ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2007, том 47, < 5, с. 923-936
УДК 519.634
О ВЫБОРЕ АППРОКСИМАЦИЙ В ПРЯМЫХ ЗАДАЧАХ ПОСТРОЕНИЯ СОПЛА1}
© 2007 г. Ю. С. Волков*, В. М. Галкин**
(* 630090 Новосибирск, пр. Коптюга, 4, ИМ СО РАН;
** 634050 Томск, пр. Ленина, 30, ИГНД, ТПУ) e-mail: *volkov@math.nsc.ru; **vlg@tpu.ru Поступила в редакцию 19.06.2006 г.
Переработанный вариант 15.12.2006 г.
Рассмотрены две задачи: построение сверхзвукового сопла с равномерной характеристикой на выходе и построение дозвуковой части сопла с плоской звуковой линией в минимальном сечении. Демонстрируется влияние выбора аппроксимаций искомого профиля на результаты решения прямым методом вариационных задач газовой динамики. Профиль сопла описывался полиномами, параболическими, кубическими или рациональными сплайнами. Варьируемыми переменными выступали либо коэффициенты разложения профиля по базисным функциям, либо интерполируемые значения. Показано, что использование априорной информации о монотонности искомого профиля повышает эффективность решения. Библ. 12. Фиг. 4. Табл. 4.
Ключевые слова: вариационная задача, прямой метод, сверхзвуковое сопло, дозвуковое сопло, монотонная аппроксимация, базисные функции, интерполянты.
1. ВВЕДЕНИЕ
При численном решении прямым методом вариационных задач газовой динамики весьма актуальны проблемы повышения эффективности прямого метода. В литературе достаточно широко освещены вопросы, связанные с уменьшением временных затрат ЭВМ и, в частности, с ускорением единичного прямого расчета, а также с увеличением скорости поиска экстремума функции многих переменных. Гораздо реже рассматривается влияние способа описания искомого профиля на эффективность работы прямого метода.
Исследование, проведенное в [1], показало, что результаты в прямом методе как по значению минимизируемого функционала, так и по скорости сходимости получаются лучше, если для описания профиля сопла в качестве базисных функций использовать полиномы Чебышёва, а не просто степенны е полиномы. В [2] продемонстрированы преимущества В-сплайнов в сравнении с полиномами Чебышёва и степенными полиномами. При этом одно из преимуществ обусловлено возможностью выбора аппроксимаций функции, задающей профиль сопла, только из класса монотонных функций.
В [1], [2] варьируемыми переменными выбирались только коэффициенты разложения аппроксимируемой функции по заданному базису. В некоторых случаях от коэффициентов разложения бывает предпочтительнее перейти к определенным точкам, через которые должен проходить контур искомого сопла. При этом положение некоторых из этих точек заранее известно, а положение остальных можно варьировать. В качестве примера можно привести задачу о построении сверхзвуковой части разгонного сопла с заданными габаритами для МГД-генератора (см. [3]) или задачу о сопле максимальной тяги (см. [4]).
Что касается рассмотренных далее задач, то их выбор обусловлен прежде всего простотой оценки полученных результатов. Так, первая хорошо известная задача о построении сверхзвукового сопла с угловой точкой и равномерной характеристикой на выходе допускает возможность решения другим методом (см. [5]), а сравнение контуров позволяет оценить правильность полученных результатов. Вторая задача о построении дозвуковой части сопла с плоской звуковой линией в минимальном сечении прямым методом была предложена в [1]. Эта задача отличается
1) Работа выполнена при частичной финансовой поддержке В.С. Волкова грантом РФФИ-ННИО (код проекта 04-0101003), Отделением математических наук РАН (код проекта 2006-1.3.1), Интеграционных проектов СО РАН (код проекта 2006-66).
923
12*
тем, что позволяет легко оценить качество полученного решения по форме и положению звуковой линии.
Для уточнения используемых в статье терминов заметим, что при построении прямым методом сверхзвукового сопла с равномерной характеристикой подразумевается получение характеристики, максимально близкой к равномерной, и, соответственно, при построении дозвуковой части сопла с плоской звуковой линией подразумевается получение звуковой линии, максимально близкой к плоской.
В данной работе продолжается начатое авторами в [2] изучение влияния способа описания сопла на эффективность расчетов. Во-первых, для увеличения достоверности результатов, кроме задачи о построении сверхзвукового сопла, рассматривается задача о построении дозвуковой части сопла. Во-вторых, уточнен выбор минимизируемых функционалов. В-третьих, кроме описания профиля сопла, использованного в [2] в виде разложения по разным базисам (полиномы, В-сплайны), где параметрами минимизации выступают коэффициенты разложения, профиль находится еще и путем интерполяции (полиномами, кубическими и рациональными сплайнами). При этом параметрами минимизации выступают интерполируемые значения. Показано, что использование априорной геометрической информации о профиле классических сопел, а именно о монотонности сверхзвуковой части после минимального сечения и монотонности дозвуковой части до минимального сечения, повышает эффективность работы прямого метода.
