ВЕСТНИК ЮЖНОГО НАУЧНОГО ЦЕНТРА Том 11, № 2, 2015, стр. 3-9
МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
УДК 539.3
О ВОЗМОЖНОСТИ ЛОКАЛИЗАЦИИ ВИБРАЦИОННОГО ПРОЦЕССА ПРИ НАЛИЧИИ ДЕФЕКТОВ В ПОКРЫТИЯХ
© 2015 г. Академик В.А. Бабешко1, О.В. Евдокимова1, О.М. Бабешко2, И.Б. Гладской2, В.В. Лозовой1, А.В. Плужник1, В.Л. Шестопалов1, Г.Н. Уафа1, Т.А. Хафуз1
Поступила 06.02.2015
В работах [1-4] показано, что как в динамических, так и в статических смешанных граничных задачах могут иметь место локализации процессов, описываемых рассматриваемой граничной задачей. При этом вскрываются некоторые новые, ранее не исследовавшиеся явления. Метод блочного элемента является удобным средством для исследования явлений локализации процессов в связи с тем, что формулировка условий локализации опирается на интегральный метод факторизации, входящий в алгоритм построения блочных элементов. Ниже выводятся условия локализации вибрационного процесса на примере смешанной граничной задачи о горизонтальной вибрации покрытий с дефектами. Для вывода условий локализации осуществляется решение поставленной граничной задачи методом блочного элемента. Граничная задача погружается в топологическое пространство, индуцированное открытыми шарами эвклидова пространства, и привлекается аппарат внешнего анализа. Эквивалентное граничной задаче функциональное уравнение исследуется факторизаци-онным методом, приводящим к псевдодифференциальным уравнениям. Из последних извлекаются интегральные уравнения Винера-Хопфа, способность которых описывать локализации физических процессов достаточно детально изучена и позволит выявлять их в рассматриваемой граничной задаче.
Ключевые слова: локализация, аномальный природный процесс, природные вирусы, граничные задачи, дифференциальные уравнения.
ВВЕДЕНИЕ
Возможность локализации процессов, описываемых смешанными граничными задачами, достаточно детально описана в [1-4]. Процесс локализации отличается от резонансного состояния прежде всего тем, что его параметры нельзя определить традиционным вариационным подходом, который применяется для выявления параметров резонанса. Для выявления локализации применяется достаточно сложный математический аппарат, использующий факторизационные методы, метод блочного элемента, тесно связанный с применением топологии, внешнего анализа. Практически все смешанные граничные задачи при некоторых соотношениях параметров, названных проявлениями природного вируса [1-4], приводятся к лока-
1 Южный научный центр Российской академии наук (Southern Scientific Centre, Russian Academy of Sciences), 344006, г. Ростов-на-Дону, пр. Чехова, 41.
2 Кубанский государственный университет (Kuban State University), 350040, г. Краснодар, Ставропольская, 149.
лизации решений. Ниже на примере смешанной граничной задачи для тел с горизонтально контактирующими покрытиями с дефектами, лежащими на деформируемом основании и горизонтально вибрирующими, показано, каким образом достигается локализация процесса, описываемого этой задачей [5]. Не вдаваясь в детали алгоритма применения блочных элементов в граничных задачах и факторизационных подходов, изложенных в [4-14], приведем определяющие уравнения для блочной структуры, состоящей из двумерных фрагментов покрытия на трехмерной подложке, сохранив обозначения работы [5]. Уравнение Кирхгофа для некоторого блока Ь покрытия, Ь = 1, 2,..., В, занимающего область ХЬ с границей дХЬ, при горизонтальных гармонических воздействиях напряжением t3Ь имеет вид
Я Ь (дхъ дх2)и Ь - 2 5Ь ё Ь = 2 5ЬtЬ . С1)
Здесь каждая пластина рассматривается как многообразие с краем, где иЬ = {и1Ь, и2Ь} - вектор перемещения точек пластин по горизонтальным на-
правлениям срединной поверхности. Имеет место обозначение
Rb(öxx, dx2)ub =
sib = 0,5(1- vb), £
2 b '
h b
0,5(1+ vb), sзь = i2
1- vb
s4b = ~ tb
'5b "
1-vb Ebhb
g1b = Пь
du1b du
3b
dx3 dx1
g2b = Пь
/ du2b | du
dx3 dx2
, x3 = 0.
(2)
u,
0, u2 = 0.
