Письма в ЖЭТФ, том 101, вып. 12, с. 935-939 © 2015г. 25 июня
О возможности наблюдения резонансного взаимодействия кинков уравнения синус-Гордона с локализованными волнами в реальных
физических системах
Е. Г. Екомасов1\ А. М. Гушеров1\ Р. В. Кудрявцев Башкирский государственный университет, 450076 Уфа, Россия
Поступила в редакцию 29 апреля 2015 г.
Исследована резонансная динамика кинков уравнения синус-Гордона в системе с одиночной точечной примесью с учетом генерации локализованных волн, наличия внешней силы и диссипации. Найдены уравнения движения для координаты центра кинка и амплитуды примесной моды. Анализ решений данных уравнений и результатов численного моделирования модифицированного уравнения синус-Гордона показал, что затухание и внешняя сила противодействуют возникновению резонансного отражения кинка от притягивающей примеси. Однако вызывающая его причина - резонансный обмен энергией между солитонами - по-прежнему имеет место.
БОГ 10.7868/80370274X15120127
В последние годы с помощью динамики солито-нов описывается все больше физических приложений в различных областях физики [1, 2]. Например, соли-тоны уравнения синус-Гордона (УСГ) в физике конденсированного состояния описывают доменные границы в магнетиках, дислокации в кристаллах, флюк-соны в джозефсоновских контактах и переходах и т.п. [3]. Часто учет влияния возмущений приводит к существенному изменению структуры солитонов [1, 2]. При этом могут возбуждаться внутренние степени свободы солитонов, которые способны играть определяющую роль в некоторых физических эффектах. Много работ посвящено изучению влияния на динамику солитонов УСГ пространственной модуляции (неоднородности) периодического потенциала (или наличия примеси в системе) (см., например, [1-6]). Модель классической частицы для взаимодействия кинка с примесью применима в случае, когда примесь не допускает существования примесной моды - локализованного колебательного состояния на примеси [1, 2]. Важность примесных мод для динамики кинка уже показана ранее [4-7]. Отметим здесь появление такого интересного эффекта, как отражение кинка, движущегося по инерции в бездиссипа-тивной среде, "притягивающей" примесью из-за резонансного обмена энергией между трансляционной модой кинка и примесной модой. Однако до сих пор нет экспериментальных работ по наблюдению данного эффекта. Последнее, очевидно, связано с тем, что
^е-таП: ekomasoveg@gmail.com; bgu@bk.ru
для исследуемых реальных физических систем всегда характерно наличие диссипации, которая может критически влиять на поведение системы. В связи с этим необходимо исследовать влияние затухания и внешней силы на возникновение резонансных эффектов при движении кинков УСГ в модели с "притягивающей" примесью и найти критические параметры реальной физической системы, подходящей для наблюдения подобных эффектов.
Рассмотрим систему, определяемую лагранжианом
2 2
Ь= ! - ^ - К(х)(1 - соей) + АЬсов ¿х,
— оо
(1)
где К(х) = 1 — еб(х) моделирует точечную примесь, 6(х) - дельта-функция Дирака, 0 < е < 1 - константа, к - параметр, определяющий амплитуду внешней силы. Для учета затухания в системе используем диссипативную функцию Рэлея:
+оо
Д= J —аи^скс. (2)
— оо
Отметим, что используя выражения (1) и (2), можно описать, например, динамику доменных границ в ферромагнетиках и слабых ферромагнетиках [8]. Подстановка выражений (1) и (2) в уравнения Лагранжа-Эйлера с учетом диссипации приводит к
уравнению движения для скалярного поля u{x,t) в виде
utt — Uxx + [1 — £S(x)] sin и = 2/isin — + o:ut. (3)
Это уравнение является модифицированным уравнением синус-Гордона (МУСГ). В случае отсутствия примеси, внешней силы и затухания уравнение (3) переходит в уравнение синус-Гордона и имеет точное решение в виде топологического солитона (или кинка):
и0(х, г) = 4 аг^ (ехр {±7 [х - X (£)]}), (4)
где 7 = (1 — г>2) 0 < V < 1 — скорость движения кинка, Х{Ь) = + хо - координата центра кинка. При « С 1 и 7 й 1 путем решения линеаризованного уравнения УСГ при отсутствии внешней силы и затухания можно найти выражение, описывающее структуру примесной моды:
ui(x,t) = a(t) ехр(—е|ж|/2),
(5)
где a(t) = aocos(ilt + во), = \/l — е2/4 - частота примесной моды, во - начальная фаза.
Ранее в [1, 4] был подробно изучен случай одиночной точечной примеси без учета внешней силы и затухания. Показано, что в случае приближения "неде-формируемого кинка" примесь действует как потенциал. При этом для соответствующего знака константы е она действует на кинк как притягивающий потенциал. В результате солитон может быть локализован. Для приближения "деформируемого кинка" учитывалась возможность возбуждения примесной моды и ее резонансного взаимодействия с кинком. Для случая пространственно-протяженной примеси также исследовалось взаимодействие кинка с примесью как для не деформируемой, так и для деформируемой модели кинка [5, 9, 10].
