АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ВЕСТНИК, 2009, том 43, № 1, с. 87-92
УДК 521.1
О ВОЗМОЖНЫХ РЕЗОНАНСНЫХ ОРБИТАХ ЭКЗОПЛАНЕТ
© 2009 г. Л. Л. Соколов, Б. Б. Эскин
Санкт-Петербургский государственный университет Поступила в редакцию 30.04.2008 г.
В рамках ограниченной задачи трех тел исследуются возможные орбиты экзопланеты малой массы в системе с массивной экзопланетой на эллиптической орбите. Ищутся возможные квазикруговые орбиты. Обсуждается зависимость эффекта Кодзаи-Лидова (резонанса Кодзаи) от эксцентриситета орбиты массивной планеты. Рассматривается влияние соизмеримостей средних движений на величину колебаний эксцентриситета.
PACS: 95.10. Ce, 97.82. Fs
ВВЕДЕНИЕ
Рассматриваются возможные движения точки малой массы в планетной ограниченной пространственной эллиптической задаче трех тел. После открытия экзопланет и экзопланетных систем эта задача стала особенно актуальной. Сейчас открываются экзопланеты с большой массой, в основном -порядка массы Юпитера. Планеты с массой Земли "не видны". Предполагая планетные системы устойчивыми, с помошью численного и аналитического моделирования можно оценить возможные области сушествования и свойства орбит пока ненаблюдаемых небольших планет, если известны орбиты массивных планет. В частности, представляет интерес возможность сушествования устойчивых околокруговых орбит, особенно в "зонах жизни". По определению, в "зоне жизни" в окрестности звезды возможно сушествование жидкой воды. Сушествова-ние жизни на таких орбитах более вероятно.
В настояшее время известно более 250 планет у других звезд (на октябрь 2007 г. - 260 планет). В это число входят как планеты, открытые методом лучевых скоростей (247 планет), так и планеты, открытые с помошью других методов, таких как метод микролинзирования, метод прямого изображения или радиоастрономические методы (13 планет). Среди всех известных в настояшее время планетных систем сушествует 25 мультипланетных систем, т.е. систем, в которых имеется более одной планеты. Полученные данные отягошены значительной наблюдательной селекцией. Многие экзопланеты имеют большие орбитальные эксцентриситеты (Schneider, www.exoplanet.eu). Кроме того, в мульти-системах много соизмеримостей средних движений планет (Schneider, www.exoplanet.eu; Beauge и др., 2006). Видимо, и то и другое не случайно.
Установлено (Соколов, 2002), что большие эксцентриситеты орбит массивных планет индуцируют колебания эксцентриситета того же порядка для орбит малых планет в плоской задаче. Таким образом, если расстояние между орбитами не слишком велико, устойчивые круговые орбиты по крайней мере нетипичны. Немногочисленные квазикруговые устойчивые траектории можно найти на границе между регулярным и хаотическим движением (Sokolov, Pitjev, 2004; Sokolov, Kuteeva, 2006). Регулярное движение характеризуется наличием инвариантных кривых на фазовых портретах, а также независимостью эволюции от начального положения на орбитах при отсутствии соизмеримостей средних движений. Инвариантные кривые для регулярного плоского движения имеют вид:
a = const, (e cos(g) - ec)2 + (e sin(g))2 = const.
Для "внешней" задачи, ap < a, ec = 9ep ap/8a. Здесь a - большая полуось, e - эксцентриситет, ecosg, esing - переменные Лагранжа малой планеты, ap, ep - большая полуось и эксцентриситет массивной планеты. Эти инвариантные кривые получаются как численно, так и аналитически, после двукратного осреднения по быстрым угловым переменным Доколов, 2002).
Приведем примеры областей регулярного движения для известных экзопланет, полученные численно (a0 - радиус начальной круговой орбиты).
Для системы звезды HD 52265 (Mp/M* = 1.02 х 10-3, ap = 0.49 а. е., ep = 0.29 ): а0 > 1.1 а. е.
Для системы звезды HD 216435 (Mp/M* = 1.18 х 103, ap = 2.7 а. е., ep = 0.34 ): a0 < 1.25 а. е.
В общем случае при Mp/M* = 103 получаем a0/ap < < 0.79 - 0.92 ep.
Максимальные значения эксцентриситета в зависимости от начального наклона орбиты
¿0, град 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85
^max 0.209 0.553 0.725 0.836 0.909 0.955 0.981 0.994 0.999 1.000
РЕЗОНАНСЫ
Во "внутренней" (ap > a) задаче с большим наклоном почти круговые в начальный момент орбиты переходят в сильно эллиптические. В частности, если бы наклон орбиты Луны был близок к 90°, она упала бы на Землю через 4-5 лет за счет возмущения от Солнца (Лидов, 1961). Если заменить Землю на звезду, Луну на внутреннюю экзопланету малой массы, а Солнце на массивную внешнюю экзопланету, получим аналогичный результат. Именно в случае большого наклона имеет место рост эксцентриситета орбиты внутренней экзопланеты. Этот эффект был открыт в начале 60-х годов XX века практически одновременно и независимо советским ученым Лидовым и японским ученым Кодзаи (Kozai, 1962; Lidov, 1962; Лидов 1961; 1963). Отметим все же, что работа Лидова (1961) на русском языке была опубликована чуть раньше, в 1961 году, а ее английский вариант (Lidov, 1962) появился в 1962 году, как и работа Кодзаи (Kozai, 1962). Сейчас этот эффект чаще называют в литературе, особенно англоязычной, "резонанс Кодзаи". Стоит подчеркнуть, что эффект не предполагает соизмеримости средних движений. Наоборот, его аналитическое описание использует двукратное осреднение, при этом предполагается отсутствие острой соизмеримости. Максимальное значение эксцентриситета зависит от наклона i0 начальной круговой орбиты согласно формуле в работе (Лидов, 1963, стр. 126)
gmax = (1 - (5 cos2 ¿о/3)2)1/2.
