ПОВЕРХНОСТЬ. РЕНТГЕНОВСКИЕ, СННХРОТРОННЫЕ И НЕЙТРОННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2004, < 3, с. 91-94
УДК 539.25;620.187;53.187/.088
О ВОЗМОЖНОСТИ ИНТЕРВАЛЬНОГО ОЦЕНИВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ ПОЛУПРОВОДНИКОВ В КАТОДОЛЮМИНЕСЦЕНТНОЙ МИКРОСКОПИИ. РЕЗУЛЬТАТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО
МОДЕЛИРОВАНИЯ
© 2004 г. Ю. Е. Гагарин1, В. И. Петров2, М. А. Степович1
1Калужский филиал Московского государственного технического
университета им. Н.Э. Баумана, Калуга, Россия 2Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, Физический факультет, Москва, Россия Поступила в редакцию 10.09.2003 г.
Изучены возможности использования конфлюентного анализа для интервального оценивания характеристик полупроводниковых материалов. Интервальное оценивание реализовано для прямо-зонных полупроводников при различных значениях погрешности измеряемых величин энергии электронов пучка, характерных для реального эксперимента.
ВВЕДЕНИЕ
Как правило, при проведении конкретного эксперимента полная статистическая информация об измеряемом сигнале отсутствует. Измеряемый сигнал содержит случайную составляющую, которую необходимо учитывать при обработке результатов эксперимента. Для учета случайного характера величин при оценивании параметров измеряемого сигнала можно использовать метод конфлюентного анализа (МКА). Кроме точечных оценок параметров сигнала необходимо находить и интервальные оценки параметров. Для практики именно интервальные оценки имеют большое значение, поскольку дают достаточную информацию об оцениваемом параметре. Без знания закона распределения полученных оценок точечные оценки практически не несут информации.
В настоящей работе методами математического моделирования рассмотрены возможности использования МКА для обработки исходных данных, в частности нахождения интервальных оценок одной из основных характеристик полупроводника -диффузионной длины неосновных носителей заряда (ННЗ).
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Используемые в настоящее время методы оценивания параметров функциональных зависимостей часто сводятся к методу наименьших квадратов (МНК). При этом результаты расчетов, проводимых согласно математической модели рассматриваемого явления или процесса, сравниваются с экспериментальными результатами с помощью неко-
торого квадратичного критерия. Обычно в качестве такого критерия рассматривается сумма квадратов невязок. Оптимальные для данных экспериментальных результатов и рассматриваемой математической модели параметры определяются из условия минимизации используемого критерия.
Недостатком традиционных статистических методов оценивания параметров функциональных зависимостей является то, что они не учитывают в полной мере ошибки измерений исходных данных. При оценивании параметров важно, насколько строго учитываются погрешности исходных данных, поскольку использование усредненных величин приводит к смещенным оценкам параметров и, следовательно, к неверным результатам [1].
Катодолюминесцентное излучение возникает при взаимодействии электронного пучка с поверхностью мишени и может быть использовано для определения параметров исследуемого полупроводника. Для прямозонных полупроводников некоторые параметры могут быть получены из измерений зависимости интенсивности монохроматической катодолюминесценции (КЛ) I от энергии электронов пучка Е0.
Одной из основных характеристик полупроводникового материала является диффузионная длина ННЗ Ь, оценку которой можно получить из КЛ-измерений [2]. Функциональную зависимость, связывающую интенсивность монохроматической КЛ с энергией электронов пучка, запишем в следующем виде: I = 1(Е0, 0), где 0 = (0к),
к = 1, 5; т - число параметров.
МКА позволяет учесть погрешности измерений I, Е0 и получить несмещенные точечные и ин-
тервальные оценки параметров 0. Основы использования этого метода в КЛ-микроскопии в случае точечной оценки изложены в [3]. Исходная модель оценивания параметров 0 с учетом погрешностей измеряемых величин имеет вид
11, - I(Я®, ©) + 5;
7( о
<Ео; - Ео + е;•
Здесь Е0 - неизвестные (истинные) значения Ео;
(; = 1, п); п - количество измерений; 5; и е; - случайно распределенные погрешности величин I и Ео; соответственно.
Примем, что ошибки измерений 5; и е; - нормально распределенные случайные величины с нулевыми средними, дисперсиями а(1;) и а(Ео;) и коэффициентом корреляции р; = 0. Тогда минимизируемый функционал будет иметь вид
'-21
"(I,; - I ( ЕО''), 0 ))2 . ( Ео;- Е0'))2
а2 (Ц)
а2 ( Ео;)
(1)
Оценки параметров 0 и значений Е0') определяются из условий:
ЭЭЕ. Эек
-О, к - 1, т,
эЕо-
- О, г - 1, п•
Задача нахождения оценок параметров 0 и ис-
" А')
тинных значений Е0 эквивалентна решению системы (п + т) уравнений:
I
(ц -1(еОО), 0))д1 (еО), 0)
а2 (I;)
Э9к
-0, к - 1, т
(Ео; - Е0;)) + ( I,- - /(еЕЕ-О'' ) , 0 ) ) Э/(ЕО) , 0 ) - 0
а( Ео;)
а2( I;)
Э Ео)
; - 1, п•
Данная система представляет систему нелинейных уравнений и может быть решена одним из итерационных методов, например методом Гаусса.