Выражения для нормальной N и Txxi каса
ности на границе пластины даются соотношениями
Преобразование Фурье дифференциальной части системы уравнений имеет вид
-Я ь (-г аь- г а2) и ь =
(а 1 + е^ьа2- е4ь) и 1ь ^2Ь«1 «2 ^2Ь
е2ь «1 а 2 и 1ь (а2 + е 1ь «1 - е4ь) и2ь |
и = Р2 и, О = Р2 & ь = 1,2,...,
Здесь
T =■ x1 x2 2(1+ v )\5x1
Здесь x1 направлено по касательной к границе области, занятой пластиной, а x2 - по нормали в построенной локальной системе координат.
В качестве деформируемого основания-подложки, на котором находятся пластины-покрытия, описываемого краевой задачей (1), можно принимать различные модели. Это могут быть деформируемое полупространство, слой, многослойное полупространство, в том числе анизотропное, вязкоупругие среды. Во всех перечисленных случаях соотношения между напряжениями на поверхности слоистой среды gkb, k = 1, 2, 3, и перемещениями uk, k = 1, 2, 3, имеют вид (2) со свойствами
u(xb x 2,0) =
i- У УK(a 1, a2,0)G(a 1, a2)e"i(a'x)da1 da2,
r2 j j
4r
K = Km
= Р2(а1, а2) - двумерный оператор преобразования Фурье. Приняты следующие обозначения: V - коэффициент Пуассона, п, Е - модули сдвига и Юнга, И - толщина, р - плотность, ~ - частота тте^т^ gь = g2ь}, tь = {2ь} - векторы контактных напряжений и внешних давлений соответственно, действующих по касательной к границе подложки в области Хь. В случае горизонтальных воздействий на пластины остаются лишь горизонтальные составляющие внешних напряжений. Граничные условия, которые ставятся на краях пластин, диктуются типом частей границ каждого блока. Так, при принятых обозначениях в случае жесткого защемления края пластины необходимо, чтобы смещения и1 и и2 в направлении осей х1 и х2 локальной системы координат многообразия по касательной к срединной поверхности и по нормали соответственно были равны нулю, т.е.
G a, x H = a 1 x 1+ a 2 x 2, (3)
||, m, n = 1,2, K(a 1, a2,0) = O(A
a=vor
-a2
Ктп(а1, а2, 0) - аналитические функции двух комплексных переменных аь в частности меромор-фные, их многочисленные примеры приведены в [9; 10].
Эти соотношения называются функциями влияния.
В тех случаях, когда уравнения, описывающие поведение среды основания, известны, элементы матрицы-функции К(а1, а2, 0) удается вычислить. Когда нет таких уравнений, функции влияния могут быть получены экспериментально.
МЕТОД РЕШЕНИЯ
Для рассматриваемого случая в [5-7] построены функциональные уравнения граничной задачи для каждого блока. При исследовании взаимодействия блоков ограничимся блочной структурой, состоящей из двух разнотипных полубесконечных пластин Кирхгофа, контактирующих по координатной
тельной составляющих к срединной поверх
f
3
О ВОЗМОЖНОСТИ ЛОКАЛИЗАЦИИ ВИБРАЦИОННОГО ПРОЦЕССА
1 1
оси х1. Функциональные уравнения для пластин имеют в общем случае вид [5-7]
-Яь (-'«1Ь,-г а2ь) и ь =
/
дйЬ
-а,
а 2- а 21+ а 2- а 22+ (а 2- а 21+) а2ц 0
~Ь - £5Ь ^2(а1ь, а2ь)(ёь +1ь),
(4)
+
а1
иь = {^1Ь, и2ь}, Ь = 1, 2. Здесь ~Ь - участвующий в (4) вектор внешних форм, имеющий представление
~Ь = {~ 1, ~2},
1
(а2 - а22+) а22+
а
21
= - а?- е 4г е а 22+ = г V а 1 -;
-4г ■
~ 1Ь = е
= „' {а, х>
дх2
дх1
Воздействуя этими матрицами-функциями на функциональные уравнения (4) слева и вычисляя
! -| е 1Ь ^1Ь + е2Ь д2Ь -ге 1Ьа2Ьи1Ь )й?х1 + формы-вычеты Лере [5-7], получаем псевдодиффе
ю
+ ("дх^ - 'а1Ь" 1Ь - 'е2Ьа2Ьи2Ь )ёх2 |
= ег {а, X>
2Ь "
+1 е
-| е
2Ь
ренциальные уравнения для левой пластины в виде
Г-1(РА) { У[~1А(а 1, а21-)- а1 а2!-~2А(а1, а21-)]-
дйА
-е5АГ2(а1, а21-)[(я1т +1и)- а1 а2а +t2^)] > = 0,
РА ! дХА;
Г-1(РА) { У[~1А(а 1, а22-)- а1 а21-~2А(а1, а22-)]-
дйА
разного характера свойства контакта с соседними -е5А г2(а1, а22-)[(я1А +11А) - а1 а-2-(^2А + ^А)] > = 0, блоками или быть свободными. В соответствии с
ди1ь ди2Ь . , , ^
——+ —— - га2ьи2Ь )ах 1 + дх1 дх2
ди
2Ь
1Ь
дх 1
- ге1Ьа 1Ьи2Ь - ге2Ьа2Ьи 1Ь )х2 4.
