Теоретическая физика
Руднев И.А., кандидат физико-математических наук, доцент Подливаев А.И., кандидат физико-математических наук, доцент Покровский С.В., ассистент Менушенков А.П., доктор физико-математических наук, профессор (Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»)
О ВОЗМОЖНОСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЛОТНОСТИ ДВУМЕРНОГО ТОКА
В МИКРО И НАНОСИСТЕМАХ
Рассмотрены алгоритмы восстановления распределения двумерного тока по создаваемому им магнитному полю. Показано, что в случае, когда датчиком магнитного поля является магнитный наконечник кантилевера силового атомного микроскопа, принципиальная возможность восстановления тока зависит от формы наконечника кантилевера.
Ключевые слова: двумерный ток, наконечник кантилевера, микросистемы, наносистемы.
Algorithms of restoration of distribution of a two-dimensional current on a magnetic field created by it are considered. It is shown that in a case when the sensor of a magnetic field is the magnetic tip of a cantilever of a power nuclear microscope, basic possibility of restoration of a current depends on a form ofa tip of a cantilever.
Keywords: two-dimensional current, cantilever tip, microsystems, nanosystems.
Определение пространственного распределения плотности тока в микросистемах представляет на современном этапе развития нанотехнологий значительный интерес. Контактное измерение пространственного распределения плотности тока в малых системах технически очень сложно. Бесконтактные измерения распределения плотности тока из измерений распределения магнитных полей основаны на решениях обратных задач Био-Савара-Лапласа. Для этого применяются различные методики, при этом наилучшим пространственным разрешением обладает -магнитометрия на основе атомного магнитного силового микроскопа (МСМ).
При использовании МСМ методики иголки кантилевера покрывают ферромагнитным материалом, что обеспечивает силовое взаимодействие кантилевера с источником магнитного поля. Разрешение прибора в данном случае принципиально зависит от формы магнитного наконечника иглы. Предметом настоящей статьи является разработка алгоритмом определения двумерных токов по данным МСМ магнитометрии с кантилеверами различной формы.
Выбор метода измерений определяет алгоритм восстановления токовых путей из измеренных данных магнитного поля. Рассмотрим эффективность восстановления произвольного поверхностного тока плоского образца для различных форм магнитных наконечников кантилеверов (МНК).
Классический алгоритм восстановления пространственного распределения тока по магнитному полю, базируется на методике восстановления распределения тока j(r) в тонких пленках, исходя из индукции магнитного поля B(r) [1], и основано на инверсии уравнения Био - Савара - Лапласа
ABOUT POSSIBILITY OF DETERMINATION OF DENSITY OF THE TWO-DIMENSIONAL CURRENT IN MICRO AND NANOSYSTEMS
(1)
Для определения поверхностных токов вполне достаточно измерения единственной компоненты магнитного поля Бг (X, У). Обычным приемом определения X, У компонент тока является предварительное определение плотности магнитного момента пленки g(X,У)=(gx, gy, gz), с последующим определением токов по формуле ] = Ух д. Для пленки можем считать gx =gy=0'' ^(Х,У) [1]. Получаемая из (1) связь соответствующих Фурье-компонент магнитного поля и момента имеет следующий вид:
Б(кх, ку) = ¡0 К (кх, ку) • g(kx, ку), (2)
где соответствующие компоненты магнитного поля и момента связаны со своими образами Фурье соотношениями
+ад +ад
Б(кх, ку ) = |йХ |йУБг (X, У) ехр((кХХ + 1куУ),
. (3)
У />
—ад —ад +ад +ад
~(кх, ку ) = |йХ |dУg(X,У)ехр (кХХ + 1кУУ)
—ад —ад
Фурье образ ядра интегрального оператора уравнения Био - Савара - Лапласа К(кХ, кУ ) определяется следующим соотношением:
К(кХ,кУ) = ехр(-кк)ът\\(кй/2), к = д/к2Х + к2у (4)
В зависимости от толщины й проникновения поверхностного тока вглубь образца задача (2-4) плохо обусловлена или вовсе некорректна. Для корректного решения задачи необходимо выполнить регуляризацию - искусственное сглаживание с фильтрующей функцией Ж(к), подавляющей высокие гармоники решения [2]. Уравнение (4) определяет Фурье-образ магнитного момента g(кХ, кУ ), который после сглаживания и обратного двумерного преобразования Фурье дает координатную функцию g (X, У).