Другими словами, эффект Кодзаи-Лидова начинает проявляться с наклона более 40°, а уже при 75° максимальное значение эксцентриситета практически равно единице. В таблице приведены максимальные значения эксцентриситетов в зависимости от начального наклона орбиты.
Этот эффект обычно рассматривался для случая почти круговой орбиты массивной планеты. Проведенное численное интегрирование уравнений движения показывает, что увеличение эксцентриситета орбиты массивной планеты в случае больших наклонов не приводит к радикальному изменению эволюции эксцентриситета орбиты малой планеты. Пример приведен на рис. 1 и 2. В случае же умеренных наклонов увеличение эксцентриситета орбиты массивной планеты сильно меняет динамическую эволюцию, максимальный эксцентриситет малой
планеты становится значительно больше. Рост эксцентриситета иллюстрирует пример на рис 3.
Если имеет место резонанс в смысле соизмеримости средних движений, независимое осреднение по двум угловым переменным, вообще говоря, некорректно, и эффект Кодзаи-Лидова может видоизмениться. Эволюция может зависеть от начальных положений планет на невозмущенных орбитах. Например, пусть круговая орбита массивной планеты имеет большую полуось, равную 5 а. е., ее масса равна 1/1000 массы звезды, взаимный наклон равен 80 градусов. Тогда для резонанса 2 : 1 такая зависимость имеет место в области 3.10 a. e. < a < 3.20 a. e. При некоторых начальных положениях планет эксцентриситет эволюционирует в районе нуля, не превосходя 0.1. Однако с увеличением эксцентриситета орбиты массивной планеты такие траектории исчезают. Примеры приведены на рис. 4-6, где М0 - средняя аномалия малой планеты в начальный момент. В случае соизмеримости средних движений 1 : 1 при больших наклонах недавно обнаружена область "устойчивого хаоса" с нерегулярными большими колебаниями эксцентриситета в ограниченной круговой задаче, а также малая область почти круговых орбит, исчезающая при возрастании эксцентриситета орбиты массивной планеты (Brasser и др., 2004; Pitjev, Sokolov, 2004). Имеется аналогия с квазикруговыми орбитами при резонансе 2 : 1, существующими лишь в случае круговой орбиты массивной планеты.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В плоской эллиптической задаче квазикруговые орбиты малой планеты возможны либо вдали от массивной планеты, либо в областях, где кончается регулярное движение. В случае больших наклонов во внутренней задаче эффект Кодзаи-Лидова обычно препятствует существованию квазикруговых орбит. Однако при наличии соизмеримостей средних движений такие орбиты могут существовать в круговой ограниченной задаче. Большой эксцентриситет орбиты массивной планеты может незначительно изменить амплитуду колебаний эксцентриситета малой планеты при больших наклонах орбиты и заметно увеличить ее при умеренных наклонах.
Настоящая работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты 05-02-17408, 06-02-16795,
е вт(£) 1.0г
0.5
-0.5
0
-1.0 -0.5 0 0.5 1.0
Рис. 1. Колебания эксцентриситета, соответствующие эффекту Кодзаи-Лидова для больших наклонов и круговой орбиты массивной планеты.
Переменные Лагранжа; I = 80°, ep = 0.0, ap = 5, а0 = 1
е вт(£) 1.0
-0.5
1.0
е ео8(^)
Рис. 2. Колебания эксцентриситета, соответствующие эффекту Кодзаи-Лидова для больших наклонов и некруговой орбиты массивной планеты.
Переменные Лагранжа; I = 80°, ep = 0.5, ap = 5, а0 = 1
е вт(£) 1.0г
-1.0
-0.5
0
0.5
1.0
Рис. 3. Рост эксцентриситета в случае умеренных наклонов и некруговой орбиты массивной планеты. Переменные Лагранжа; I = 40°, вр = 0.5, ap = 5, «0 = 1
е вт(£) 1.0
0.5
0
-0.5
-1.0 -0.5 0 0.5 1.0
е со8(^)
Рис. 4. Резонанс 2 : 1 в случае круговой орбиты массивной планеты, эффект Кодзаи-Лидова. Переменные Лагранжа; I = 80°, ер = 0.0, а., = 5, а0 = 3.15, М0 = 0°.
е вт(£) 1.0г
0.5
-0.5
0
-1.0 -0.5 0 0.5 1.0
Рис. 5. Резонанс 2 : 1 в случае круговой орбиты массивной планеты. Квазикруговое движение малой планеты. Переменные Лагранжа; г = 80°, ep = 0.0, ap = 5, а0 = 3.15, М0 = 160°.
е в1п(£) 1.0
0.5
-0.5
-1.0
-0.5
0
0.5
1.0
е ео8(^)
Рис. 6. Резонанс 2 : 1 в случае некруговой орбиты массивной планеты. Эффект Кодзаи-Лидова. Переменные Лагранжа; г = 80°, ep = 0.1, ap = 5, а0 = 3.15, М0 = 160°.
0
07-02-91229-ЯФ-а) а также Ведущей научной школы (грант НШ-4929.2006.2).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Лидов М.Л. Эволюция орбит искусственных спутников планет под действием гравитационных возмущений внешних тел // Искусств. спутники Земли. 1961. № 8. С. 5-45.
Лидов МЛ. О приближенном анализе эволюции орбит искусственных спутников // Проблемы движения искусственных небесных тел. М., 1963. С. 119-134.
Соколов Л.Л. Об эволюции орбит внесолнечных планет // Ас
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.