Рассмотрим приближенное аналитическое решение уравнения (3) методом коллективных переменных [1, 2]. В качестве коллективных координат примем координату центра кинка x(t) и амплитуду примесной моды a(t). Анзац представляет собой сумму кинка (4) и примесной моды (5): wansatz = ио + и\. Положим для простоты, что 7 = 1, a X{t), a(t) и a(t) достаточно малы (порядка е). В рамках рассматриваемого приближения и\ С ио. Подставим далее анзац Wansatz в лагранжиан (1), разложив cos и и cosw/2 в ряд Тейлора до членов второго порядка по е (по a(t)). Проинтегрировав, получим
Leff « 4Х2 (t) -и(Х) + - [a2 (t) - a2 (t) П2] +
+ СХЭ
+ ea (t) F (X) - -Ah J th [x-X(t)]dx, (6)
U(X) = 8- 22£ , F(X) = 2Sh2X(t). (7) V 7 ch X(t) K ' ch X(t) V ;
Аналогично рассчитывается выражение для функции Рэлея (2):
Reft ~ a
АХ (t)
h2 (t)
(8)
Используя уравнения Лагранжа-Эйлера, с учетом (6)—(8) можно получить уравнения движения для коллективных координат в следующем виде:
J 8X(t) + U'{X) - ea{t)F'{X) = -8[X{t)a - h], \ a{t) + Q2a(t) - ^F(X) = -a(t)a.
(9)
Сравнив систему дифференциальных уравнений (9) с аналогичной системой [1], полученной для бездис-сипативного случая, можно сделать вывод о том, что учет затухания и внешней силы (в рамках рассматриваемого приближения) привел к добавлению слагаемых —8[X(t)a — h] в первом уравнении и —a{t)a во втором. При этом влияние на примесную моду внешней силы в данном приближении не учитывается (как слагаемое второго порядка малости) и коэффициент h во втором уравнении системы отсутствует.
Проанализируем поведение кинка, подчиняющегося уравнениям (9). Типичное время моделирования tend = 500. На рис. 1 приведена временная эволюция для нескольких случаев. Начальная энергия кинка i^kink и работа внешней силы Еех, помимо затрат на возбуждение примесной моды Е-1т, тратятся еще и на затухание в системе Ea\ E^ink+EeK = Ekink+Eim+Ea. Поэтому при движении по инерции (h = 0) кинк вообще не уходит на бесконечность, а через некоторое время останавливается в определенной точке. Это видно из рис. 1а (кривая 1, построенная при слабом затухании а = 0.002, и кривая 2, построенная при более сильном затухании а = 0.02).
Если же на систему действует внешняя сила h > 0 и диссипативные потери Еа компенсируются притоком энергии Еех, то кинк может уйти на бесконечность (+оо), если его энергии окажется достаточно для того, чтобы покинуть притягивающий потенциал примеси (см. рис. 1а, кривая 3).
Полученные результаты показали, что для системы (9), как и для бездиссипативного случая, харак-
Рис. 1. Зависимости координаты центра кинка Л'(£) от времени, полученные в результате моделирования системы (9). Параметры моделирования е = 0.7, Л'(0) = = -10, а(0) = 0, а(0) = 0. (а) - а = 0.002, /? = 0, Л"(0) = 0.4 (1); а = 0.02, /? = 0, Л"(0) = 0.7 (2); а = 0.02, /? = 0.008, Л"(0) = 0.4 (3); а = 0.02, /? = 0, Л"(0) = 0.6 (4); (Ь) - а = 0.002, /? = 0, Л"(0) = 0.377 (1); а = 0.002, /? = 0, Л"(0) = 0.3486 (2)
терно резонансное взаимодействие кинка с примесной модой. В итоге кинк может даже после многократного пересечения примеси покинуть ее притягивающий потенциал. Однако данные варианты эволюции наблюдаются лишь при слабом затухании и при движении кинка по инерции. Например, на рис. 1Ь, построенном при а = 0.002, кинк отражается в обратном направлении после четырнадцати (см. кривую 1), а в прямом - после одиннадцати (см. кривую 2) пересечений примеси. При более сильном затухании (например, а = 0.02) подобных вариантов эволюции обнаружить не удалось. Кроме того, кинк может "захватываться" притягивающим потенциалом примеси. При этом амплитуда его трансляционных колебаний убывает достаточно быстро (см. рис. 1а, кривая 4). Учет воздействия внешней силы /? не приводит к появлению резонансных отражений кинка, а возникающие случаи "захвата" кинка слабо отличаются от случая, когда /? = 0 (см. рис. 1а, кривая 4).
Более полная картина кинк-примесных взаимодействий продемонстрирована на примере двух случаев: при слабом затухании а = 0.002 и сильном затухании а = 0.02 (остальные параметры моделирова-
ния: /?. = 0, е = 0.7, А(0) = -10, о(0) = 0, ¿(0) = 0). Соответствующие зависимости рассчитанных величин от начальной скорости кинка Vо = А"(0) представлены на рис. 2-4. При их построении параметр г>о табулировался с шагом 6и = 10~4.
0.2 0.3 0.4 0.2 0.4 0.6
Рис.2. Количество пересечений кинком примеси С1т в зависимости от начальной скорости кинка г>о в модели (9). (а) - а = 0.002. (Ь) - а = 0.02
На рис. 2 приведено количество пересечений примеси С;т в зависимости от Vо. Однократное пересечение примеси С;т = 1 (рис. 1а, кривые 1 и 2) имеет место, лишь если ад превышает определенное пороговое значение. При С;т > 1 четное значение С;т соответствует резонансному отражению в обратном направлении (рис. 1Ь, кривая 1), а нечетное - в прямом (рис. 1Ь, кривая 2). Случай, когда кинк остается локализованным на примеси, на рис. 2 отсутствует, поскольку он соответствует С;т(ип) -> оо. Исследование показало, что появление слабого затухания (рис. 2а) в системе значительно сокращает число резонансных окон и, следовательно, величину С;т. При сильном же затухании имеет место полное исчезновение резонан
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.