2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ
Пусть профиль осесимметричного сопла описывается функцией fx) и проходит через заданные точки a и b. Рассмотрим течение газа в этом сопле. Газ считается идеальным и совершенным, течение является установившимся и описывается уравнениями
d( У Р u ) + д( y р у ) = 0 d[ y( р u2 + Р ) ] + д( y р uv) = 0
дх д y дх д y
2 (1)
д( У р uv) + д [ y (р v + P ) ) = р д( y р uH ) + д( y р vH) = 0 дх дy дх дy
где х и y - продольная и поперечная координаты; u и v- проекции вектора скорости на оси х и y; р и P - плотность и давление; H=Ру/[р(у - 1)] + w2/2 - полная энтальпия; у - показатель адиабаты газа, далее у = 1.4; w2 = u2 + v2. Обозначим M2 = w2/a2, a2 = уР/р, S = Р/рт, tg 0 = v/u, где M - число Маха; a - скорость звука; S - энтропийная функция; 0 - угол наклона вектора скорости к оси х. На стенке задается условие непротекания tg 0 = f^), штрих обозначает производную по х. Граничные условия на входе выбираются в зависимости от типа уравнений (1) и обсуждаются ниже. На выходе у обеих задач M > 1, поэтому граничные условия там не требуются. Далее используются безразмерные величины, которые получены путем отнесения х и y к половине ширины сопла в минимальном сечении, u и v- к критической скорости, a*, р - к критической плотности, р*,
Р - к произведению р* a* , H - к квадрату критической скорости a* . Полагается, что в минимальном сечении х = 0. В данной работе для уменьшения трудоемкости алгоритмов рассматривалось изоэнергетическое и изоэнтропическое (потенциальное) течение:
H = const, S = const, (2)
однако часть расчетов проводилась для полной системы (1).
Конкретный вид функционала J, на минимизации которого основан прямой метод, будет уточнен ниже, но для первой задачи функционал должен иметь минимум, если характеристика на выходе из сверхзвукового сопла равномерная, а для второй задачи он должен иметь минимум только в случае плоской звуковой линии в минимальном сечении. Поскольку на входе в сопло граничные условия не меняются, а параметры течения в сопле определяются только его профилем и системой уравнений (1), то значение функционала будет неявно зависеть от профиля сопла. Следовательно, для рассматриваемых в данной статье задач целью прямого метода является поиск контура соплаf х), доставляющего минимум функционалу J.
3. ВЫБОР ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ
Как известно из [1], в прямом методе используется поиск минимума функции многих переменных. Обычно в рамках прямого метода при некотором заданном контуре сопла fx) прямым расчетом принято называть единичный расчет параметров поля течения. Наиболее быстрые численные методы минимизации, к числу которых относится квазиньютоновский метод Бройдена (см. [6]), использованный в данной работе, имеют квадратичную трудоемкость от числа переменных. Поэтому, несмотря на постоянно возрастающую производительность компьютеров, выбор метода для прямого расчета зачастую определяет возможность решения поставленной задачи в разумные сроки. Кроме того, выбор метода связан с проблемой неодносвязности области определения функционала.
Поскольку функционал зависит от параметров течения, а они, в свою очередь, зависят от профиля сопла fx), то для вычисления параметров необходимо провести прямой расчет. Если при проведении прямого расчета происходит аварийный останов (авост), то значение функционала будет неопределенно. Ясно, что авост вызывается "неудачной" формой сопла, которую генерирует процедура поиска минимума функции многих переменных. Необходимым, но не достаточным условием нормального завершения прямого расчета будет являться монотонность сверхзвуковой части после минимального сечения и монотонность дозвуковой части до минимального сечения.
Рассмотрим прямую задачу построения сверхзвукового сопла с угловой точкой и равномерной характеристикой на выходе. Если известно, что при некотором заданном контуре сопла fx) реализуется сверхзвуковое течение и система (1) имеет гиперболический тип, то можно использовать или метод характеристик, или маршевые (по пространственной переменной) схемы. Однако если возникает дозвуковое течение, то для решения системы уравнений (1), имеющей смешанный тип, обычно используют процесс установления, при этом одним из самых надежных является метод С.К. Годунова. К сожалению, процесс установления связан с большими временными затратами: при одинаковой точности расчета сравнение метода характеристик и метода Годунова, использующего процесс установления, дало отношение времен счета 1 : 38. Поэтому из-за больших временных затрат в прямой задаче построения сверхзвукового сопла было принято проводить прямой расчет или методом характеристик, или маршевой схемой Мак-Кормака. А при возникновении ситуаций, которые могут привести к авосту, менять способ вычисления функционала.
Использование схемы Мак-Кормака выявило две проблемы. Во-первых, для корректного расчета угловой точки необходимо привлекать метод характеристик, во-вторых, сравнение контура, полученного прямым методом с ис
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.