УДК 551.465
О возмущениях, вносимых в баротропный океан неоднородностями поля силы тяжести
Л. Х. Ингель*, А. А. Макоско**, ***
На простой аналитической модели исследованы линейные стационарные возмущения геострофического течения, вызываемые неоднородностями поля силы тяжести. Анализ показал, что влияние упомянутых неоднородностей может быть заметным.
Ключевые слова: неоднородности поля силы тяжести, возмущение геострофического течения, динамика океана.
Как хорошо известно, влияние неоднородностей поля силы тяжести на уровень поверхности океана служит важнейшим источником информации об этих неоднородностях (см., например, [5] и библиографию в этой работе). Значительно меньше внимания уделяется их влиянию на морские течения. Представляется, что эти эффекты, возможно, недооцениваются. В данном случае рассмотрена простейшая модель вызываемых неоднородностями поля силы тяжести возмущений геострофического течения, из анализа которых следует, что такое влияние может быть заметным.
известна теорема, согласно которой в покоящейся идеальной среде изобары и изопикны должны совпадать с эквипотенциальными поверхностями [2]. В связи с этим распространено мнение, что неоднородности поля силы тяжести лишь несколько деформируют, искривляют состояние гидростатического равновесия (в частности, деформируют поверхность океана), но не влияют заметно на поле движения. Однако ситуация должна принципиально меняться при наличии фоновых горизонтальных течений. Пока неоднородности поля силы тяжести отсутствуют и изопикны строго горизонтальны, такие течения, двигаясь касательно к изопикнам, не нарушают состояния гидростатического равновесия. Но искривленные изопикны, связанные с упомянутыми неоднороднос-тями, пересекаются горизонтальными течениями, так что появляется адвекция массы, чему соответствуют ненулевые слагаемые типа идр/дх в уравнениях переноса (здесь и — скорость в направлении горизонтальной оси х; р — плотность среды). Таким образом, фоновые горизонтальные течения в этом случае, вообще говоря, должны взаимодействовать с гидростатически равновесным состоянием — нарушать это состояние (деформировать изопикны и изобары) или приспосабливаться к нему (т. е. искривляться); в общем случае — и то, и другое. Попытка оценить возникающие при этом возмущения в атмосфере предпринята в работе авторов [1]. Но некоторые принятые в ней упрощения, видимо, были недостаточно оправданными. В ближайшее время авторы пред-
* Научно-производственное объединение "Тайфун"; e-mail: lev.ingel@gmail.com.
** Росгидромет.
*** Институт физики атмосферы им. А. М. Обухова Российской академии наук.
полагают опубликовать более обоснованную и продвинутую модель атмосферных возмущений, связанных с неоднородностями поля силы тяжести.
В настоящей работе применительно к динамике океана рассматривается модель мелкой воды с вращением (/-плоскость). Иными словами, в фоновом состоянии (в отсутствие упомянутых неоднородностей) поверхность среднего земного эллипсоида, согласно хорошо апробированным моделям геофизической гидродинамики, заменяется плоскостью, так что вертикальное и горизонтальные направления однозначно определены, и становится удобным использование декартовой системы координат. Если на этом фоне имеются неоднородности поля силы тяжести относительно небольшой амплитуды (такое предположение об амплитуде всегда оправдано) и горизонтальных масштабов (например, —100 км), то их можно адекватно описывать как действие некоторых дополнительных слабых неоднородных объемных сил, которые в упомянутой системе координат имеют не только вертикальную, но и горизонтальные составляющие, и изучать возмущения, вызываемые этими дополнительными силами.
Пусть в отсутствие упомянутых неоднородностей заданы постоянный фоновый наклон поверхности и однородное фоновое горизонтальное геострофическое течение:
U = (1)
f dy
Здесь у — одна из горизонтальных координат; g — невозмущенное значение ускорения свободного падения; / — параметр Кориолиса; H(y) — невозмущенный уровень.
Неоднородности поля силы тяжести в высокоаномальных зонах (например, над тихоокеанскими разломами) нередко сильно вытянуты в одном из горизонтальных направлений, т. е. относительно мало зависят от одной из горизонтальных координат. Это дает основания в качестве первого шага ограничиться анализом двухмерной задачи, в которой исследуются возмущения, вызываемые неоднородностями, поперечными к фоновому течению (1), т. е. зависящими только от одной из горизонтальных координат х (продольной) и вертикальной координаты (ось z направлена вверх). В этом случае имеет смысл искать и решение для возмущений с той же степенью симметрии (т. е. не зависящие от поперечной координаты у). В этом отношении задача аналогична многим имеющимся в литературе исследованиям возмущений потока, вызываемых топографическими или термическими неоднородностями. Подобные задачи обычно сначала рассматривались в двухмерном приближении, которое приводило к содержательным результатам. Но в данном случае имеется качественное отличие от задач с неоднородной топографией: возмущающая сила действует во всей толще слоя воды, а не только на дне.
Таким образом, заданы две составляющие ускорения свободного падения: (gx (x, z), -g + gz (x, z)), g = const; компоненты gx, gz связаны соотношением
dgx = dgz (2)
dz dx ' (2)
вытекающим из известных свойств гравитационного потенциала.
В соответствии с вышеизложенным рассматривается линеаризованная двухмерная стационарная система уравнений мелкой воды с вращением и учетом аномалии поля силы тяжести:
ди дh
V— __ + ¡V + шх (х, Н), дх ох
ттду Г'
и— _ _& ,
ох
п дh дН ди
0 = и — +-V + Н-.