С помощью функционала ^ можно не только оценить параметры 0, но и определить дисперсии
параметров 0). Дисперсионная матрица оценок параметров находится из следующего условия:
Б( 0) - М
-1
М - I -
Э2 ^ эекэ9)
0 - 0
к, г - 1, т •
Элементами матрицы М являются вторые производные от минимизируемого функционала,
взятые со знаком минус. Дисперсии оценок параметров являются элементами главной диагонали матрицы М-1. Недиагональные элементы - коэффициенты вариации оценок параметров. Так, дисперсия параметра Ь будет оцениваться по формуле
Б(Ь) - -1/(Э2*УЭЬ2)
Ь - Ь
Оценки параметров 0 определяются по экспериментальным значениям величин I и Е0, содержащим
случайные ошибки. Значения оценок параметра 0 в каждом конкретном эксперименте могут отличаться от истинного значения параметров 0 на величину, значение которой можно оценить по дисперсионной матрице Б( 0).
Если число экспериментальных точек достаточно велико и можно считать, что оценки параметров распределены относительно их математических ожиданий по нормальному закону, то для получения доверительных интервалов применяют безразмерную г-статистику Стьюдента, которая подчиняется г-распределению с V = п - 2 степенями свободы.
Пусть выбран уровень значимости а. Тогда
г - (ек - ек)/Vб(ек),
и 100(1 - а)% доверительный интервал для параметра ек примет вид:
е к - г1_
а/2
-Ме к) < ек < е
к+г
1 - а /2
ТЪ(е7).
(2)
РЕЗУЛЬТАТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ
Использование рассмотренного метода получения точечных и интервальных оценок параметров позволило провести математическое моделирование для некоторых прямозонных полупроводниковых материалов групп А3В5 и А2В6.
Для количественного описания зависимостей ДЕ0) использовался подход [4]:
П Ео )-|Др (г) ехр (-а(Х) г )йг. (3)
ь
Здесь Др(г) - распределение генерированных электронным пучком ННЗ по глубине в объеме полупроводника, I, - толщина приповерхностной области, обедненной основными носителями заряда, а(А,) - спектральная зависимость коэффициента поглощения. При моделировании изучалось влияние погрешностей в значениях измерений на точечные и интервальные оценки диффузионной длины. Сравнивались два метода: МНК и МКА.
На рис. 1 показаны результаты математического моделирования зависимостей ДЕ0) для пара-
п
п
О ВОЗМОЖНОСТИ ИНТЕРВАЛЬНОГО ОЦЕНИВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ
93
I, отн. ед. 0.82г
0.80
0.78
0.76
0.74
(а)
0
I, отн.
0.72
0.70
0.68
0.66
0.64
0.62
10 20 30 40
ед.
50 60 E0, кэВ
(б)
10
20 30
40
50 60 E0, кэВ
F 22 20 18 16 14 12
10 8
F 18
16
14
12
10
(а)
О-О-о-О-О-О-о •--•--•--•--а--*--«
_1_
10
k
(б)
■о
о
Рис. 1. Результаты математического моделирования зависимости интенсивности I монохроматического катодолюминесцентного излучения от энергии электронов пучка Eq. а - для монокристаллического GaP038As0 62, б - для монокристаллического CdTe. Черные квадраты - значения I, полученные путем наложения случайных ошибок с равными нулю математическими ожиданиями и среднеквадратичными отклонениями <5(Д) = 0.1 I; кружки - значения Ц, полученные в результате использования итерационного процесса в методе конфлюентного анализа (точность измерения E = 0.1 кэВ); черные кружки - значения Ц, полученные тем же методом при точности измерения E = 0.3 кэВ. Сплошная кривая - зависимость I(Eq) по данным конфлюентного анализа.
метров, характерных для монокристаллических ваР0.38А8о.б2 и С^е. При расчетах для ваРА8 использованы следующие параметры: атомный номер А = = 64, заряд ядра Ъ = 29, плотность р = 5.0 г ■ см-3, коэффициент обратного рассеяния электронов п = = 0.32, доля энергии, уносимой обратнорассеян-ными электронами пЕ = 0.73. Для СОТе А = 120, Ъ = 50, р = 5.86 г ■ см3, п = 0.42, пЕ = 0.8. Следующие значения параметров при расчетах принимались одинаковыми для обоих материалов: 4 = 0.1 мкм, 5 = 100, Ь = 0.3 мкм, т = 108 с, а = 0.
На рассчитанные согласно (3) значения интенсивности КЛ накладывались случайные ошибки с
10 k
Рис. 2. Результаты математического моделирования зависимости функционала (1) от числа итераций k в методе конфлюентного анализа при определении диффузионной длины ННЗ. а - для монокристаллического GaPo 38Asq 62, б - для монокристаллического CdTe. Заданная точность измерения энергии электронов пучка, кэВ. черные квадраты - 0.1; светлые кружки - 0.3; черные кружки - 0.5; МНК соответствует k = 1.
математическими отклонениями ст(/) = 0.1/;. Погрешность в определении энергий электронов пучка принималась равной 0.5, 0.3, 0.1 кэВ, что отвечает реальным значениям в серийных растровых микроскопах.
На рис. 1 изображены кривые I(E0), полученные по описанной методике и точки, соответствующие значениям E0i, I;. Здесь же изображены значения E0 , /, полученные в результате проведенных с использованием конфлюентного анализа вычислений.
Определение истинных значений e0 ) приводит к уточнению значения параметра L и к уменьшению значения функционала (1). Рассчитанные значения функционалов для модели КЛ рассматриваемых полупроводников приведены на рис. 2. Видно, что значения функционалов существенно
6
8
8
0
2
4
6
8
(Lk - Lo)/L0, отн. ед. 1
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.