¿) еы,г + (к2х - 2к1) e'v<2};
Т^ = \е1кхйк {- (к] -2к2) Ф{0\к) е"<2 + 2кч,¥°\к) е^2}. (22)
хх 2л ^^
Нагрузка />(0)(х) в условиях (18) также может быть представлена в виде интеграла Фурье
/*»(*) = Л (23)
2п *
—оо
при этом трансформанта
ри\к) = | />(0) (х) е~!кхс1х = Р0] е~'кх<1х = 2 аР0 ^^ ■ (24)
Подставляя интегральные представления (22) невозмущенных частей компонент тензора напряжений и нагрузки (23) в условия (18) определяем коэффициенты Ф{0\к) и Ч^Щ в формулах (20), (22):
W{k) = ik2 - 2k2)2 + 4Fv,vr (25)
Используя соотношения (22), (25) получаем, что в условиях (19):
dz " z=o 2k ¿ V 'w(k)
Э ím i 7 t 2kvÁkl-2/t2)ív,-vt)
—7l0) I =-— \e dkP( \k)-^--(26)
8z * 2тс J W (jfc)
— oo * '
Поправочные значения компонент тензора напряжений T<f\ T}f} в (19) могут быть определены через потенциалы:
Ф<д> = — J ¿Ф{nA](k)eik"x+iv-zdt, = ^¥ná)(k)eiKx+,v^dk- (27)
-оо n=—°r
кп = к+п&, V,, = \к2-к2п,
хп У т
где Ф,^А)(£), ^&)(к) — подлежащие определению коэффициенты, через которые выражаются трансформанты фурье-функций Ф(А) и Ч^Ч Потенциалы (27) также удовлетворяют уравнениям Гельмгольца с волновыми числами кь кг. Используя аналогичные замены в формулах (21) и представления (27), получаем следующие выражения для поправок компонент напряжений в условиях (19):
-оо П=-°о
Т,[А) 2 1о = (к] - 2
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.