дх ду дх
(3)
(4)
(5)
Здесь и', V, к — возмущения двух составляющих горизонтальной скорости и уровня соответственно. Вывод уравнения (3) приведен ниже в Приложении.
Система уравнений (3)—(5) представляется достаточно прозрачной. Традиционные уравнения мелкой воды дополнены горизонтальной составляющей ускорения свободного падения.
Горизонтальные масштабы неоднородностей силы тяжести предполагаются много большими толщины слоя. В этом случае велик и характерный вертикальный масштаб изменения неоднородностей силы тяжести (это видно, например, из масштабного анализа соотношения (2) или уравнения Пуассона для потенциала силы тяжести). Поэтому функция gx (х, ¿) на вертикальных масштабах порядка толщины слоя меняется мало и может быть заменена постоянным (по ¿) значением.
Выразим из (5)
( -\тт / \
(6)
дк __1 дх _ и
Из (3) с учетом (1) и (6) находим
ЪЦ_ __ Щх (х, Н) дх
о_Ку+н ди!
ду дх
gH
2 \
1 _
и gH,
Щх (х, Н) gH '
(7)
Последнее приближенное равенство учитывает малость числа Фруда и/^Н, предполагаемую в настоящей работе. Также с учетом отсутствия возмущений при х = -да (до начала взаимодействия потока с неоднородностью силы тяжести) получаем
и 1 8х 'Н'
V ~ | | gz (х", Н) Сх"Сх' .
Из (4) и (8) следует
Из (6) с учетом (7) и (9)
^ (хН) + } / 8х (х", Н)dx"dx'.
(8) (9)
д ■ 2Н J J *ху ..................(10)
дх £ £ Н Отметим, что два последних выражения не зависят от скорости фонового течения и.
Обозначим характерный горизонтальный масштаб неоднородности (аномалии) силы тяжести через Ь. Тогда для ориентировочных численных оценок можно принять
| gx (х', Н) dx' ~ gxL, | | gx (х", Н) dx" dx' ~ gxL.
Пусть и = 0,1 м/с, Н = 103 м, / = 0,5 • 10-4 с-1. Амплитуды аномалий силы тяжести с горизонтальными масштабами порядка Ь ~ 100 км в высокоаномальных районах могут превышать 100 мГал (10-3 м/с2) [3, 4], что соответствует углам отклонения линии отвеса ~10-4 радиан и отклонениям уровня воды ~10 м. Примем р = 10-3 м/с2.
°х
В этом случае
и' ~ ^ ~ 10-3 м/с, у ~ ^ ~ ~ 5 • 10-2 м/с. (11)
ЕЙ и ен
Правая часть (10) состоит из двух слагаемых. Первое из них — порядка второе — порядка (§7р)(Ь/Ьл)2, где LR =у[ЁЙ / f — масштаб Россби — Обухова, который для используемых значений параметров порядка 2000 км. Поэтому в рассматриваемом случае (для не слишком больших горизонтальных масштабов неоднородностей поля силы тяжести) второе слагаемое пренебрежимо мало и
дИ ^ gz (X, Н) Эх g
Поскольку рх = -Зф/Зх, где ф — потенциал гравитационного поля, последнее выражение означает, что поверхность воды пренебрежимо мало отличается от эквипотенциальной поверхности, как это обычно и принимается в расчетах.
Как нетрудно проверить, при рассматриваемых значениях параметров основными в уравнении (3) являются слагаемые -рдЬ/дх и рх (х, Н). Иными словами, неоднородности поля силы тяжести приводят к возникновению горизонтальных градиентов давления, которые приближенно компенсируют горизонтальные составляющие силы тяжести. В уравнении (5) имеет место приближенный баланс
и ^ + Н^ « 0.
Эх Эх
Новый, насколько известно авторам, результат заключается в том, что помимо заметного отклонения уровня неоднородности силы тяжести приводят к появлению заметного поперечного к фоновому потоку вихревого течения, скорость которого V, согласно (9) и (11), может по порядку величины приближаться к скорости фонового течения. В рассматриваемой модели это еще не предел возможной амплитуды возмущений, но следует иметь в виду, что используемое линейное приближение корректно лишь до тех пор, пока отклонения скорости по абсолютной величине много меньше скорости фонового течения.
Авторы признательны рецензенту за полезную дискуссию, способствовавшую уточнению ряда формулировок.
Работа выполнена при поддержке Программы № 4 фундаментальных исследований Президиума РАН.
ПРИЛОЖЕНИЕ Вывод уравнения (3) для среды постоянной плотности
Исходим из уравнения гидростатики
п др
где р — давление; р — постоянная плотность среды. Интегрирование по г от поверхности г = Н + к дает
р(х, г)_р(Н + (Н + h_г) + р| gdz.
Н+к
Продифференцируем это выражение, предварительно отнесенное к плотности, по х. На поверхности горизонтальный градиент давления отсутствует, следовательно
1 др дh } де , дh —-_ е—+ \ —dz _ —. р дх дх Н+к дх z дх
Последнее слагаемое в правой части много меньше первого. Пренебрегая им и учитывая (2), получаем
1 др дh , ч , ч
р Эх " *~дх + *' ( 2)_ *' (Н)
(уч
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.