Границы блока, как указано выше, могут иметь
дХт
алгоритмом метода блочного элемента [5-7] данные относительно характера контактов блоков Аналогично на границе правой пластины имеем должны быть внесены в представление псевдодифференциального уравнения. Для его построения Г-1(Р 1) { I [ю 1г(а 1, а21+)- а1 аю2г(а 1, а21+)]-осуществляется дифференциальная факторизация дХ матрицы-функции КЬ(-/'а1, -га2) функционально- г
го уравнения (3) [5]. Заметим, что факторизация -е5гГ2(аъ а21+Ж& 1г +11г) - а 1а-1+(&2г +12г)] > = °
Р1 ! дХг;
Г
-1(Р 1) { У[ю 1г(а 1, а22+) - а1 а2!+^(а 1, а22+)] -
дй,
выполняется в каждой локальной системе координат касательного расслоения границы дХЬ [5]. Обозначим параметры левой от оси ох1 пластины с индексом А, а правой - с индексом г. С помощью алгоритма дифференциальной факторизации
[10] стр°ятся факторизующие матрицы-функции -е5,г2(а 1, а22+)[(г 1г +11г) - а 1 а-1+(^^ + tlrГ] > = 0, БЬ(-/а1Ь, -г'а2Ь) для левого и правого краев пластин.
После приведения локальных систем к единой системе координат ох1х2 они имеют соответственно вид
Б а (-г'а 1,-г'а2) = 1 1
-а
! д X,.
При переходе во внешних формах к параметрам напряженно-деформированного состояния [5] псевдодифференциальные уравнения на границе левой пластины можно представить в виде
а2- а21- а2- а22- (а2 - а21-) а21-0
Г
+
а
(а2- а22-) а22-
1
(5)
а 21- =
4А 5
= -На 1- е4АеI1, а22- = -^а1 - е Б, (-г'а1, -г а2) = ВЕСТНИК ЮЖНОГО НАУЧНОГО ЦЕНТРА Том 11
-1(РА) {- У {ебА(Тх1 х2А - а 1 а-1-ЫХ2а) +
-3
+ е (а2- едте-1) а^1-и 1А + +(1- Оа)а 1 и2а} е'а1 х 1 ёхх-- е5АГ2(а 1, а21-)[(#1а +1 и)- а 1 а-^2а + t2А)] > =0,
5
a
21-
е6А =
= -¿V(ai)2- е 4а£-А,
1 ! (-3, з);
1-o1
Em
F
На границе правой пластины они имеют вид
3
F-1(Р1) G - j {е6r (TXi x2 r - a i a-1 +NX2 r) +
-3
+ if1r (a2 - е4r е¡J) a21 + u 1r + +(1 - or) a1 u2r} e'a1 x 1 dx 1 -
- f 5r F2 (a 1, a21 +) [ (g 1r +11 r)- a1 a-1+(g2r +12r) ] H =0,
a21+ = iV (a1)2-
1-o2
f4r f1r ,
'6r
Er
! (-3, 3)
3
F-1(Р1) G - J {f 6r (Tx1 X2 r - a 1 a-1+NX2 r) +
+ if1r (a2 - е4r е-J) a22+u 1r + +(1- or)a1 u2r} eia1 x 1 dx 1- е 5r F2 ( a 1, a 22+)[(g 1r + t1 r)- a1 a-2+(g2r +12r) ] H =0, = i Va 1- е41, Р 1 ! (-3, 3);
(6)
3
-1(p1) g - j {еб1 (Tx1 x2a - a 1 a-1-^
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.