Связь Фурье-компонент магнитного момента и сигнала с датчика в МСМ магнитометрии имеет вид, аналогичный (2), только функция К(кХ, кУ ) зависит от режима работы и формы датчика магнитного поля - магнитного наконечника кантилевера. Рассмотрим связь Фурье-компонент силы притяжения к пленке кантилевера и Фурье-компонент магнитного момента. Если считать МНК точечным магнитным диполем, то сила взаимодействия ¥ (г) ферромагнитного наконечника кантилевера с поверхностью образца определяется следующим выражением:
¥ (т) ~ д^ЬтФИхдИЦЬ', (5)
которое получается из уравнения Био - Савара - Лапласа (1). Двумерное преобразование Фурье дает следующее выражение для определения магнитного момента образца
g(kх, кУ ) = Б'г (кХ, кУ )'
Ж '(к )/Л д-К (кХ, кУ )
(6)
где Б'г (кХ,кУ ) - образ Фурье соответствующей производной вертикальной компоненты маг-
д ~ ~
нитной индукции. Функция —К(кХ, кУ ) = — к • К(кХ, кУ ) определяемая из выражения (4)
дк
обеспечивает единственность (с точностью до константы) определения магнитного момента g(kX,kY), из В'2(кх,kY), поскольку обращается в ноль только при k = 0 .
Интегрируя выражение (5) по объему магнитного наконечника можно получить функция K(х, kY ) для наконечника произвольной формы. Если наконечник кантилевера имеет форму тонкой иглы, и может рассматриваться как луч, отстоящий от поверхности образца на высоту h , и перпендикулярный этой поверхности, а намагниченность кантилевера однородна, и его магнитный момент направлен вдоль луча. В этом случае сила взаимодействия МНК и образца F(X,У,h) подчиняется следующему соотношению:
F(X,У,h)~ ЖЙУ^' = -Вг(Х,У,И), (7)
I аИ
и восстановление тока по отклику F (X, У, И) проводится аналогично восстановлению по амплитуде магнитного поля из уравнений (2), (4).
Если наконечник кантилевера имеет форму полубесконечной призмы с квадратом в поперечном сечении, отстоящей от поверхности образца на высоту И, при восстановлении магнитного момента g(х, kУ ), из Фурье-образа функции отклика F(кх, kУ ) возникают проблемы, связанные с неединственностью решения получаемой задачи. В этом случае связь между Фурье - образами исходного сигнала F(кх,kУ,И) и магнитного момента g((х,kУ ) имеет вид:
F((х, К, и) = <2(кх, К, и) • g^х, К ), (8)
Q(kх, kУ, И) = бшИ ((/ 2)ехр(- kh)4 sin(kхa / 2)п ((у а / 2)) )
Поскольку функция Q(kх, kУ, И) • обращается в ноль не только при k = 0, но и при kх,kУ = 2т/а, п = 0,1, 2..., это означает, что существуют определенные моды магнитного момента g(х, kУ ), которые не воздействуют на магнитный наконечник кантилевера призматической формы. Из этого следует вывод, что если поперечный размер призматического кантилевера сопоставим с расстоянием до измеряемого образца И, то такой наконечник непригоден для определения неоднородностей магнитного момента, размер которых также сопоставим с величиной И. Проведенные нами расчеты показывают, что магнитный наконечник, имеющий форму полубесконечного цилиндра, обладает тем же недостатком, что и призматический наконечник.
Пусть наконечник кантилевера имеет пирамидальную форму с расстоянием от вершины пирамиды до поверхности образца И, а поперечное сечение пирамиды является квадратом.
Мы получили следующую связь между Фурье - образами исходного сигнала F (х, kУ, И) и магнитного момента g(кх, kУ ):
F ((х, К, И) = ^х, К, И) • g (х, К ), (9)
Q(kх,^,И) = 8а2 ^пЬ((/2)ехр(- М)/[(2 + а2(х + ^ )2)2 + а2(х - ^ )2)]
где параметр а определяется углом раствора вершины пирамиды.
Поскольку функция Q(kх, kУ, И)• обращается в ноль только при k = 0, это означает, что пирамидальный кантилевер позволяет единственным образом определить произвольный профиль неоднородностей магнитного момента. Проведенные нами расчеты показывают, что магнитный наконечник, имеющий форму конуса, обладает тем же свойством, что и пирамидальный наконечник. Также проведенные нами исследования показали, что для наконечни-
ков в форме усеченного конуса и пирамиды имеются неопределяемые моды подобно тому, как это было в цилиндрическом и призматическом наконечниках.
Проведенная нами модельная проверка алгоритма показала его применимость для качественного определения плотности тока в случае, когда относительная экспериментальная ошибка определения магнитного поля не превышает 10%.
Работа выполнена при финансовой поддержке финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, ГК 16.513.12.3011.
ЛИТЕРАТУРА
1. Jooss Ch. et al // Rep. Prog. Phys. 2002. V. 65. P. 651.
2. Feldmann D.M. // Phys. Rev. B 2004. V. 69. P. 144515-144528.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.